28.5.12

Solución ao problema sinxelo... ou non

Non vaia ser que alguén se puxese a resolvelo e morrese tentando calcular as áreas sombreadas por métodos elementais. Porque neste problema hai varias cousas curiosas.

  • O primeiro no que pensa calquera que o tente resolver é en calcular as áreas sombreadas. Un pode fedellar un pouco ata decatarse de que non vai dar feito.
  • En segundo lugar, o dato do intersección en ángulo recto non é esencial. Para sermos precisos, dá exactamente igual.
Como resolvelo entón?

Podería poñerme formal e dicir que a substracción é invariante ante translacións:

(A + x) − (B + x) = A−B

(en fin, cousas da carreira que estudou un)

... porén creo que é máis axeitado dicir que a diferenza entre as áreas sombreadas coincide coa diferenza entre as áreas dos dous círculos completos, pois o anaco que lles faltaba (o único sen sombrear) computámolo nos dous círculos.

E o cálculo das áreas dos dous círculos é, isto si, elemental:

π · 4² − π · 3² = 7π cm²

Implicitamente vemos que a área da intersección non inflúe na diferenza entre as áreas sombreadas, de tal xeito que aínda que os círculos non se intersecasen a diferenza sería a mesma; e tamén se un dos círculos está dentro do outro.
Outro feito interesante vémolo en que a idea de calcular as áreas das figuras completas funciona independentemente de que as figuras implicadas sexan círculos.


2 comentarios:

  1. Vaya, pues ahora que lo dices... Confieso que alguna vuelta le di al problema y no me pareció 'sinxelo' para nada. Tiene su gracia.

    ReplyDelete
  2. De aí o meu comentario apuntando que é mellor non saber demasiado. Porque se un ten visto problemas semellantes seguro vai pasar polas seguintes fases:
    -Mira, un problema de áreas de anacos de círculos, a ver se ten que ver con sectores.
    -Vaia, parece que non. Con trigonometría?
    -Pois tampouco, para que valerá ese ángulo? Pois entón haberá que desistir e usar integración...
    E todo para chegar a esta solución...

    ReplyDelete