31.1.10

Un erro tradicional





Revisemos nesta mañá de domingo un dos erros máis comúns que os profesores de Matemáticas vemos en exames e exercicios dos alumnos. Estou a falar de (profesores sensibles, coidado cos ollos!):

(x+y)^2=x^2+y^2

intimamente relacionada con

\sqrt{x^2+y^2}=x+y




A razón de cometeren estes erros é sinxela: teñen certo aspecto de credibilidade, que os alumnos que só perciben o aspecto externo da Álxebra identifican coa corrección. Desde ese punto de vista, por que non vai ser certa esa fórmula se é certa a seguinte:


(x \cdot y)^2=x^2 \cdot y^2


Pola miña experiencia, cando un alumno comete este tipo de erros non serve de nada reproducir a demostración feita previamente na clase onde podemos ver como aparece o termo 2xy, nin a demostración xeométrica (bastante custa xa relacionar os monomios e os rectángulos para enlear na explicación ante un erro nun exame). Eu normalmente recorro a darlle valores a x e y e ver que sucede diante do alumno. Por exemplo, se x = 3, y = 4


(3+4)^2=7^2=49
3^2+4^2=9+16=25

E
49 \neq 25


Pero este enfoque tampouco garante éxito ao profesor. Os alumnos que non asimilaron a relación entre os polinomios e os valores numéricos concretos non van observar ningunha proba de falsidade nestes cálculos, e simplemente quedarán como estaban antes do contraexemplo. A solución? Como recomendaban os envoltorios de caramelos dos 80, seguimos buscando...

Para baixar o nivel de solemnidade (e de pesimismo) deste post, sempre podemos dedicar o noso tempo a cuestións máis lúdicas, como o Hardest Math Sudoku, un sudoku no que si teremos que utilizar as nosas habilidades matemáticas (aínda que só sexan as aritméticas). Mirade unha captura de pantalla para ver de que vai:



Nota: Supoño que vos decatastes de que non é necesario botar as contas, non? Pero é unha axuda.

30.1.10

O problema do 20%



Hai un par de semanas lin nun dos blogs de profesores de Matemáticas de USA que xa comentei o seguinte comentario:

"You can insist on doing things the old way, but you don't also get to insist on being successful for more than 20% of your students. If you think that's okay, I hope you grade that way too."

Que na miña pobre tradución vén sendo:

Podes insistir en facer as cousas ao vello estilo, pero non pretendas ter éxito con máis do 20 % dos teus alumnos. Se pensas que iso está ben, espero que tamén puntúes dese xeito.

Para pór en contexto o pensamento, digamos que o post trataba sobre o ensino da Álxebra (xa saben, cando as Matemáticas tornan serias e sen números) nos institutos de New York.

Deixando a un lado o dato concreto do 20 % que utiliza o autor da reflexión, hai algo de certo nesa frase?

Por desgraza a experiencia como profesor e alumno lévame a contestar que si. Sen embargo, en contra do optimismo deste profesor, eu creo que non hai solución. Pois Mr. K (así aparece no subtítulo do seu blog) cre que alternativas innovadoras poden levar a mellorar o rendemento dos alumnos nesta materia. Resumindo: opina que o problema é a metodoloxía, the old way, o traballo tradicional con lapis e papel. Pola contra, eu creo que a materia en si, e non a metodoloxía, é o quid da cuestión. É dicir, eu creo que, independentemente do xeito de traballar/presentar os contidos, estes continúan a ser difíciles. Non hai volta.

A non ser que redefinamos o que esperamos como rendemento dos alumnos en Álxebra. Isto considero que é unha das terxiversacións máis habituais hoxe en día: como non vou acadar que os meus alumnos entendan o que prescribe o curriculum, simplemente vou pretender que sexan quen de identificar aspectos externos da materia, ou que vexan as partes dun problema resolto, ou parvadas semellantes que non impliquen traballo intelectual serio por parte do discente.

Resolver centos de ecuacións non supón saber Álxebra. Simplemente garante que es quen de imitar un proceso mecánico que o teu profesor introduciu previamente.

