28.2.10

Sen vento

Para comezar, un chiste sobre matemáticos que só entenderán matemáticos (esa é parte da nosa maldición):

Entra nun bar un número infinito de matemáticos. O primeiro pide unha pinta, o segundo media pinta, o terceiro un cuarto de pinta,...
-Entendo-di o camareiro, e ponlles dúas pintas.


Lin este problema nun dos libros da miña biblioteca de Google Books, e gustoume moito; unha das razóns é que a solución esta relacionada cun problema máis sinxelo que comentei aquí non hai moito. Ben, imos aló:

Cun único corte que pase polo punto A, divide a seguinte figura en dúas pezas coa mesma área:





Edito o post para indicar a razón do chiste:

\sum_{n=0}^\infty {\frac{1}{2^n}}=2

27.2.10

Cicloxénese explosiva

É a última mostra de como lles gusta aos xornalistas aprender novo vocabulario. Principalmente gústalles repetilo despois ad infinitum, de tal xeito que as palabras chegan a perder o seu significado.

Hoxe teño que contestar a unha petición dun alumno, polo que xa están colgados os exames desta semana de 4º na wiki, aquí e aquí, aínda que non sei se servirán xa para algo máis que para que tal alumno faga unha montaxe.

E para non variar, un vídeo en stop motion que vin esta mañá en Neatorama, La Puerta, composto de imaxes tiradas en Barcelona e Grottaglie, Italia:



por SAM3 e LIMOW

25.2.10

Obxectivos (non explícitos) en 3º de E.S.O.

Hoxe estaría satisfeito se os alumnos de 3º de E.S.O. trocasen a súa opinión da expresada pola seguinte gráfica:






Á expresada por esta gráfica:






Así poden comprobar que é importante especificar as magnitudes, e esperemos que vexan tamén a importancia de non extrapolar datos ao chou, pois de facelo, a nota media podería ser subterránea.

Por outra banda, as magnitudes "Satisfacción persoal de J.J." e "Sensación Que-estou-a-facer-mal de J.J." son adimensionais, o que é outro xeito de dicir que non se me ocorreu que unidade podía utilizar (polo menos unha unidade non demasiado apocalíptica e que non usase sangue)

23.2.10

Cousas que non entendo

Estou totalmente afeito a explicar cousas que os alumnos non entenden. A repetir as explicacións. A cambiar as palabras. A poñer exemplos. A ver que repetindo palabra por palabra unha explicación, de súpeto a entenden. A que os alumnos non se decaten de que estou a explicar fatal un concepto ou algoritmo. A que os alumnos non se decaten de que estou a esforzarme en explicar ben.

E tamén estou afeito a que os alumnos non entendan o que explico. E a que confundan a razón pola que funciona un procedemento co procedemento en si.

Pero, ademais de moitas outras cousas, ao que non me dou acostumado é a que non entendan a seguinte situación, tirada dun exame de hoxe de 4º de E.S.O.:

Despois dunha rebaixa do 20 %, un portátil pasa a custar 560 €. Canto custaba antes?

Comprendo que os alumnos fagan mal o problema. Que con toda velocidade calculen o 20 % de 560 e sumen o resultado a 560 (algúns ata o restan!). Podo asumilo: se pensas pouco é probable que penses mal.

Pero non comprendo que, despois de ver este tipo de problema desde 1º de E.S.O., despois de explicalo arredor de 4 veces este curso, despois de que o explique algún compañeiro, despois de simular a situación real, sigan sen ver que facer o cálculo do 20% de 560 non ten sentido.

Podería explicar sen máis que para coñecer a cantidade descoñecida, chega con dividir 560 entre 0,8. Pero, de que serviría?

Vin esta frase nun dos blogs que teño no meu Google Reader, que resume moito do que eu sinto:

"I do my best to make my students think, but they still try to become good little algorithm followers".

Que nunha pobre tradución propia (e persoal) é:

"Fago o que podo para que os meus alumnos pensen, pero eles empéñanse en converterse en bos dominadores de algoritmos"






P.D.: Terei que ir pensando que facer con este blog, se pechalo, se cambiarlle o nome. Veremos.

21.2.10

Aviso aos alumnos de 1º de Bacharelato

Como dixen o xoves, e para que podades comprobar os vosos cálculos, velaquí están os resultados dos límites do boletín 8 que van entrar no exame do martes. Lémbrovos que só é a primeira páxina do boletín, pois os límites no infinito aínda non os traballamos. Poño a ligazón ao arquivo, que está na wiki:

Solución dos límites para o exame do día 23

Para entender a folla de solucións, hai que ter en conta que á esquerda dos límites que levan a indeterminacións está indicada que indeterminación é, e se tralos cálculos chegamos a outra indeterminación, esta aparece debaixo, unida cunha frecha. Eu creo que está bastante claro, pero como fun eu quen o elaborou, a miña opinión nisto non é suficiente.

