29.12.09

Números consecutivos

Gustoume este problema que atopei onte. A ver se alguén o dá feito:

Encher os 5 ocos seguintes con números consecutivos (pero claro, desordenados) de tal xeito que a multiplicación estea ben:


(Tede en conta que son dous números de dúas cifras e un número dunha soa cifra)

E para analizar a vosa capacidade de concentración, un xogo, 25 boxes, no que simplemente hai que atopar o símbolo, letra ou número indicados no panel en branco. É sinxelo ata que o panel comeza a aparecer reflexado ou xirado. E daquela tampouco é imposible. Na captura de pantalla vedes xa atopado o número 14 e marcado o 20.


23.12.09

E de súpeto, o Nadal

Despegue do Endeavour, por James Brown,vía ALT1040


E as vacacións. Por unha vez teño que dicir que xa tardaban. É a primeira vez que chego con esta sensación ao fin dun trimestre. As dificultades cognitivas dos alumnos son as de sempre, polo menos na E.S.O., e como apuntou unha compañeira hai un par de semanas, a razón é probablemente que os contidos chegan antes que a madurez necesaria para asimilalos. Vexamos uns exemplos:

  • En 1º de E.S.O. en xeral non houbo moitos problemas, a pesar do salto cualitativo que damos respecto aos contidos de 6º. A maior dificultade aparece cando o profesor (a.k.a. JJ) introduce propiedades formais, como a propiedade distributiva e o "sacar factor común". E tamén (vaia sorpresa!) na compresión lectora dos problemas matemáticos, aínda que os enunciados adoitan estar totalmente limpos de distraccións e datos accesorios. Por outra banda, os contidos procedementais (básicos agora e despois na E.S.O.) foron ben asimilados.

  • En 2º de E.S.O., deixando a un lado cuestións afectivas (levaría todo o Nadal analizalas), o principal problema estivo na comprensión de problemas e as dificultades para levar a cabo un traballo meticuloso e sen erros nos exercicios con fraccións. Tamén houbo problemas para entender o concepto "fracción dunha fracción".

  • En 3º nesta avaliación o corpo principal ocúpano os polinomios, e con eles non houbo moito choio, pero si coa ampliación dos números. Que está a facer un mal cando un alumno contesta que tres quintos é un número enteiro? ENTEIRO! De novo, o traballo meticuloso coas propiedades dos números volve dar problemas (simples números, pero con pinta escura de algo distinto: potencias de expoñente negativo, potencias de expoñente fraccionario, radicais,...)

  • En 4º de E.S.O. pois os malditos radicais e potencias. Que lle imos facer, se resulta máis sinxelo aprender os tres xeitos de racionalizar eses denominadores (o único contido novo de 4º, e sempre e cando non haxa que usar as identidades notables no numerador) que aplicar as propiedades que levamos vendo desde 1º ou 3º (produto e cociente de potencias da mesma base, potencia dun produto e dun cociente, potencia dunha potencia,...)

Só queda aprender dos erros para, polo menos, non facelo aínda peor o ano que vén...

Como dicía, estamos no Nadal. Se formades parte desa minoría que non o atura (se non fose polas vacacións!) , hai unha chea de xogos para vós na rede. Pero eu vou poñer un menos negativo (aí tedes unha razón do menos por menos é máis!), o Chirstmas mini room Escape, un xogo máis dentro do xénero Escape the Room, no que tedes que saír dun cuarto utilizando a vosa lóxica "gamer" e un pouco de voa sorte.

Despois do traballo, vén o descanso: haberá que acougar vendo algo que non necesite actividade mental por parte do usuario. Déixovos unha canción e un vídeo de animación:

A canción, Read my Mind, dos Killers, candidata para cantar no coche (eu xa o fago)





E o vídeo, tirado como tantas veces de Neatorama,e un pouco inquietante...

Alma from Rodrigo Blaas on Vimeo.

21.12.09

Simple diversión


Diagrama da Cultura Geek, por Ibrahin Evsan


Vexamos que cousas novas hai por aí, nesta estraña tarde de avaliacións:


Para comezar, unha ilusión óptica que está petando os blogs que leo tódolos días. Fixádevos no borde dos escaques do taboleiro, antes e despois de que eliminen as bólas. Non é alucinante?




Agora un xogo destes que fan perder o tempo sen que o xogador perciba o paso do tempo:

Online Basketball

Desde o primeiro lanzamento que falledes, está claro que vas perder uns minutos, crédeme.

