29.4.10

Un problema xeométrico de Portugal

Á espera de que publiquen os problemas da Olimpíada Galega Matemática de 2º de E.S.O., que foi celebrada o 16 deste mes (que está a piques de rematar), están dispoñibles os problemas da olimpíada portuguesa. Entre eles atopei un pequeno problema xeométrico ao máis puro estilo sangaku, que esencialmente fala de calcular a razón entre as áreas dos cadrados azul e verde da figura:



Nada máis por hoxe, agás esta animación que ten como música unha das miñas cancións preferidas de Led Zeppelin:

kashmir from Steve Scott on Vimeo.

27.4.10

Se non queres saber, non preguntes

Na hora anterior estaba amosándolles na pantalla aos alumnos de 3º propiedades xeométricas básicas: suma de ángulos dun triángulo e dun polígono, ángulo nun polígono regular,... The essentials, que din en inglés.

Pois cando chegamos aos puntos notables do triángulo non se me ocorre mellor idea que preguntarlles se coñecen algunha palabra que comece por "orto" (eu xa temía que lembrasen o suceso do orto e Juan Martín del Potro). Resposta dunha alumna:

"Si, Ortega Cano"

Que lle imos facer, se eu só quería que pensasen en ortopedia, ortodoncia...
Se marcades a caixa de Ortocentro, veredes a razón:


Centros do triángulo
























Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)





J.J. Rodríguez, 27 de abril de 2010, Creado con GeoGebra

26.4.10

Abril, 28 graos Celsius





E mañá 29, segundo meteogalicia. Cousas do clima continental.

En primeiro lugar, para os alumnos de 1º de Bacharelato, acabo de colgar a solución do exame da 2ª avaliación na wiki. Como sempre, espero que non haxa moitos erros.

Había tempo que non enlazaba unha aplicación on line de Matemáticas. Pois a de hoxe, Functions3D, dun deseñador chamado Ben Joffe, fai gráficas tan claras como este paraboloide hiperbólico (tradicionalmente chamada sela de montar, a razón podedes vela vós mesmos):

Curiosamente, non cheguei á web de Ben Joffe na procura dunha aplicación que debuxase gráficas de funcións en 3D, senón tras un Tetris no que a pantalla forma un cilindro, e non o rectángulo habitual. É dicir, que a liña do chan non é un segmento, senón unha circunferencia. Chámase Torus, e aquí tedes unha captura:




23.4.10

Aviso aos alumnos de 1º de E.S.O.

Como dixen que ía facer hoxe a primeira hora da mañá , acabo de subir á wiki o exame da 2ª avaliación. Para que poidades comprobar que tal vos foi, tamén subín a solución.

Tedes aquí as ligazóns:

Exame da 2ª Avaliación-1ºB
Solución do Exame da 2ª Avaliación-1ºB

Para calquera dúbida, xa sabedes, podedes deixar por aquí un comentario ou ben mandarme unha mensaxe privada no tuenti (canto antes mellor).


Edito para incluír esta marabilla de vídeo sobre ilusións ópticas, que acabo de ver no delicious dun dos profesores-bloggers que sigo. Só dura 1:24, así que non tedes escusa para deixar de velo:



22.4.10

Unha construción xeométrica con Geogebra

Move os textos se no teu navegador cubren a figura:

Zoupando na escada.

Se estás nunha escada apoiada na parede e a escada empeza a esvarar, fíxate no percorrido que seguen os teus pés ao caer. Que figura cres que aparecerá? Unha liña recta? Unha poligonal?Ou que?











Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)




José Jorge Rodríguez Pérez, Creado con GeoGebra

20.4.10

Os tempos están a cambiar...






Como hai tempo que non propoño un problema, xa vai sendo hora de poñer un interesante e sinxelo.







Coloca os números do 0 ao 5 nos círculos pequenos para que a suma dos números de cada unha das circunferencias grandes sexa 10.




Ben, agora xa é tempo de ir pensando que facer con este blog. Moitos xa sabedes a razón, que coincide co título deste post.
Seguiremos informando.

19.4.10

Máis cálculo




Entendedes de que trata a imaxe, aínda que non saibades programar nin coñezades o alfabeto cirílico?