Remato cun fragmento da obra de Ernesto Sábato "Uno y el Universo", que sintetiza nun par de liñas unha das ideas que me asaltan sobre o ensino e a divulgación da ciencia:

"Alguien me pide una explicación de la teoría de Einstein. Con mucho entusiasmo, le hablo de tensores y geodésicas tetradimensionales.- No he entendido una sola palabra-me dice, estupefacto. Reflexiono unos instantes y luego, con menos entusiasmo, le doy una explicación menos técnica, conservando algunas geodésicas, pero haciendo intervenir aviadores y disparos de revólver. -Ya entiendo casi todo- me dice mi amigo, con bastante alegría-. Pero hay algo que todavía no entiendo: esas geodésicas, esas coordenadas... Deprimido, me sumo en una larga concentración mental y termino por abandonar para siempre las geodésicas y coordenadas; con verdadera ferocidad, me dedico exclusivamente a aviadores que fuman mientras viajan a la velocidad de la luz, jefes de estación que disparan un revólver con la mano derecha y verifican tiempos con un cronómetro que tienen en la mano izquierda, trenes y campanas.-¡Ahora sí, ahora entiendo la relatividad!-exclama mi amigo con alegría.
-Sí-le respondo amargamente-pero ahora no es más la relatividad."

27.1.10

Games only

Hoxe só estou de humor para recomendar xogos.

Primeiro, Puzzle Trap, que é unha mestura entre os xogos Point&Click e os puzzles tradicionais en 2D. Usade a vosa lóxica gamer, non leva máis que un par de minutos.

Máis vai levar este xogo: Pictogrid. Aínda que a idea é ben sinxela, pois só hai que copiar o deseño da figura pequena no taboleiro, usando as frechas que aparecen aos lados.




E unha das miñas cancións preferidas dos Beatles, Strawberry Fields Forever:

26.1.10

Este problema é un bo problema

Para unha olimpíada de Secundaria, quero dicir. É sinxelo de comprender, ten unha solución elegante e rápida, e non require grandes fórmulas para ser resolto. Para abreviar non vou poñer o enunciado orixinal, só o estritamente necesario.

Calcula a fracción que representa a área violeta respecto ao octógono regular:


Olimpíada Galega de 2º de E.S.O., 2008

Por buscarlle unha falla ao problema, quizais só haxa unha única solución susceptible de ser atopada polos alumnos, pois as solucións alternativas requiren moita maquinaria matemática. Pero para dicir a verdade, esa non é unha falla relevante.

24.1.10

Máis problemas de olimpíadas

Tethys slips behind Titan


O xoves, día de recuperación da 1ª avaliación, os alumnos de 2ºB que non tiñan que facer o exame estiveron escornándose contra os problemas de edicións pasadas da Olimpíada Galega.
Unha cousa da que me decatei sobre o tipo de problemas desta competición é que, ao revés do que sucede nos problemas "de clase", adoitan ter varias respostas. En principio non teño nada en contra de problemas con varias respostas, pero si cando o número destas é demasiado grande. Vexamos un exemplo para concretar o que quero expresar.

O problema 4 da fase final de 2008, titulado "O libro" é unha boa mostra:


Un libro ten 303 páxinas e está dividido en capítulos. Os capítulos son ou ben de 25 páxinas, ou ben de 20 páxinas ou ben de 16 páxinas. Cantos capítulos de cada clase pode ter o libro?


A solución formal é obvia, temos que resolver a ecuación diofántica

25x+20y+16z=303

sendo x, y e z o número de capítulos do libro con 25, 20 e 16 páxinas, respectivamente. Isto impón que as solucións sexan non só números enteiros, senón tamén naturais, e ademais menores que 30.

Tal ecuación non presenta demasiadas dificultades, simplemente hai que ter en conta o tamaño dos números e a súa paridade, e chegamos ás solucións

x=3, y=1, z=13
x=3, y=5, z=8
x=3, y=9, z=3
x=7, y=0, z=8
x=7, y=4, z=3

Ben, quizais haxa quen pense que non é un número moi elevado de solucións (aínda pode ser unha menos se non aceptamos que non haxa capítulos con 20 páxinas). Pero por que non me gusta a min?

Basicamente porque o proceso mental esperado nos alumnos olímpicos consiste en que se decaten de que o número de páxinas do libro remata en 3, e que isto leva a deixar por un momento á marxe os capítulos de 20 páxinas e centrarnos nos de 25 e 16. Despois disto o demais vén de xeito natural: temos que considerar a suma 3·16 + 25 = 73 como comezo das solucións, e rematar as solucións enchendo as restantes 303 - 73 = 230 páxinas.