20.2.10

Unha xirafa? Seguro?

Este problema é tamén clásico entre os problemas de mover mistos e facer figuras, cadrados, triángulos... Xa o vin polo menos en tres fontes distintas, así que xa o considero público. Comenteino nos exames de 1º e 2º de E.S.O. do xoves, e aínda non obtiven resposta, así que velaquí o tedes:

Supoñendo que a figura seguinte, feita con mistos, represente unha xirafa (?), tedes que conseguir que a xirafa cambie de posición movendo un único misto.


Tendo en conta que so hai 5 mistos na figura, non debería resultar moi difícil atopar a solución, aínda que sexa polo método de proba-erro.

16.2.10

Erros comúns cos polinomios


Os meus queridos e nunca ben ponderados alumnos de 2º de E.S.O. van ter de volta das vacacións (xusto o xoves) un entretido exame da unidade de Expresións Alxébricas. É dicir, monomios e polinomios por un tubo.
Nesta ocasión tiveron durante sete sesións consecutivas fichas cheas de cálculos, bastante semellantes en formato e aburrimento. Se queredes velas (haiche xente para todo), aquí están.

As operacións básicas con polinomios e monomios, así como as técnicas básicas como "sacar factor común" ou as identidades notables forman parte das matemáticas algorítmicas que traballamos na E.S.O., xunto coa resolución de ecuacións ou o cálculo elemental con fraccións, entre moitas outras. Debido a esa natureza algorítmica, calquera persoa pode dominar estas destrezas sen levar a cabo ningún tipo de traballo matemático nos seus miolos. E debido á mesma razón, do mesmo xeito que un aprende a calcular con polinomios pode esquecelo en cuestión de días ou semanas.
Aínda así, aprender un algoritmo require atención e práctica, polo que tampouco é automático o seu dominio. Repasando as últimas fichas puiden observar a recorrencia destes erros concretos, algúns xa tópicos e outros "orixinais":

  • Esquecer que unha letra sen expoñente non está elevada a 0, senón a 1:



x^2y^3\cdot x^2y = x^4\color{red}y^3\color{black}


  • Problemas xerais, principalmente na resta, ao calcular con coeficientes negativos:



(x^3-x^2+5x-3)-(-3x^3+x^2-2x-2) = \color{red}-2\color{black}x^3+\lightning+\color{red}3\color{black}x-\color{red}5\color{black}

Onde ademais dos erros patentes, falta o termo -2x² (representado cun lóstrego)


  • Confundir o cálculo dun valor numérico coa multiplicación dun número por un polinomio:





Se \ p(x)=x^2-2x+5, \ confundir \ p(3) \ con \ 3\cdot p(x)

Por se acaso, lembremos que:

p(3)=3^2-2\cdot3+5=9-6+5=8 \\ e \\ 3\cdot p(x)=3 \cdot(x^2-2x+5)=3x^2-6x+15


  • Esquecer o número 2 nas identidades notables cadrado da suma e cadrado da diferenza:



(7x+3)^2=(7x)^2+\color{red}7x\cdot3\color{black}+3^2=49x^2+\color{red}21\color{black}x+9


  • Esquecer que para elevar un monomio ao cadrado hai que elevar tanto o coeficiente como a parte literal:


(7x+3)^2=(7x)^2+2\cdot 7x \cdot3+3^2=\color{red}7\color{black}x^2+42x+9

  • Esquecer que para sumar ou restar monomios, estes teñen que ser semellantes, ou , para ser máis comprensible, remexer tódalas letras e números que haxa. Este erro adoita aparecer como colofón doutros máis concretos, ao final de contas que ao alumno lle parezan pouca cousa para contestar un apartado. É difícil poñer un exemplo, para emular este erro hai que combinar varias condicións: mirar cara adiante na aula só cando o profesor conta unha anécdota ou chiste, e cubrir as follas das fichas unicamente co nome de pía ou nick (ou nada). Para plasmar a idea, teño que ir ás fontes orixinais e inimitables:


Onde o profesor mandaba calcular mediante identidades notables:

(2x-y)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot y+y^2=4x^2-4xy+y^2


un xeito máis conciso e elegante sería:


(2x \ y)^2=(2^2+2\cdot 2x\cdot y+y^2)=4+4xy+y^2=8xy^3

Por certo, o oco entre 2x e y non é unha errata miña.
Creo que despois de reproducir este erro vou deixalo, que hoxe é Martes de Entroido, e aínda teño que poñer un par de exames para o xoves.

Por se algún colega de profesión le este post, non é o último erro o típico exemplo que nos fai pensar aos profesores, mentres corriximos,

Que estou a facer mal?
Pois iso, que vouno deixar, non vaia ser que o meu cerebro...

