28.6.11

Dous triángulos

Un problemiña rápido para estes días de avaliacións, entrega de notas, reunións...

É obvio que con dous triángulos iguais podemos facer unha figura na que atoparmos 3 triángulos facilmente:

A intersección dos dous triángulos é unha figura con 3 lados (neste caso é un triángulo equilátero).
Agora o problema:

Es quen de colocar os triángulos orixinais formando máis de 3 triángulos? Cal é o número máximo de triángulos que podes acadar?
Es quen de colocalos formando na intersección un cuadrilátero?

25.6.11

Origami e Pitágoras

A demostración seguinte é esencialmente a mesma que explicamos nas aulas, pero desde logo con Origami é moito máis espectacular:




Só de pensar en explicar a 26 alumnos simultaneamente como pregar o papel, teño suor frío...

21.6.11

Mesma área que perímetro

No post anterior comentaba un problema que puxen nun exame de Xeometría de 3º de E.S.O. No transcurso da explicación deixei caer que só había dous triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados enteiras nos que o valor numérico da área coincide co do perímetro. Hoxe veremos a explicación.

Primeiro hai que lembrar que nun triángulo rectángulo con lonxitudes dos catetos b e c e lonxitude da hipotenusa a, o perímetro é obviamente a + b + c e a área a metade de b·c, polo que estamos a buscar as solucións en números naturais da ecuación:

a+b+c=\frac{b\cdot c}{2}

Imos aló. O primeiro é desfacernos dese 2:
2a+2b+2c=b\cdot c

Agora utilizamos que o triángulo é rectángulo, polo que a hipotenusa ten un valor dependente dos valores dos catetos polo ben coñecido Teorema de Pitágoras:
a^2=b^2+c^2 \rightarrow 2 \sqrt{b^2+c^2}+2b+2c=bc \\2 \sqrt{b^2+c^2}=bc-2b-2c

Elevamos ao cadrado ámbolos dous membros (si, os dous, non como fan os meus alumnos):
4 (b^2+c^2)=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc \\
4b^2+4c^2=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Reducimos:
0=b^2c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Sacamos factor común bc:
0=bc (bc-4b-4c+8)

Como bc non pode ser nulo, ten que selo o outro factor:
0=bc-4b-4c+8

Agora vén a parte menos trivial, a de expresar o membro dereito dun xeito máis sinxelo:
0=(b-4)(c-4)-8 \\ 8=(b-4)(c-4)

E agora entra en xogo que as lonxitudes son números naturais, polo que temos que buscar os valores entre os factores do número 8. Isto só dá soamente as dúas opcións:
Ou ben:
\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=8
\\ c-4=1
\end{array}
\right\}

pola que b =12, c = 5 e a = 13, ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=4
\\ c-4=2
\end{array}
\right\}

onde b =8, c =6 e a = 10, que é a que apareceu no exame comentado.

18.6.11

Humor nun exame?

Non estou a falar das respostas risibles que dan algúns alumnos nos exames, das que xa hai unha ampla literatura, e que ademais non adoitan aparecer en Matemáticas senón en Historia ou Lingua. Non, hoxe vou falar dun exercicio-problema que puxen na repesca da 2ª parte da 3ª avaliación do venres (si, tamén había repesca da 1ª avaliación, da 2ª, e da 3ª completa). Póñovos en situación:

O mércores fixemos un repaso de cousas que poderían aparecer no exame do venres. Para que lembrasen que non tódolos problemas xeométricos (áreas e volumes, principalmente) teñen unha solución consistente en ir encadeando o Teorema de Pitágoras dun triángulo rectángulo a outro, propúxenlles resolver o seguinte problema, tirado do exame de Xeometría que puxo a compañeira que dá no outro 3º de E.S.O.:

Un trapecio ten por lados 13 m, 20 m, 19 m e 40 m, sendo os dous últimos paralelos. Calcula a súa área.
Aínda que este problema xa fora resolto hai menos dun mes ninguén lembraba como empezar. Moitos pretendían que as alturas desde os dous vértices superiores deixasen as mesmas lonxitudes aos lados da base inferior, como se o trapecio fose isóscele. E non, non están choscos. A solución é standard, nada fóra do común e aceptable en 3º de E.S.O.:

Utilizando o Teorema de Pitágoras dúas veces:
h^2=13^2-x^2 \\h^2=20^2-(21-x)^2
Igualando os valores de h:
13^2-x^2=20^2-(21-x)^2 \rightarrow (21-x)^2-x^2=20^2-13^2 \rightarrow \\
21 \cdot (21-2x)=33 \cdot 7 \rightarrow 21-2x=11 \rightarrow x=5
E así:
h=\sqrt{13^2-5^2}=12
e a área é
\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(40+19)\cdot 12}{2}=354 m^2

Agora que coñecemos os antecedentes, vexamos o problema que puxen no exame mencionado:

Atopar a área do triángulo seguinte:
É obvio que funciona a mesma estratexia que no caso do trapecio,neste caso algo simplificada, pois só temos unha altura ao termos un único vértice superior. A solución de xeito acelerado sería:

6^2-x^2=8^2-(10-x)^2 \rightarrow 10(10-2x)=14\cdot 2\rightarrow x=3.6 \rightarrow h=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8
E a área é:
\frac{10 \cdot 4.8}{2}=24
E onde está o humor en todo isto?
Dúas horas despois tiñamos titoría, resolvimos o problema e pregunteilles se non vían ningunha relación entre o valor da área e as dimensións do triángulo. Unha alumna observou que coincidía co perímetro do triángulo,24=6+8+10, o cal é unha coincidencia que só sucede, neste contexto, en dous triángulos. Pero alén desa curiosidade, ninguén observou que tamén 24=6·8:2
E aí está o humor, o triángulo orixinal era rectángulo e poderían ter contestado o problema nunha liña:

Como
6^2+8^2=10^2
o triángulo é rectángulo e a área é
A=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24


tl;dr Cada día que pasa son un profesor máis malévolo. Simplemente.

14.6.11

Teorema de Napoleón

Teorema de Napoleón? Napoleón descubriu un teorema? Pois a verdade é que non está moi claro, aínda que é coñecido que tiña certa afección polas Matemáticas, en particular pola Xeometría. Pero non é nada estraño que un teorema ou un concepto matemáticos leven o nome dun matemático que non foi o primeiro que os atopou. Casos famosos son a Serie de Taylor, o Teorema de Rolle, a Regra de Ruffini, a Ecuación de Pell...

E que di o Teorema de Napoleón? Algo certamente sorprendente: se colles un triángulo calquera (todo o amorfo que queiras), constrúes sobre os seus lados tres triángulos equiláteros e localizas os centros destes triángulos, sempre van formar outro triángulo equilátero. Case mellor velo:

Teorema de Napoleón


















Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Coquejj, 14 de xuño de 2011, Creado con GeoGebra

Se tedes curiosidade pola razón deste sorprendente feito, pola rede hai unha morea de demostracións, por exemplo aquí.

E para os traballadores alumnos de 3º A que non saben buscar na wiki, xa poño eu as ligazóns:

10.6.11

Mira onde pisas...

Hai que ver como pensa o seu seguinte paso este viandante, mentres que os que pasan por detrás...





O título desta ilusión é Mind your Step, leva desde o día 7 instalada en Estocolmo e estará aló ata o 12. No seguinte vídeo aparece o momento da colocación e as primeiras reaccións dos cidadáns:





Atopeino fedellando en Neatorama, como en tantas outras ocasións.

8.6.11

Simulacros e máis

Aínda non me recuperei de ver que alguén chegou a este sitio ao buscar en ask.com "ludico no apremder". E tampouco de ver este espectacular vídeo da última laparada solar:





Como prometín pola mañá aquí está a versión "en cor" do simulacro do vindeiro exame:

Simulacro de Examen de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

e a da súa solución:


Solución del Simulacro de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

As versións para descargar están en formato doc na wiki, alí tamén podedes atopar a solución do Boletín de Problemas Métricos.

Simulacro
Solución del Simulacro

6.6.11

O problema de marras


Por fin: un problema nun libro de texto digno de ser chamado así. E non porque sexa dunha dificultade enorme, senón porque require poñer en xogo unha comprensión e unha habilidade alén do mero choio rutinario das clases. Xulgade vós mesmos:

Ejercicio 62 Página 201


O problema aparece no libro de 3º de E.S.O. da editorial Anaya,por se alguén estivese interesado.

2.6.11

Outra proba

Creo este post co único obxecto de comprobar como queda un arquivo pdf incrustado en blogger, vía scribd:



Queda, ben, non?


Para rematar, unha canción que estaba convencido que xa puxera, Feel Good Inc.:


1.6.11

Xuño, xa?


Como sempre a estas alturas de curso un se decata do que fixo mal e do que fixo... aínda peor. Coa sensación constante de batalla perdida antes de ser disputada, e co regusto amargo de ser consciente de que hai alumnos aos que non lles gustan as Matemáticas en parte por seren alumnos meus. Pero nesta ocasión só me queda resignarme: non o puiden facer mellor do que o fixen. O cal non é moito, pero é o que hai.

Aproveitando o post, aviso aos alumnos de 2º C que teñen na wiki as solucións do exame de hoxe:


(Pode alguén crer que teño alumnos de 2º que aínda non saben cal é o enderezo desta web nin das wikis?)

Hai uns días lin que investigadores estaban a estudar os efectos dun medicamento que podería bloquear as malas lembranzas. Eu vin o comentario en FayerWayer, pero a orixe era esta.
Aqueles que teñan visto "Eternal Sunshine of the Spotless Mind" ("Olvídate de mí" no máis prosaico título español), saberán que é obrigatorio incluír neste intre unha canción da película:




Quizais ese medicamento sexa a solución para a desidia de xuño...