Ademais naquela mesma fase final do 2008 había outra actividade cuxa resposta era tamén bastante longa, o problema 2, titulado "Fichas ao aire":

Teño dúas fichas, unha azul e outra vermella. En cada cara teñen escrito un número natural, sen que se repita ningún. Se lanzamos as dúas fichas ao aire e sumamos os resultados que poden saír, obteríamos: 11, 12, 16 e/ou 17. Podes adiviñar os números escritos en cada cara de cada ficha?

Neste caso aínda hai máis solucións, un total de 10.

Eu creo que os problemas máis axeitados para unha Olimpíada Matemática son aqueles que requiren unha certa reflexión alén da mera meticulosidade. Para seren meticulosos os alumnos xa teñen abondo cos exercicios propios das aulas. Estou a pensar en ecuacións con denominadores, operacións combinadas con números enteiros e fraccións, con potencias e radicais, con polinomios (ai, a división!), sistemas de ecuacións, ...


En fin, un desacougo. Quizais estou influído pola visión do seguinte vídeo, que non sei aínda que como denominar exactamente á sensación que produce:


Syn Emergence from RICH BEVAN on Vimeo.

22.1.10

O Profesor Layton e Alba

Despois de varios días cavilando na solución dun problema sen solución, por fin descubrimos cal era o enunciado correcto. Grazas a Alba (de 1º B) e un xogo da DS, aquí tedes un problema novo:

Movendo un único misto transformade os 4 cubos que hai na figura en 3 cubos.

E tranquilos, que este si ten solución.

20.1.10

Unindo puntos

Como todo o mundo xa coñece este problema, que é o típico exemplo que poñemos os profesores de pensamento lateral (thinking outside the box, nunca mellor dito):


Unir os 9 puntos mediante 4 segmentos rectos sen levantar o lapis do papel


Pois hoxe haberá que poñer un menos coñecido.

Aquí tedes doce puntos unidos por cinco segmentos rectos:


O problema consiste en unir os doce puntos con cinco segmentos pero de tal xeito que o camiño comece e remate no mesmo punto (no debuxo anterior comeza na esquina superior dereita e remata na inferior esquerda, así que non valería).

18.1.10

Vedes ben?

Pois observade o seguinte vídeo. Fixádevos como está de torcido o taboleiro, e o que pasa cando sopran as bólas.






Podedes comprobar se a vosa vista (ou cerebro) xa non funciona xogando ao Starlight, xogo no que só tedes que atopar o punto de vista desde o que aparece unha figura na noite estrelada. As primeiras fases do xogo serven como manual de axuda, así que non hai escusas: hai que rematalo.


16.1.10

Canta imaxinación!



Probade o First Person Tetris. Mellor no modo nocturno. Non diredes que non é unha mostra enorme de imaxinación facer que, en troques de rotar as pezas (os tetrominós) , xiremos o mundo!
É dicir, un Tetris en primeira persoa, ao máis puro estilo dos shooters de toda a vida, como o Unreal, o Quake...

E nestas datas están a celebrar a primeira fase da Olimpíada Matemática Española de Bacharelato. O ano pasado, na fase galega apareceu un problema interesante de Combinatoria:

Temos 2009 moedas repartidas en 10 montóns. Cada montón ten polo menos tres moedas. Un movemento consiste en elixir un montón, retirar unha das súas moedas, e dividilo en dous montóns. É posible, repetindo este movemento, chegar a ter montóns que teñan todos exactamente tres moedas?

E como este problema é demasiado difícil, un tirado da Olimpíada Galega de 2º de E.S.O. do 2009:

O deseño seguinte está formado por baldosas brancas e negras. A súa anchura é 5.
  1. Temos outro deseño cunha anchura 15. Cantas baldosas de cada cor terá?
  2. E se a súa anchura fose de 85?
  3. Para calquera anchura n, podes expresar o número total de baldosas?

15.1.10

Irracionalidade sobre π

Non estou pensando en poñer un ordenador a traballar 116 días para calcular díxitos, non. Estou a falar dunha situación máis ridícula. Lede e alucinade:


En 1897 un médico e matemático aficionado chamado Edwin J. Goodwin pensou que atopara un xeito correcto de cadrar o círculo , aínda que isto era recoñecido como imposible grazas á demostración de 1882 de Lindemann. E que mellor xeito de obter beneficio da súa clarividencia que expoñer ante a Cámara de Representantes do estado de Indiana unha proposición para que o seu descubrimento fose propiedade de ese estado e, así, apañar royalties.

