29.4.11

Solución do Exame de Sistemas

En contra do prometido, fixen a solución do exame de 3º B e xa a subín á wiki. Non inclúe a solución do problema de interpretación de gráficas, por iso chámase este post do xeito que vedes máis arriba.


Tamén debuxei as representacións gráficas do exercicio 1, para unha mellor visualización dos sistemas:


Sistemas do Exame




















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Preme no sistema do cal queres ver a representación gráfica.


Coquejj, Creado con GeoGebra


28.4.11

A vista engana

É moi interesante esta ilusión óptica que atopei hai un par de semanas no weblog de Richard Wiseman. Que lle sucede ao rectángulo azul cando é superposto o disco raiado?




Máis ilusións semellantes, xunto coa explicación, na web de Michael Bach

26.4.11

Clase invertida?



Cada certo tempo aparecen novas "solucións universais" no mundo da educación, na forma tanto de ferramentas como de novas perspectivas. No pasado houbo exemplos ben variados dentro do ensino das Matemáticas: LOGO, BASIC, a resolución de problemas como eixe, o uso de ordenadores en tódolos ámbitos... Algúns deles son exemplos pintorescos (onde queda hoxe o LOGO?) , outros forman parte agora do ensino como ferramentas máis ou menos alternativas. Nalgúns casos vemos as ganas que tiñan os promotores desas solucións de que fosen usadas a toda costa, (quen sabe se con intencións secretas, como naqueles que promovían o uso das calculadoras de Texas Instruments). Noutros casos semella que algúns queren utilizar ferramentas aínda que non haxa evidencia de que sexan susceptibles de usar no ensino.

A solución definitiva de hoxe é a que dá título a este post: A clase invertida, tradución do inglés de Inverted ou Flipped Classroom. A fonte na que souben desta solución é o post de Mathcurmudgeon, Inverted Classroom, onde fai unha boa descrición do método e unha axeitada crítica. A cousa funciona así, grosso modo:

Robert Talbert, profesor de Matemáticas no Franklin College, dálle a volta ao seu método previo de ensino: primeiro grava un vídeo da lección (p.ex., Álxebra Linear), cólgao de tal xeito que os seus alumnos teñan acceso on-line antes da clase, estes ven o vídeo e na aula normal dedican o tempo a facer "deberes", practicar...

Eu teño dúas obxeccións:

  • En primeiro lugar, de xeito case inmediato, vexo problemas técnicos: a conectividade non é obrigatoria para os alumnos. Ademais non vexo claro que podamos levar este método ás aulas de secundaria nin bacharelato: canto tempo lle levaría a un alumno facer isto con 6 materias ao día? Por non falar do número esperado de alumnos que o levasen a cabo...
  • En segundo lugar (e máis importante) hai unha idea que está implícita no método Flipped Classroom: as clases nas que o profesor explica un concepto ou un procedemento (lectures, no orixinal) son unha perda de tempo, principalmente porque a comunicación é unidireccional, do profesor ao grupo. Estou totalmente en contra desta concepción das clases. Nas miñas clases insisto en que os alumnos participen. As poucas veces que pido que non interveñan suceden cando os alumnos non participan de xeito educado e ordenado. A orde non me importa demasiado a min, é a eles a quen lles afecta, debido a que entre eles non se escoitan (estou sendo completamente honesto aquí). E incluso nas poucas veces nas que ninguén intervén, sempre cabe a posibilidade de interpretar as caras de non-comprensión. Resumindo: onde está o feedback nun vídeo?
Non quero transmitir a idea de que os vídeos non son útiles para o ensino das Matemáticas. Eu mesmo utilizo de vez en cando vídeos para aprender cousas novas (normalmente relacionadas coa informática), pero teño a impresión de que non serven para aprender "desde cero". Por outra banda, e en contra da intuición, os vídeos parecénme máis lentos que o texto escrito para aprender, e curiosamente menos dinámicos (estou pensando na típica situación onde un quere volver sobre algo xa aprendido, ou ben quere avanzar por riba dunha sección).