Hoxe tiña pensado comentar máis curiosidades numéricas, como as do post do domingo pasado, pero como non teño ganas de escribir moito, imos deixalo para outra ocasión.

Pero vou comentar uns xogos relacionados co cálculo, aínda que non co habitualmente chamado cálculo mental.

O primeiro xogo, Operation: Math Equation Game (de que irá isto?), é semellante á parte de Cifras do xogo clásico Cifras e Letras. Xa sabedes: tedes un número obxectivo e 6 números que podedes operar para chegar ata o obxectivo.

En troques, o seguinte xogo, Mathteroids, é unha mestura entre cálculo mental (e veloz) e o clásico de Atari Asteroids. É destes xogos que chegan a desesperar ao incauto ao que se lle ocorre xogar.


Vós controlades co rato a nave que vedes no medio da pantalla , e coas teclas numéricas disparades ás operacións.


Xa está ben de xogos matemáticos: é tempo dun pouco de pura diversión.

Para comezar a versión on line do clásico Arcade Metal Slug, bastante semellante ao orixinal. Pero se tedes o emulador Arcade MAME 32, é moito mellor instalar o ROM da NEO GEO e baixar o ROM do xogo orixinal.

E un xogo de plataformas ao vello estilo: Quietus. Como é usual, só é necesaria unha pouca habilidade, e repetir as fases ata pasalas.

15.4.10

Cálculo mental




Especialmente dedicado aos meus queridos alumnos de 1º de E.S.O. (estrañamente non é de broma):

Vin hai un par de días en Microsiervos un post sobre unha disciplina do cálculo mental chamada Anzan, da que non oíra nunca falar.

No post de Microsiervos enlazan a unha versión en Flash do xogo, na que podemos configurar as características do xogo: número de díxitos (de 1 a 7), a velocidade do xogo (2.0 significa que cada número permanece en pantalla 2 segundos), e o total de números dos que queremos que conste. Facede clic na imaxe se queredes probar:




Como din en Microsiervos, parece axeitado comezar a probar a nosa habilidade en 1/1/10 (10 números cunha soa cifra durante 1 segundo cada un), que resulta bastante sinxelo se estamos concentrados, e ir incrementando a dificultade de xeito paulatino.

No canal de youtube The Soroban School podedes ver como xogan alumnos ao Anzan.

E para descansar das contas (probade o modo 7/0,3/10, é infernal!), un simpático vídeo no que vemos como se rebelan os personaxes dos videoxogos contra a cidade de New York:


PIXELS by PATRICK JEAN.
Cargado por onemoreprod. - Videos de arte y animación.

11.4.10

Cousas curiosas dos números

Hai unha certa cantidade de feitos aritméticos elementais que un mesmo pode descubrir simplemente ollando con suficiente coidado para os números. Non é necesario un dominio das operacións aritméticas alén dos obxectivos da educación primaria para algunhas das propiedades, ou como moito da educación secundaria. Hoxe vou expoñer algúns dos máis inmediatos, en orde ascendente de dificultade. Os primeiros son inmediatos, xa veredes:

  • A suma de dous números pares é par, a suma de dous números impares é par, a suma dun par e un impar é impar.
Parece obvio, non si? Alguén non se decatara? Quizais habería que empezar por pensar que significa que un número sexa par ou impar...
  • A táboa do 9.
Hai varios xeitos de presentar a táboa do 9. Un deles podedes velo no seguinte vídeo, que aínda que está en inglés, e ben sinxelo de comprender:


Pero a devandita táboa é tan sinxela que ..., en fin, aquí está:

1 \times 9=9 \ \ \ \ 10 \times 9 = 90 \\
2 \times 9=18 \ \ \ \ 9 \times 9 = 81 \\
3 \times 9=27 \ \ \ \ 8 \times 9 = 72 \\
4 \times 9=36 \ \ \ \ 7 \times 9 = 63 \\
5 \times 9=45 \ \ \ \ 6 \times 9 = 54 \\