Non contento con isto, Goodwin tamén podía deducir o valor "correcto" de π traballando sobre a seguinte figura:

O problema é que nesta figura os datos están trabucados, como era obvio. Se lemos o texto da Indiana Text Bill, 1897:

"Furthermore, it has revealed the ratio of the chord and arc of ninety degrees, which is as seven to eight, and also the ratio of the diagonal and one side of a square which is as ten to seven, disclosing the fourth important fact, that the ratio of the diameter and circumference is as five-fourths to four;..."

Cálculos sinxelos levan a deducir o valor para π de ... 3,2!

E se imos alén do cálculo de π, tamén atopamos esta xoia:

\sqrt{2}=\frac{10}{7}=1,428571...


Por sorte, a proposta non foi adiante.

10.1.10

Na véspera

Para hoxe, un aritgrama, que xa vai tempo que non propoño un. Como sempre, cada letra representa un díxito:



(Collido prestado do Journal of Recreational Mathematics)



E tamén un xogo, Add Em Up, no que o obxectivo é eliminar as celas numeradas antes de que quedes sen movementos. Tes que colocar a cela de enriba da dereita nun lugar do taboleiro no que as celas veciñas sumadas dean o valor da nova cela. Nas sumas que superan o valor 10 só temos en conta a última cifra. Por exemplo, nesta imaxe a cela co valor 2 ao ser situada como veciña do 8, o 0 e o 4 fai que desaparezan todas, pois 8 + 4 = 12


O xogo tamén ten un modo puzzle, considerablemente máis difícil.

9.1.10

Sabías que...?




O presidente dos Estados Unidos de América James Abram Garfield1 (1831-1881) atopou unha demostración do Teorema de Pitágoras? (actualmente son coñecidas máis de 350!)


Tomando como base o triángulo rectángulo


a súa proba utiliza o seguinte trapecio:







1. A súa presidencia, a segunda máis curta da historia dos USA, foi truncada por disparo cando levaba só 199 días no cargo. Aínda así, desde o atentado ata a súa morte pasaron dous meses e dezasete días. A historia completa, na wikipedia.

7.1.10

Novas sobre π

O programador Fabrice Bellard vén de acadar un novo record na computación de díxitos de π: nada menos que 2,7 billóns de cifras en base dez. Isto supón unha mellora do record anterior de Daisuke Takahashi, que chegara a 2,577 billóns de díxitos. Hai que advertir que este tipo de cálculos non teñen interese matemático, en palabras do propio Bellard nas Frequently Asked Questions:

"Non estou interesado especialmente nos díxitos de π senón nos algoritmos implicados en levar a cabo aritmética de precisión arbitraria"

É dicir, que este record ten máis importancia para os programadores que para os matemáticos.

O curioso deste novo fito de cálculo é que foi acadado cun ordenador que poderíamos denominar "persoal", con características principais:

  • 2,93 Ghz
  • 46,9 Gflops

Nada que ver co anterior record, que utilizara un supercomputador . Tamén lle levou moito máis tempo o cálculo, aínda que cun xeito máis eficiente de obter os novos díxitos.

O recordman comenta que os ficheiros onde ten almacenados os datos ocupan máis dun terabyte, polo que resulta inviable baixar os datos (e para que querería facelo ninguén?) , pero aloxou aquí unha mostra en notación decimal e hexadecimal. Os detalles técnicos, aquí.


O realmente interesante (na miña opinión) é a fórmula utilizada para o cálculo, coñecida como serie de Chudnovsky:


\frac{1}{\pi}=\frac{12}{C^{\frac{3}{2}}} \ \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n(6n)!(U+Vn)}{(n!)^3(3n)!C^{3n}}}


onde U = 13591409, V = 545140134 e C = 640320

Curioso, non si? Polo menos se o único que sabe un sobre π aparece nas fórmulas do perímetro da circunferencia e a área do círculo. De entre tódalas representacións coñecidas de π, as miñas preferidas seguen a ser as que son introducidas nos cursos baixos das carreiras de ciencias:

Serie de Gregory:

\pi=4 \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n}{2n+1}}=4 \biggl(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\cdot\dots \biggr)


Produto de Wallis:


\pi=2 \prod_{n=1}^\infty{\biggl(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\biggr)}=2\cdot \frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7} \cdot\dots


Nota: curiosamente, na película da imaxe da cabeceira cometen un erro ao amosar os díxitos de π a partir da novena posición ...