15.2.10

Por que non mando deberes "para entregar"?

Estaba eu concentrado na corrección dunha ficha horripilante sobre fraccións alxébricas e expresións radicais de 3º de E.S.O. cando atopei esta xoia (podedes contar os erros):


\frac{x^4-2x^3-11x^2+12x+36}{x^4-13x^2+36}=\frac{(x-3)^3 (x+2)^2}{(x^2+x+36)(x-3)(x-2)}=\\ \frac{(x-3)(x+2)}{x^2+x+36}

O máis curioso do caso é que a factorización dos dous membros da fracción alxébrica estaba ben feita na folla de cálculos. Seguindo esa factorización, chegaríamos á resposta correcta:


\frac{x^4-2x^3-11x^2+12x+36}{x^4-13x^2+36}=\frac{(x-3)^2 (x+2)^2}{(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)}= \\ \frac{(x-3)(x+2)}{(x+3)(x-2)}

De onde sae ese termo x²+x+36? Nin idea.
Pero sigamos, hai máis erros. Por exemplo, o seguinte:

\frac{x}{x-1}+\frac{3x}{x+3}=\frac{x(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+3)}= \\
\frac{x^2+3x+3x-3}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2+6x-3}{(x-1)(x+3)}

En troques da resposta correcta:

\frac{x}{x-1}+\frac{3x}{x+3}=\frac{x(x+3)}{(x-1)(x+3)}+\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+3)}= \\
\frac{x^2+3x+3x^2-3x}{(x-1)(x+3)}=\frac{4x^2}{(x-1)(x+3)}


Quizais esteades pensando: "Pois non é para tanto. O normal é que os alumnos cometan ese tipo de erros/erratas".

Estou de acordo. O que resulta curioso de todo o asunto é que, de 12 alumnos que entregaron os exercicios, 8 cometeron estes erros (e algún máis relacionado con radicais, que non comento). Ademais, dos outros 4, hai dúas fichas exactamente iguais, unha orixinal (os erros teñen o seu propio mérito) e unha que comparte o segundo erro pero non o primeiro dos de enriba.
Sabedes xa a resposta á pregunta do título do post?

Se a alguén lle interesa aquí está a solución da ficha.

13.2.10

Ocio e Entroido

Para estas mini-vacacións, un pouco de entretemento. Porque se eu noto a falta que me facían estes días sen traballo cos alumnos, é de supoñer a falta que lles fará a eles non verme. Simetría, chamámoslle en Matemáticas.

En primeiro lugar, un simulador do Sistema Solar, Planets que admite varias modificacións sobre a vista standard. Unha das características que máis me gustaron é a de poder trazar o ronsel que deixa un obxecto visto desde outro calquera. Pero tamén podedes modificar a velocidade, a perspectiva, crear outros obxectos proporcionándolle ao programa o seu diámetro e os seus parámetros orbitais. Ollade o ronsel que deixa Venus visto desde a Terra:



En segundo lugar, un simpático vídeo sobre ... ben, sobre todo. Creo que o que máis me gusta é o final:





E para rematar, dous xogos, ámbolos dous retro, pero moi distintos en canto á súa proposta:

  • O primeiro, The Adventures of One Button Bob, é un xogo de habilidade no que, como era previsible, coa axuda dun único botón teredes que ir pasando distintos retos.
  • O segundo, Where We Remain, é un xogo de exploración no que vós manexades ao "Chico", que ten que atopar á "Chica" (síntoo por esta mostra de machismo-carpetovetónico-nunvideoxogo). Ao comezo do xogo tedes que escoller un nome para o "Chico" e outro para a "Chica". A pantalla de xogo lembra á do xogo clásico de NES Adventure of Link (Zelda II).

10.2.10

Lóxica, of course

Que moitos saberedes é unha das bases das Matemáticas, aínda que non a única.

Hoxe toca pensar nun problema no que aparecen números pero no que non hai que facer operación ningunha.

_Na primeira avaliación suspendín máis de 100 alumnos- xactábase JJ na sala de profesores, con risa maléfica.
_Seguramente foron como moito 100-contestoulle un compañeiro de departamento.

_Supoño que sería polo menos un suspenso-replicou unha compañeira de Galego.

Se só un dos profesores dicía a verdade, cantos alumnos suspenderon en realidade con JJ?


E tamén un xogo para hoxe, un ben curioso: Prose and Motion, onde se mesturan o coñecemento do vocabulario inglés e a habilidade nun xogo no que se cumpren as regras básicas físicas.


9.2.10

Outro de números

O problema de hoxe tamén ten un certo sabor que lembra a eses tests denominados "de intelixencia" (se alguén sabe que significa iso). Só hai que atopar o número que se esconde trala interrogación.