  • Os cadrados dos números naturais rematan en 1, 4, 5, 6, 9 ou 0 (neste último caso, en dous ceros)
Este feito é utilizado nas clases de 1º de E.S.O., cando descompoñemos en factores primos números naturais. A razón é sinxela: para saber a última cifra do cadrado perfecto, só hai que ollar a última cifra do número. Observando os cadrados dos díxitos teremos rematado.
  • Os cadrados dos números formados unicamente por uns.
Este propiedade adoita aparecer nalgunha clase durante 1º de E.S.O., aínda que hoxe en día non me gusta especialmente, seguramente debido a que só é certa para unha pequena cantidade de números:
1^2=1 \\
11^2=121 \\
111^2=12321 \\
1111^2=1234321 \\
11111^2=123454321

E cando pasamos de 12345678987654321 morreu o conto.
  • As potencias de expoñente negativo de 2 e as de expoñente positivo de 5 están relacionadas dun xeito curioso.
Xeito que, ademais, é difícil de avanzar sen descifrar o "misterio". Só hai que ollar:
2^{-1}=0,5 \\
2^{-2}=0,25=\frac{5^2}{10^2} \\
2^{-3}=0,125=\frac{5^3}{10^3}
  • O truco para calcular os cadrados dos números que rematan en 5.
Que, por se alguén non o coñece, é este:

Supoñamos que queremos calcular o cadrado de 75. Comezamos por escribir 25 ao final, pois tódolos cadrados de números que rematan en 5, rematan en 25. En segundo e último lugar, collemos a outra cifra do número, neste caso 7, e multiplicámola polo número seguinte, 8. Poñemos o resultado, 56, ao lado do número 25 e xa rematamos, obtendo o cadrado de 75, 5625.
Este feito é o paradigma do enigmático que resulta calquera feito matemático que un observa pero non entende. Só hai que pensar que un número rematado en 5 pode expresarse como 10A+5, onde A é un número natural. E o demais é álxebra elemental:
(10A+5)^2=10^2A^2+2 \cdot 10A \cdot 5+5^2= 100A^2+100A+25= \\
100A(A+1)+25


  • Tódolos números naturais teñen un número par de divisores positivos, agás os cadrados perfectos.
Os razoamentos que utilizan a paridade son unha marabilla: os divisores positivos dun número natural adoitan vir de dous en dous, como os donuts, pois dado un divisor k de N, obtemos automaticamente outro divisor de N, N/k, que é distinto de k sempre que k non sexa a raíz cadrada de N.

  • As diferenzas entre cada dous cadrados perfectos consecutivos son os números impares.
Alxebricamente:

(n+1)^2 - n^2 = 2n +1 


Ben, creo que é suficiente por hoxe. Outro día sigo con propiedades menos evidentes e máis difíciles de atopar.

9.4.10

Non te fíes da túa sombra...

Outro April Fools' Day e, de novo, un profesor de Matemáticas que nos sorprende dun xeito semellante ao daquel vídeo de Halloween.




Vino en Perogrullo, onde podedes ler artigos sobre moitos temas interesantes.

E parafraseando o título dun blog en español ben famoso, non podo crer que levasen esta frustrante idea a cabo:

xkcd's Hell en Flash

Se alguén le habitualmente xkcd, e coñece o seu sentido do humor, e ademais é fan do Tetris (vaia, estou a falar de min, one more time), apreciará esa xoia do Nonsense.

5.4.10

Véspera da 3ª Avaliación





Actualizo hoxe con varias novidades pois é probable que non teña moito tempo esta semana, debido a un curso de Geogebra que teremos en marcha a partir do mércores no instituto.

A primeira, unha ilusión óptica, na que o máis interesante resulta contar canto tempo tardamos en estar seguros de que non é unha espiral. Tamén creo que é interesante se nese proceso colocamos algo (por exemplo, a nosa man) tapando partes da figura.



atopado en Mighty Optical Illusions, vía Neatorama

E a segunda un vídeo no que vemos como acenden as partículas do fume dunha vela:






Visto en Neatorama, e tamén en Fogonazos




O anterior forma parte do habitual que colgo neste blog. Agora quero pasar a un tema, o cine, que só tratei nunha ocasión, cando falei da película Ágora. E daquela estaba xustificado porque o personaxe protagonista da película, Hypatia, foi unha das científicas da antigüidade.