Xa quedan poucos días para xogar sen preocupacións. Unha boa escolla sería The Company of Myself, probablemente o xogo flash que máis preto está da experiencia de Braid:


6.1.10

Un ano, xa!




Un ano vai desde o día no que, despois de escoller o aspecto do blog e modificar a configuración, publiquei por primeira vez. O post, Comezando.

Lembro que tiña moitas cousas que quería contar. Para comezar desexaba colgar un vídeo para eludir a visión das Matemáticas como materia académica (que segue a ser tan común). E aínda sendo crítico cos temas recorrentes (eses dos que falei un pouco aquí), decidín colgar o vídeo dos fractais que podedes atopar aló.

Un ano despois, teño que dicir que a experiencia de manter un blog paga a pena. É obvio que non funciona como eu tiña pensado. Agora podo dicilo: o medio non é suficiente. Nesta época de redes sociais (Facebook, Tuenti, Twitter, LinkedIn, hi5, MySpace,...) sempre teño a sensación de que os alumnos non lle tiran todo o partido ao que teñen arredor. Os que temos contacto con alumnos adolescentes observamos a diario as súas dificultades para levar a cabo tarefas coas novas tecnoloxías. Cantas veces temos que repetir como gardar un arquivo? Cantos distinguen o que é un navegador ou un sistema operativo? Por poñer outro exemplo común: bastante habitual é a sorpresa cando comento que a cunca de café que lles aparece no móbil é a icona dunha linguaxe de programación (que é iso?).

O blog como ferramenta de traballo fóra da aula só serviu como medio para avisar aos alumnos da dispoñibilidade de simulacros na wiki. E nada máis. E aínda tiven algún enfado: un venres avisei ás 10:00 nunha aula de que pola noite ía estar listo o simulacro de exame da 1ª avaliación. Así foi: pola tarde estiven a facelo na casa e colgueino antes da cea. Cando tiven clase outra vez nesa aula o luns seguinte, ninguén baixara o arquivo. Se a alguén lle interesa (non como aos meus alumnos), está aquí.

Todo isto soa a vello. Hai arredor de 25 anos, noutra xeración, os que tiveron a sorte de dispoñer dun ordenador (MSX, Amstrad CPC, Spectrum Sinclair,...) usábano esencialmente para xogar (aqueles xogos de cinta que cargaban nun magnetofón se non viña integrada a unidade no teclado). Sen embargo, aqueles ordenadores traían un manual elemental da linguaxe de programación BASIC. É dicir, había a oportunidade de avanzar alén do puramente lúdico, pero, cantos o fixeron?

Pois algo semellante sucede agora. Poño un exemplo: algunha vez que teño proposto problemas xeométricos, esperaba unha resposta gráfica. Obviamente non é posible achegar un debuxo no campo de comentarios de blogger, así que hai que afinar o enxeño. A ninguén se lle ocorreu subir o gráfico a unha web de almacenamento de arquivos (eu que sei: Box.net, 4shared ou os megacoñecidos Rapidshare, Megaupload, Gigasize...), nin sequera enviar por correo electrónico o arquivo (cunha honrosa excepción, todo hai que dicilo).

A medida que avanzaba o ano fun variando os temas. O ritmo que levaba ao principio (13 problemas en 18 posts, xaneiro de 2009) foi minguando. Podedes ver agora as etiquetas máis comúns:
  1. Problemas-81
  2. Vídeos-54
  3. Xogos-51
  4. Cancións-28
  5. Aula-25
Supoño que era demasiado optimista. Xa non o son.
Aquí tedes dúas novas relacionadas co ensino, unha falsa e a outra real:

"Corea del Sur implementará robots en las salas de clase"
"El fracaso escolar lleva a sustituir a los alumnos por profesionales"


Creo que vou xogar ao Tuper Tario Tros.

5.1.10

Anumerismo

Seguro que a palabra do título resulta estraña, verdade? Lóxico: non existe. Nin en galego nin en castelán aparece recollida nos seus léxicos.