E por certo, aínda ninguén resolveu o de onte? Pero se un compañeiro resolveuno en 5 segundos na sala de Profesores! Veña, que non é para tanto.

Agora unha proba do que uns amateurs poden facer con tempo libre e ganas (e unha cámara, claro):



E para rematar un fragmento dunha película de acción de Bollywood que non podía deixar sen colgar aquí. Atentos ao segundo 2:07. Alucinante!
(E non fagades caso do típico anuncio estúpido do Youtube que sae na franxa superior!)


8.2.10

Agora si: unha serie de números

En realidade dúas, e, aínda enriba, trabucadas.

Nestas dúas series de números hai dous que están na serie incorrecta. Atópaos e explica cal é o criterio de formación de cada serie:

2, 2.5, 4.5, 6.75
1, 3, 6.25, 15.625

Acabo de ler en Passion for Puzzles que na web de National Geographic xa aparecen os gañadores do International Photo Contest 2009, e ademais podedes xogar os puzzles que teñen como base esas fotos. Aparece un menú para escoller o tema das fotos entre Xente, Lugares e Natureza. A min gustoume este, dentro do tema Lugares:


7.2.10

Facendo probas

Xa tiña unha conta no Geogebra Upload Manager hai certo tempo, pero aínda non a usara. Aproveitando que en 1º de Bacharelato estamos traballando a unidade de Funcións Elementais, hoxe tentarei subir un applet feito co Geogebra que amosa unha función definida a anacos. Non amosa a construción, senón a gráfica completa. A ver que tal queda, tendo en conta as restricións de ancho e alto propias dos blogs de blogger.





















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)




Coquejj, 7 de febreiro de 2010, Creado con GeoGebra



Como é usual na aula, os puntos "sólidos" son puntos da gráfica, e os puntos "baleiros" non están na gráfica.

6.2.10

Cando os anos entran pola porta... da aula

Quizais alguén observase que o título do post do xoves, Unha serie de números, pouco nada tiña que ver co contido. Isto sucedeu debido a que o autor, eu, tiña pensado propoñer un problema típico de continuar a serie. Pero cando comecei a escribir o problema decateime de que era demasiado difícil para o que pretendía ese día. E, cousas da velocidade, esquecín cambiar o título que xa escollera.

Hoxe vexamos que ocorre cun problema totalmente distinto, collido prestado do UNC Charlotte High School Contest,2009:


Queremos dividir a figura seguinte con forma de L en dúas partes coa mesma área, comezando polo punto A e rematando nun punto G que estea no lado BC da figura. A pregunta é sinxela: Canto mide a distancia BG?

Aviso: o problema ten unha solución que non leva máis que un debuxo e unha conta.

E para esta mañá de sábado, un bonito xogo de pensar (máis ben pouco), Record Tripping. Nel hai que pasar un total de 5 minixogos nos que só hai que utilizar a roda do rato e o botón esquerdo. E escoitar a música! Xa veredes que ben o pasades.


Nota: No xogo anterior podemos escoitar cancións de Gorillaz. É curioso que atopase este xogo a mesma semana que, nunha clase de 3º de E.S.O., os alumnos alucinaron cando o profesor lles falou dese grupo. Eu podía aceptar que non soubesen quen eran Nirvana, Guns n' Roses, Rage against the Machine, Pearl Jam ou os Pixies ou , pero, Gorillaz? En serio? Pero se están en activo!

4.2.10

Unha serie de números

No problema de hoxe (todo un clásico!) tedes que eliminar tres mistos para deixar só tres cadrados:




Se lle botastes unha ollada ás ligazóns que marco no Delicious (na columna dereita), veríades unha chamada Math Run- how fast is your brain?, que é un xogo no que hai que determinar se as operacións que van subindo pola pantalla son correctas ou non, e facelo rápido, claro.



O xeito é ben sinxelo: esquerda se é correcta, dereita en caso contrario, arriba para que suban as operacións. A ver cal é a velocidade do voso cerebro!

2.2.10

Un problema máis sinxelo?

Esperemos que así sexa. Nada máis lonxe da miña intención que pasarme, como me suxire Ángela nun comentario (xa me pasou nunha ficha de problemas alternativos á recuperación da 1ª avaliación de 1º de E.S.O.)

Vexamos:


Se 2=4, 6=4, e 8=5, a que é igual 10?

E como seguro que o resolvedes rápido, outro:

Colocade os números 5,6,7,9 nos ocos seguintes:


Tedes que conseguir que, se calculades as sumas dos extremos dos cinco segmentos, esas suman sexan 5 números consecutivos.

Déixovos cun vídeo do ceo de Dubai:



Sky from Philip Bloom on Vimeo.