Outro xogo, pero este dos de pensar:

Crossed Wires

Este xogo segue unha tradición de xogos de apagar as luces, como o Lights Out. Como sempre, a luz que apagas ou acendes inflúe nas luces da súa veciñanza.


E tiña que postear esta nova, para deixar claro que non todo está perdido:

"Rage Against The Machine derrota al pop de realities"


Non sei se puxen xa esta canción, pero hoxe paga a pena:






E por último, un ovo de pascua de Google:

Ide á páxina en inglés de Google, e premede I'm feeling lucky sen pór nada no campo de busca. Vistes?

17.12.09

Nevando

Cazadores na neve, Pieter Brueghel "O Vello"


Quería actualizar onte, pero precisamente a neve foi o motivo para que non puidese.

Hoxe é día de avaliacións, e aproveito un descanso entre as catro que teño para teclear un pouco.

Moitas veces teño explicado nas clases que, en contra da opinión máis común, o Sudoku non é un xogo non que se demostren capacidades matemáticas. De feito os razoamentos non son matemáticos. Para un matemático o interesante en canto ao Sudoku é determinar cantos Sudokus distintos hai, ou as condicións que ten que cumprir un taboleiro semibaleiro para ter solución,e solución única.
E para que vexades que os números no Sudoku non son imprescindibles, aquí tedes unha versión con figuras de Nadal:







E un problema sinxelo e rápido, se entendedes o asunto:

Cal é a última cifra decimal ao facer a división:



\frac{1}{2009}


Sinxelo, moi sinxelo...
Abur

14.12.09

Exames sobrenaturais

En día tan sinalado como este, e despois de ver os exames dos meus alumnos (que non son os que dan título a este post), non podía deixar pasar a ocasión de colgar isto:



epic fail pictures
see more Epic Fails


A algún alumno meu seguro que lle viña ben a axuda dun destes Pokemon de vez en cando nos exames. Pero un animal real de verdade pode facer o choio nun exame de física:






A explicación chegoume á alma: O obxecto non continuará o movemento porque hai un elefante no seu camiño!


Ei! Que día era hoxe? Creo que algo me dixeron os alumnos, non estou seguro...

A canción que me acae ben hoxe a min mesmo é a seguinte dos Specials (un pouco de ska nunca vén mal).A este grupo moita xente o coñece pola canción Ghost Town, que apareceu no 2004 na banda sonora da película Zombies Party (tradución moi pobre do título Shaun of the Dead), e tamén por A Message to you Rudy, que seguro que vos lembra a algún anuncio de coches da televisión. Pero hoxe é día para Too Much Too Young:


12.12.09

Traballando un sábado

Creo que na vindeira ocasión na que resolva exercicios para os alumnos vou facelo a man e logo escanearei o folio, pois a verdade é que escribir no Editor de Ecuacións do Word é unha lenta agonía. E non será por práctica, pois fágoo tódolos días. Neste caso a única achega importante do software é a posibilidade de incluír figuras ben feitas (no meu caso co Geogebra). Pero iso tamén o podería facer sen necesidade de empregar o Word, claro.
Un par de comentarios:
  • O exercicio de adiviñar o número non o resolvín para que fagades un esforzo real por resolvelo por vós mesmos. Xa falaremos del o luns pola tarde.
  • O problema do cubo cortado creo que ten o enunciado máis confuso escrito por min desde que me dedico a este choio. Por unha banda non queda claro de que figura hai que calcular esas magnitudes, e por outro, que é o perímetro dunha figura en 3D? Supoño que é posible intuír do que estou a falar nese enunciado, pero claro non é. Por isto fixen unha nova figura na que se ve o que pregunto:

E o perímetro é a suma das lonxitudes das arestas que forman a figura. (Por certo, tampouco o resolvín).
E aquí tedes a solución parcial do simulacro:

Solución do simulacro da 1ª avaliación-3ºC


E como é sábado, e non todo van ser Matemáticas, un xogo que acabo de ver en Passion for puzzles: os National Geographic Map Jigsaw Puzzles. Polo título supoño que estará claro de que vai o tema, non? Se a opción por defecto resulta demasiado sinxela, no menú opcións podedes escoller que as pezas veñan xiradas, e neste caso teredes que xiralas coa tecla espazo ao tempo que mantedes pinchada a peza.

11.12.09

Aviso aos alumnos de 3º C de E.S.O.

Se queredes practicar para o exame do martes, subín á wiki o simulacro, pero sen solución. A ver se mañá á mañá teño tempo para resolvelo:

Simulacro sen solución da 1ª Avaliación-3ºC


Hai cousas ben difíciles, xa veredes...