Para ver a opinión dun entusiasta no uso dos vídeos, Salman Khan, creador da Khan Academy, é unha autoridade:







19.4.11

Un problema de APICS 2010

Aproveitando os días de vacacións e mal tempo para as Matemáticas, atopei este problema xeométrico no concurso APICS 2010. Temos que calcular o radio da semicircunferencia da figura, tanxente ás dúas circunferencias de radio 4 e 9 e ás dúas rectas:


















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Coquejj, Creado con GeoGebra

Curiosamente, nada máis que enxeño e o Teorema de Pitágoras é necesario.

14.4.11

Club Matemático(6)


  • Problema Nº 6- Categoría 1º-2º de E.S.O.: Cadrados e Triángulos
Es quen de debuxar 2 cadrados e 4 triángulos rectángulos utilizando só 8 segmentos rectos?

  • Problema Nº 6- Categoría 3º-4º de E.S.O.: Velocidade Media
M. Bros vai facer unha viaxe de ida e volta de Vigo á Coruña. Quere manter unha velocidade media de 100 km/h. Ao chegar á Coruña observa que mantivo unha velocidade media de 50 km/h. Cal ten que ser a súa velocidade media na viaxe de volta para acadar o seu obxectivo de ter unha velocidade media global de 100 km /h?

11.4.11

Dous remeiros



Hai tempo que non propoño un problema complicado. O de hoxe é o típico problema que podemos resolver de dous xeitos, con Álxebra e sen Álxebra. Resolvelo mediante Álxebra fai que o problema sexa menos interesante, pero ten a vantaxe de que a solución é case automática. Para resolvelo sen a axuda da Álxebra necesitaremos, como é habitual, pensar máis:

Un remeiro entrena nun río, e fai 10 millas a favor da corrente e outras 10 millas en contra da corrente. Outro remeiro entrena nun lago con augas tranquilas, e fai 20 millas. Se os dous teñen as mesmas capacidades como remeiros, cal dos dous tarda máis tempo en facer as 20 millas?

8.4.11

Cousas curiosas dos números-2

Mentres escribía antonte o post Anumerismo-2, ao ver o primeiro Anumerismo, lembrei que hai certo tempo (así como un ano) escribira sobre un dos temas que máis me gustan dentro das Matemáticas elementais: as curiosidades numéricas. E que naquel post, Cousas curiosas dos números, prometera continuar a lista de curiosidades alí presentadas con propiedades numéricas non tan básicas ou inmediatas. (Por certo, naquel post agora hai unha morea de código LATEX non traducido debido a que o Render que utilizaba daquela non está activo)

Así que hoxe vou amosar un par de curiosidades máis:

  • O número 1089.
E que ten este número de peculiar? Dándolle un par de voltas vemos que é 33², o cal non é moi extraordinario, tendo en conta que por cada número natural temos un cadrado perfecto. Para atopar o que fai destacar a 1089 hai que mergullarse moito máis nos números.

  • Collamos un número calquera de 3 cifras, non todas iguais. Por exemplo, 327. Agora deámoslle a volta, para obter 723. Restemos o menor dos dous números do maior, 723-327 = 396. Falta pouco xa, só darlle a volta a este número tamén, 693, e sumar estes últimos números, para obter: 396+693= 1089. E que cheguemos a 1089 non é casual, sucede independentemente do número de 3 cifras co que comecemos. Probemos con outro número, p.ex. 715. Dámoslle a volta, 517. Restámolos, 715-517=198. Dámoslle a volta (one more time), 891. Sumámolos, 198+891=1089. Probade con outro número calquera de 3 cifras, non todas iguais, e chegaredes irremisiblemente a 1089.