Sen embargo, non hai outro xeito máis breve e eficiente de expresar o concepto que en inglés é chamado innumeracy. A historia deste termo é, máis ou menos, como segue:
o matemático e lóxico estadounidense John Allen Paulos escribiu en 1988 o libro "Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its consequences" (Anumerismo: Analfabetismo Matemático e as súas consecuencias). Nel debullaba as distintas facetas dese aspecto da incultura, así como as consecuencias prácticas na vida cotiá dos "anuméricos".
(Hai tradución ao castelán do libro: "El hombre anumérico", e versións pola rede)

Fai reflexionar que o autor do libro apunte como unha das razóns da extensión actual do anumerismo a persistencia de pobres métodos de ensino. Non queda aí: tamén comenta o escaso prestixio real que teñen as Matemáticas. Cando digo real refírome a que, se ben como materia académica é respectada (e incluso temida, que lle imos facer...) moita xente culta non ten rubor algún en recoñecer que non posúen formación matemática, ou ben que nunca se lles deu ben, que nunca entenderon as Matemáticas... Mentres que ninguén ousaría dicir: "Nunca entendín o que lía", aínda que fose certo.


Nas clases adoito comentar dous exemplos de anumerismo:
  • O primeiro, trivial pero bo indicador: Hai dous anos, na peaxe da autoestrada AP-9 entre Ferrol e A Coruña, cando o operador da cabina pediu "Tres euros con cinco" pregunteille: "Tres euros con cinco ou tres euros con cero cinco?" A resposta, terrorífica: "Non é o mesmo?" Claro, e Magic Johnson medía 2,6 metros... (facía mates coa cabeza)

  • O segundo, patético: Nunha canle de televisión privada (creo que era Tele Cinco, pero non estou seguro), cando comezaba a moda de anunciar o tempo que ían durar os intermedios publicitarios, o contador dos segundos lucía así (o tempo está manipulado para que se vexa mellor):



É dicir: as décimas van no lugar das centésimas, e engadimos un cero, que sempre queda bonito. Tal sacrilexio, polo menos, só durou unha semana.


E o último exemplo de anumerismo, este dentro da categoría de humor, proporcionado polas gravacións dunha trama corrupta. Transcribo a frase:

"Si somos 11, yo quiero mi 11%"

Habería que ver as contas do home este se fosen 100 no allo...

Sobre este tema comentei onte un blog, Good Math, Bad Math, no que o autor (enxeñeiro informático en google) comenta frecuentemente malos usos das Matemáticas. Pois ben, en castelán temos dous blogs de temática concreta diferente pero cun obxectivo (e nome) semellante, Mala Prensa e Mala Ciencia. En palabras dos autores, tal e como aparecen nos subtítulos dos blogs:
En Mala Prensa:
Errores y chapuzas de la prensa española: números equivocados, gráficos incorrectos, fallos lógicos, conceptos erróneos, mala interpretación de estadísticas o datos científicos...
En Mala Ciencia:
Disparates, barbaridades y patadas a la ciencia, en noticias, películas o incluso en el saber general

4.1.10

Cousas que leo

En primeiro lugar, unha pequena animación fotograma a fotograma:

parkour motion reel from saggyarmpit on Vimeo.



Este blog está a piques de cumprir un ano de existencia. E, como avanza o título do post, vou comentar os blogs de Matemáticas e Educación que teño no Google Reader. Que non son todos os que leo deses temas, pero si son os que me parecen tan interesantes como para subscribirme a eles. (Para os que non saiban o que é o Google Reader, digamos brevemente que é un servizo que che avisa de cando un blog ao que estás subscrito ten contido novo, é dicir, foi actualizado).

Imos aló:

Blogs de Matemáticas:

  • MAA Minute Math: É un blog da Mathematical Association of America, que propón problemas de nivel instituto case diariamente.
  • Acertijos y más cosas: Non é exactamente un blog de Matemáticas, máis ben trata sobre problemas de lóxica, pensamento lateral, puzzles, xogos,... Ás veces utilizo nas aulas problemas tirados deste blog como problemas alternativos.
  • Good Math, Bad Math: O autor é un enxeñeiro de Google, e adoita comentar aspectos divertidos das Matemáticas e tamén malos usos (e quen os perpetra)
  • Gower's Weblog: O blog persoal dun matemático gañador da Medalla Fields, Timothy Gowers. Actualiza moi de vez en cando, pero cando o fai sempre paga a pena.
  • What's New: Outro blog persoal dun gañador da Medalla Fields, Terry Tao. Este prodixio australiano é probablemente un dos matemáticos máis coñecidos da actualidade. Lede a súa biografía na wikipedia para coñecelo un pouco: Terence Tao. Por certo, o blog adoita ter certo nivel, así que non pensedes que se pode ler como se fose un xornal deportivo (en realidade, eu só leo os posts que podo chegar a entender, como este: Fórmula de Stirling)
  • Gaussianos: Un blog español sobre Matemáticas en xeral: matemátic@s, teoremas, historia, problemas,...

Blogs sobre Educación:

  • dy/dan: O blog dun artista da docencia matemática, Dan Meyer. A súa serie de posts What can you do with this? é impresionante.
  • f(t): Da profesora Kate Nowak, con boas reflexións sobre a práctica docente.
  • JD2718: Un profesor de Matemáticas no Bronx.
  • Mathsclass: Un blog con multitude de recursos didácticos e ideas para clases.
  • Tanya Khovanova Math's Blog: Non exactamente sobre educación xeral, senón sobre preparación de alumnos a concursos e olimpíadas. A autora foi medalla de ouro na Olimpíada Internacional de Matemáticas e mantén unha web, Number Gossip, na que podes aprender propiedades dos números naturais. Por exemplo, o número 2010 é: Abundante, Composto, Par, Maligno, Práctico, Libre de Cadrados, Ulam e Intocable.
  • Let's Play Math: En palabras do autor, "As Matemáticas son un xogo: xogar con ideas. Este blog trata da aprendizaxe, o ensino e simplemente xogar coas Matemáticas de instituto"
  • The Exponential Curve: O autor, Dan Greene, comparte estratexias de ensino e recursos que utiliza nas aulas.
  • Continuities: Reflexións desde Chicago sobre a aprendizaxe dos alumnos.
  • Math Stories: Mr. K actualiza rara vez, pero os seus posts sobre as actividades reais están moi traballados.
  • Research in Practice: Este blog trata da investigación en Educación Matemática. Unha mágoa que non actualice con maior frecuencia.
  • Thoughts on Teaching: O blog dun profesor de Inglés que apunta ideas moi boas sobre o funcionamento das clases. Inactivo desde hai un tempo.
  • The Number Warrior: Jason Dyer comenta tanto aspectos educativos das Matemáticas como competicións internacionais de puzzles. A miúdo achega ligazóns moi interesantes sobre Matemáticas.
  • Noticias de Educación: Un blog español que fai un varrido da rede para atopar tódalas novas dos medios que fan referencia dalgún xeito á educación.

E isto é todo, polo menos no que se refire a ligazóns no Google Reader.

3.1.10

Un paradoxo que non é un paradoxo




En Novembro (do ano pasado) vin esta animación que simula a existencia de aneis como os de Saturno na Terra:



E lembroume unha situación que poderíamos cualificar como un paradoxo que non é un paradoxo, non sei se coñeceredes a situación:

Collede un balón de fútbol e cinguídeo cunha corda polo seu "ecuador".


Abride a corda e cando a teñades estendida, engadídelle un metro máis (facendo un nó, por exemplo). Volvede colocar a corda arredor do balón, agora non queda cinguida, pero colocádea de xeito concéntrico ao anterior (como os aneis de Saturno). A que distancia queda a corda do balón?

(Un balón de fútbol ten unha circunferencia entre 68 e 70 cm. Para concretar, supoñamos que o noso ten unha circunferencia de 70 cm.)

Imaxinade que agora puidésedes facer os mesmos pasos pero cunha corda arredor do Ecuador da Terra. É dicir, cinguides a Terra cunha corda polo seu Ecuador:

Abrides a corda e engadídeslle un metro, volvedes colocar a corda arredor do Ecuador, pero a certa distancia da Terra. Cal é esa distancia agora?



(O diámetro ecuatorial da Terra é 12756,8 km)

En cal dos dous casos é maior a distancia, no balón de fútbol ou na Terra?

Cando o calculedes, velaí o paradoxo que non é un paradoxo.

Nota: Evidentemente, as imaxes só queren achegar a idea do paradoxo, e non están feitas a escala.