10.12.09

Problemas, máis problemas...

Pero non moi difíciles, que isto non é o exame de 2º de E.S.O. que vou poñer mañá (lédeo con risa maquiavélica):

  • Es quen de conectar 12 destes puntos formando unha cruz de tal xeito que queden 5 puntos dentro da cruz e 8 fóra dela?




  • Podedes atopar dous números naturais que cumpran as seguintes condicións:
  1. A diferenza dos seus cadrados é un cubo perfecto.
  2. A diferenza dos seus cubos é un cadrado perfecto.

  • Na seguinte estrela hai 12 puntos unidos por 6 rectas con 4 puntos cada unha. Move 4 deses puntos de tal xeito que na figura resultante haxa 7 rectas con 4 puntos en cada unha:



A ver se alguén fai algún problema!

7.12.09

Por fin: un problema




Rea e Saturno, desde a sonda Cassini-Scientific American


Antes de liscar para Ferrol teño un chisco de tempo para propoñer un problema, que non por coñecido deixa de ser interesante. Ás veces un confunde o seu propio coñecemento co dos seus alumnos e colegas, e un problema que un veu xa en demasiadas ocasións perde interese intelectual, o que non quere dicir que perda interese docente. Hai que poñerse no lugar do descoñecedor, lembrando a primeira vez que un fixo o esforzo por resolver o problema. Exemplos de problemas recorrentes son (algúns polo alias típico e outros máis de lóxica que de Matemáticas):
O problema das fillas de Einstein, as cordas que cinguen a Terra polo Ecuador e un balón de fútbol, o oso e o cazador, o problema do cadrado dos nove puntos, o problema dos cabaleiros e os escudeiros, a balanza e as moedas (unha delas de distinto peso),...

O problema de hoxe non ten nome, pero na resolución hai unha pequena idea moi elegante (ai, a Teoría de Grafos, cantas xoias deixa!). Recupereino ao velo no blog Minute Math da Asociación Matemática Americana. Gozade de buscar a solución, aqueles que non o coñezades. Que sorte tedes. Unha sorte moi semellante á de non ter lido algúns libros que proporcionan experiencias inesquecibles. Non sigo por ese camiño, quizais un día con ganas e forzas abondo porei unha lista de libros que deixaron pegada. Hoxe, Matemáticas:

Nunha festa cada home bailou con exactamente tres mulleres, e cada muller con exactamente dous homes. Sabendo que foron doce homes á festa, cantas mulleres asistiron?


E se non sae, sempre podedes usar o cerebro neste xogo, Continuity, no que garanto que hai que pensar un anaco:



Continuity by Ragtime Games

O obxectivo é abrir a porta despois de coller a chave. Problema: tedes que mover as pantallas de tal xeito que haxa unha "continuidade" entre elas e o boneco poda circular. As teclas son as do cursor e o espazo para pasar do "modo puzzle" ao "modo movemento".
Abur!

5.12.09

Como facer entender?

Esta, e non outras, é a pregunta que me martiriza cando vexo as caras dos meus alumnos. Se damos creto ás teorías modernas en vigor, onde o profesor simplemente orienta aos alumnos no camiño da aprendizaxe (mode Zen:ON), estes alumnos descubrirían os conceptos, e os procedementos caerían polo seu propio peso. Ás veces gustaríame que os alumnos fosen autónomos abondo para aprender do que len. Pero aínda están moi afastados dese punto.
Concretando, o que me levou polo camiño da amargura esta semana foi a miña incapacidade para que unha porcentaxe significativa de alumnos dunha clase entendesen a seguinte idea, esencial para comprender a fórmula que calcula o xuro composto. Expoño a situación:

Se unha consola de videoxogos custa 600 €, e sofre dúas rebaixas consecutivas do 20 %, cal é o seu prezo ao final?
(Por certo, problema transformado desde a realidade, modificando as porcentaxes minimamente para facer os cálculos sinxelos, se seguides o mercado dos videoxogos saberedes)
Desde logo os alumnos dominaban o xeito lento e low-tech:


20 \ \% \ de \ 600 = \frac{600 \cdot 20 }{100}=\frac{12000}{100}=120\\
600 - 120 = 480\\
20 \ \% \ de \ 480 = \frac{480 \cdot 20 }{100}=\frac{9600 }{100}=96\\
480 - 96 = 384


Pero para progresar nesta unidade, é imprescindible dominar o xeito high-tech:


600 \cdot 0.8^2 = 384


O problema concreto na aula comezou cando observei que a frase:

"Se facemos unha rebaixa do 20 % acabamos pagando o 80 %"

non era entendida por moitos dos meus alumnos, nin sequera despois de explicala asistido polas contas que había no encerado. Tampouco ao tentar simplificar o asunto indo ao cerne:




100 % - 20 % = 80 %


que escrito en fraccións é:
\frac{100}{100}-\frac{20}{100}=\frac{80}{100}

e en tantos por un queda:
1-0.2=0.8

(Case dá risa escribir isto)
E tamén expliquei o encadeamento de porcentaxes, así que o problema tampouco debería estar no cadrado do 0,8.
Debería empezar a botarlle as culpas a un bloqueo emocional? (tan en voga hoxe en día) Calquera que estivese nunha aula comigo sabe que a miña relación cos alumnos non é exactamente, como dicilo, ... autoritaria, (quizais sexa a palabra axeitada). Pero iso xa sei que non é ningunha garantía.


Este problema de aprendizaxe é semellante ao que adoita ocorrer cando propoñemos en niveis anteriores (1º e 2º de E.S.O., normalmente) problemas "inversos" de fraccións. Un exemplo de problema directo sería:

Bebín tres quintos dunha botella con 100 centilitros de leite. Canto leite queda?

Un de problema inverso:

Gastei tres quintos dos cartos e agora teño 40 €. Cantos cartos tiña?

O habitual é axudar a explicación dun gráfico onde amoses que a fracción habería que aplicarlla a un número descoñecido, o que non é factible. Mediante o debuxo, (normalmente un segmento ou un rectángulo) un pode traballar cos anacos sen reparar na aritmética. Como exemplo máis elaborado, un problema tirado dun exame do ano pasado:

De tódalas criaturas da Terra Media, os elfos representan un terzo. Entre os elfos, dous quintos son descendentes de Noldor, mentres que o resto son descendentes de Feänor. Sabendo que os descendentes de Noldor son 200000, calcula cantos descendentes de Feänor hai e o número total de habitantes que pisan a Terra Media.

A solución xeométrica que lles proporcionei ao rematar o exame era a seguinte:


Click na imaxe para vela ben

Obviamente falta a sucesión temporal que lle da coherencia e sentido aos números do gráfico (é dicir, o que facemos os profesores nas clases)

Todo isto vén para amosar que, aínda despois de que os alumnos resolvan problemas deste xeito, se o tentan resolver dun xeito aritmético, o que fan é aplicarlle a fracción ao número final. E non hai volta.
E nestas andamos.

4.12.09

Correndo, sempre correndo




E sempre chego tarde, como o coello de Alice in Wonderland que vedes enriba. Por certo, non lembro xa quen mo preguntara, pero a frase que serve como subtítulo do blog:

"When I use a word... it means just what I choose it to mean"

está tomada da continuación dese libro, Through the looking glass and what Alice found there, que xunto ao primeiro é unha lectura obrigada para todos aqueles interesados polas Matemáticas (na miña opinión, claro). A frase é pronunciada por Humpty Dumpty nunha conversa con Alicia, pouco despois de ver a famosa conta:


onde todos podemos comprobar que é moito mellor celebrar días nos que non cumpres anos que días nos que si.

Levo varios días que nin sequera leo completamente as miñas fontes de información no google reader. O máximo que fago é destacar o que máis me interesa para lelo cando teña tempo. E agora teño un feixe de cousas pendentes de lectura, e varias que comentar.

Por exemplo un xogo que mestura o xénero de atopar as diferenzas entre dúas imaxes e o xénero de ordenar as partes dunha imaxe. Chámase Magic Factory, e dá para xogar un anaco. E outro xogo, de carácter máis matemático (principalmente para todos os que saiban do Teorema das 4 cores), é o seguinte, Flood Fill, no que tedes que pintar cada rexión do "mapa" dunha cor das 4 posibles de tal xeito que dúas rexións veciñas non estean pintadas da mesma cor. Ánimo, que ningún dos dous xogos é demasiado complicado.

E vin en Boing Boing este vídeo que inclúe dúas cousas ben fermosas: unha sucesión de imaxes en time-lapse do ceo e a Sonata para piano nº 14 de Beethoven. Vede o vídeo aquí embaixo en resolución normal ou ide á web de Vimeo para velo en HD, e xulgade:




Timelapse movie: The Alps -- part II (night) from Michael Rissi on Vimeo.