  • A constante de Kaprekar, 6174.
É inevitable pensar na constante de Kaprekar despois de falar de 1089. Pois aparece despois de executar un algoritmo ata certo punto semellante. Neste caso empezamos con calquera número de 4 díxitos, non todas iguais. E imos facer varias levar a cabo este proceso: construímos dous números con esas 4 cifras, o maior posible e o menor posible. Despois restamos o menor do maior. E volvemos construír os dous números coas 4 cifras... Como é habitual, mellor cun exemplo, collido ao chou, 4372

  • 7432-2347=5085
  • 8550-0558=7992
  • 9972-2799=7173
  • 7731-1377=6354
  • 6543-3456=3087
  • 8730-0378=8352
  • 8532-2358=6174 (non era sen tempo)
Ás veces ao procedemento lévalle un bo anaco chegar ao 6174. Así que se queredes comprobar algún número, é boa idea utilizar unha calculadora online coma esta.

  • A suma dos primeiros números impares.
Esta propiedade aparece tradicionalmente como exercicio nun primeiro curso sobre progresións aritméticas, pero a maquinaria alxébrica (intimamente relacionada coa propiedade de que a diferenza entre n² e (n+1)² é o impar 2n+1) que é utilizada nese momento obvia o realmente interesante do feito, que salta á vista:

  • 1
  • 1+3=4
  • 1+3+5=9
  • 1+3+5+7=16
  • 1+3+5+7+9=25...
Obvio, non? A suma dos primeiros n impares é n². Pero tódolos que a coñecen estarán de acordo comigo: o realmente interesante está na seguinte figura:




  • O método ruso de multiplicación.
Para mutiplicar dous números é suficiente facer dúas columnas, na da esquerda ir duplicando o primeiro e na dereita partindo á metade o segundo, ata chegar a 1 (se ao partir á metade non obtemos un número exacto, quedámonos co cociente). Despois tachamos tódalas ringleiras nas que o número da segunda columna sexa par e sumamos tódolos números que queden na columna da esquerda; o resultado final será a multiplicación buscada. Como nin eu entendo o que acabo de escribir, vexamos un par de exemplos:
17·12
  • 17 - 12
  • 34-6
  • 68-3
  • 136-1
Sumamos 68+136=204, que é 17 · 12.

Outro, 25·132:

  • 25-132
  • 50-66
  • 100-33
  • 200-16
  • 400-8
  • 800-4
  • 1600-2
  • 3200-1
Sumamos 100+3200=3300=25·132

Por que funciona este método? Pois sinto dicir que para entendelo algo de coñecemento sobre a notación binaria. E ese tema non aparece en ningures no programa de Matemáticas da E.S.O. nin do Bacharelato.

Por hoxe abonda, supoño que algún día nun futuro indefinido farei outro post de curiosidades numéricas.

6.4.11

Anumerismo-2

Aínda que a diario mostras de anumerismo hai moitas (demasiadas, diría eu e algúns acaban de descubrilo), a que acabo de ver enlazada desde o sempre xenial blog Malaprensa é das que deixan sen respiración.
Lede e xulgade:

"Cuatro de cada diez profesores de la provincia de Ourense se jubilan este año"

Poño unha captura de pantalla por se teñen a idea de corrixir ese exemplo de ignorancia:


Aínda que algún ignorante pense que 4 de cada 10 é o mesmo que o 4%, non lles parecía un tanto esaxerado o titular? Alguén que teña estudado as Matemáticas da Educación Primaria pode aceptar que 4 de cada 10 profesores ourensáns van xubilarse este ano? Non lles cheira nada un pouco mal?

4.4.11

Just for Fun-5

Xusto despois de que a categoría "Vídeos" superara por primeira vez á categoría "Problemas", e tamén de pasar os 300 posts, é o momento axeitado para un pouco de simple diversión.

Quen sabe como continuará a tendencia nas etiquetas?

Hoxe, un skater que parece tirado dun grupo hippy-grunge dos 90,



e unha animación en stop motion (con Playmobil!) sobre unha canción de Joy Division:



1.4.11

Os números imaxinarios

Aínda que o tentase con tódalas miñas forzas nunca explicaría tan ben os números complexos aos meus alumnos. Xulgade vós:




O traballo que ten que levar facer isto en clase...