26.3.12

Entre avaliacións...


Cando un estuda teoría elemental de números ten que pasar inexorablemente polas congruencias, ferramenta matemática deixada á posteridade polo gran matemático Carl Friedrich Gauss. As congruencias teñen unha peculiaridade: unha vez que dominas a súa linguaxe, pasas a pensar tódolos problemas numéricos e de divisibilidade en función das congruencias. Exactamente igual que coas ecuacións: tódolos problemas elementais tenden a ser tratados en forma de ecuación alxébrica, aínda que ás veces as solucións meramente aritméticas sexan máis naturais (as famosas e inxustamente denostadas "contas da vella"). Pero hoxe non vou falar polo miúdo das congruencias, o que requeriría unha serie (longa) de posts, senón de problemas elementais relacionados cos números.

Como exemplo do nocivo que pode ser pensar sempre en termos de ecuacións, vexamos un problema que propuxen en 1º de E.S.O. hai uns anos, cando traballaba en Oleiros:

Atopa un número de dúas cifras que cumpra as seguintes condicións: as dúas cifras suman 9 e se lle damos a volta ás cifras obtemos un número un 20% maior.

Calquera que coñeza as ecuacións tenderá a transformar o problema en álxebra do xeito usual: temos un número 10x+y, darlle a volta convírteo en 10y+x... Dominar as ecuacións é útil pero non necesario. Como non hai tantos números de dúas cifras coa restrición da suma das cifras, tamén poderiamos atacar o problema probando ao chou. Vexamos cal foi a resposta dun alumno daquela clase:

Como para obter o número ao revés temos que facerlle o 20% ao número orixinal e sumarllo, e facer o 20% é dividir entre 5, o número orixinal é múltiplo de 5. Entón ten que rematar en 5 ou en 0. Se rematase en 0 ao darlle a volta obteriamos un número menor, así que esa opción queda descartada. Por tanto remata en 5. E a outra cifra ten que ser 4, para sumar 9, polo que a solución é 45, que revirado é 54, un 20% maior.


Pois ben, cando un estuda teoría elemental de números, unha das aplicacións inmediatas das congruencias é o traballo con calendarios. E este problema que poño a continuación foi o que me lembrou todo o tema, aínda que a súa resolución sexa totalmente trivial (razón pola que creo que é axeitado para as aulas de secundaria):

Se durante un certo mes coinciden 3 luns en día par, en que día da semana caerá o día 13?


0 comentarios:

Post a Comment