Hoxe non quero falar de películas sobre personaxes da ciencia. Só quero falar (mal) deste "novo" fenómeno das películas 3D.

Onte fun ver Clash of the Titans en 3D. Hai uns meses vin Avatar, tamén en 3D. Xa hai multitude de críticas na rede, ata nos medios tradicionais, como podedes ver aquí. Pero alén da baixa calidade visual das películas citadas, eu centro a miña crítica nas propias películas, no que me importa a min cando vou ver unha película: a historia e como a historia está narrada. Non sigades lendo se non vistes algunha das películas, pois quizais dea detalles que non queredes saber.


Para alguén cuns mínimos coñecementos do ciclo de Perseo, ver Clash of the Titans é unha lenta agonía (polo menos non chega a dúas horas). A mitoloxía grega leva seducindo a millóns de lectores desde hai tanto tempo que cabe preguntarse pola soberbia dos guionistas desta pésima adaptación da lenda de Perseo (polo menos ao final da película avisan de que está baseada na película na que Harry Hamlin fai de Perseo, de 1982) . Especialmente dolorosa foi a inclusión de Ío nesta película, pero hai máis, como os personaxes de Ozal e Kucuk, que ademais de estar incluídos na película como unha concesión ao público Disney (agora que lembro, vaia bazofia Hércules de Walt Disney, tamén) , desaparecen aos cinco minutos e non xogan ningún papel na historia! E ademais, hai uns elementos que parecen tirados do Episodio 6 de Star Wars (se vistes a saga orixinal, saberedes de que estou a falar)

O de Avatar é distinto. A película é mala, non tanto como a anterior, pero rotundamente mala. Ten a súa graza que haxa xente que defenda o espectáculo visual que representa Avatar que seguramente non defenda dese xeito os videoxogos. Pois para alguén coma min, que ten xogado a uns cantos videoxogos (desde hai máis de 20 anos, btw), visualmente Avatar é pobre: os Na'vi non son máis que debuxos animados cutres, como os que podedes ver calquera día en canles como Disney XD ou Clan. Se algún día eses que falan pestes dos videoxogos queren aprender algo, que vexan os gráficos dos xogos das sagas Final Fantasy ou God of War. E aínda poderán apreciar maior riqueza argumental en xogos como Max Payne ou Silent Hill 2 (os xogos, non as películas, ollo), Portal ou Braid que en toda a trapallada azul de Avatar, que como moita xente ten comentado xa, non é máis que a revisión feita por James Cameron de Pocahontas. Para rematar, poño aquí o guión reducido de Pocahontas-Avatar:



Antes de Clash of the Titans vin o trailer 3D de Alicia de Tim Burton. Como esta tamén me decepcione, non vexo outra película en 3D, que polo momento non parece outra cousa que un método de encubrir historias mediocres.

2.4.10

Catro dimensións




Nos últimos días houbo varias novas sobre o LHC (Large Hadron Collider) nas que se mencionou, unha vez máis, a Teoría de Cordas. Nesta teoría afírmase (entre outras cousas) que no Universo hai 11 ou 10 dimensións, das que só percibimos catro, as tres espaciais e a temporal. Podedes ler un artigo sobre o LHC no Maikelnai's Blog.

Simultaneamente souben da creación dun videoxogo, Miegakure, no que temos que aproveitar o salto á cuarta dimensión (neste caso "espacial") para resolver problemas no espazo tridimensional. O xogo aínda está en fase de desenvolvemento, pero xa temos un vídeo demostración:





Eu xa estou esperando a que saia o xogo, a ver se cumpre as expectativas.

E por último, en xkcd houbo unha referencia ao Miegakure, e na mesma historia, tamén hai unha mención de SpongeBob.

Xa que colguei unha representación da Garrafa de Klein, vou enlazar a páxina de construcións clásicas do Departamento de Xeometría e Topoloxía da Universidade de Santiago:

Miscelánea de Superficies

E tamén o famoso vídeo no que Carl Sagan fala da cuarta dimensión, e pon a analoxía da relación entre o mundos 2D e 3D que é tratada no clásico Flatland, de Edwin Abbot (tradución ao castelán, Planilandia)