27.11.12

Darlle a volta a unha esfera

Tirado de The Optiverse

O ambiguo título do post non fai referencia a xirar arredor dunha esfera, senón ao coñecido actualmente como Paradoxo de Smale, en honor do grande matemático Stephen Smale, gañador da medalla Fields en 1966. Tal paradoxo consiste en que é posible darlle a volta, de dentro cara fóra, a unha esfera, o que se coñece como "evertir" a esfera. Nesta eversión é permisible que a esfera se autointerseque, mais non se permite que se corte (daquela sería sinxelo de máis) nin que se formen buratos ou pregamentos. Smale amosou que tal eversión existía de feito, mais, como adoita suceder en moitas demostracións matemáticas, non atopou de xeito explícito o camiño xeométrico para voltear a esfera. Para iso houbo que esperar a que avanzase o campo da animación dixital, e ao traballo de varios matemáticos, entre eles Bernard Morin, topólogo que quedou cego por causa dun glaucoma aos seis anos.

Por sorte temos dispoñible en youtube varios vídeos que mostran a eversión; o primeiro atopeino por casualidade revisando a listaxe de libros online dunha editorial (por se alguén estiver interesado, é esta). Non podería explicar que está a pasar exactamente no vídeo no momento de virar a esfera, pero évos igualmente hipnótico:



Se aínda tedes ganas de máis, aquí tedes o vídeo completo, Outside In, onde explican a eversión tendo en conta outras figuras que non poden ser evertidas e analizando polo miúdo o que sucede na viraxe:



E aínda máis!

The Optiverse amosa eversións que minimizan a enerxía de flexión elástica. Confeso que tiven que ler ben isto para entender de que vai. Como mostra mirade o que comentan na ligazón anterior:

"The elastic bending energy for a stiff wire is the integral of squared curvature. For a surface in space, at each point there are two principal curvatures, and their average, the mean curvature, shows how much the surface deviates from being minimal. The integral of squared mean curvature is thus a bending energy for surfaces, often called the Willmore energy"



Haivos todo un mundo de Matemáticas alucinantes aí fóra esperando por aqueles que busquen...

21.11.12

Unha idea de Timothy Gowers

No último post do seu blog, Timothy Gowers (gañador da Medalla Fields ao que xa teño mencionado por acó) comenta a conversa matemática que mantivo cun mozo de 17 anos que está no seu segundo ano do Math A-Level, curso que non ten equivalente no sistema educativo español e que constitúe a vía de acceso aos graos universitarios cun forte compoñente matemático.
Do post, que supón unha boa lección acelerada do cálculo infinitesimal esencial (ao nivel do instituto), querería salientar o último parágrafo:

"Another thing I discovered was that he was very shaky on the chain rule. When I asked him what the chain rule said, he didn’t know what I was talking about. Eventually I got a glimmer of recognition out of him by writing down $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. But the idea that if you want to differentiate $ e^{x^3}$ you first pretend that $ x^3$ is a single variable with respect to which you are differentiating and then correct what you’ve just done by multiplying by the derivative of $ x^3$ was completely foreign to him. We looked at a few examples but they’ll need reinforcing at some point. It was yet another illustration of the general principle that if you forget about understanding what’s going on and concentrate on mechanical manipulations, you’ll forget how to do even the mechanical manipulations."

Que na miña barata tradución vén sendo:

"Outra cousa que atopei foi que el tiña moitas dúbidas respecto á regra da cadea. Cando lle preguntei que era o que afirmaba a regra da cadea, el non soubo de que estaba a falar. Ao final albisquei unha pinga de comprensión escribindo $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. Pero a idea de que se queres derivar $ e^{x^3}$ primeiro tes que supoñer que $ x^3$ é unha variable respecto á cal estás a derivar e despois axustar o que fixeches multiplicando pola derivada de $ x^3$ era completamente descoñecida para el. Observamos un par de exemplos mais vai necesitar reforzo nalgún momento. Esta é outra ilustración máis do principio xeral de que, se evitas comprender o que está a suceder e concéntraste nas manipulacións mecánicas, esquecerás incluso como facer as manipulacións mecánicas."

Nesta preto-dunha-década que levo sendo profesor aínda non dou comprendido como alguén, antes de tentar entender calquera idea matemática, pode desistir e centrarse no aburrido do choio. E tampouco dou disimulado a miña reacción nas clases cando iso pasa. É un aspecto da dramatización propia do oficio que teño que mellorar.

17.11.12

Un problema para os moi bravos


_Hey, shouldn't you be out with your gangs, spray painting equations on the side of buildings?

No formidable libro de problemas de William Briggs Ants, Bikes&Clocks. Problem solving for undergraduates  (Formigas, bicicletas e reloxos. Resolución de problemas para estudantes universitarios) hai literalmente centos de bos problemas esperando polo afeccionado ás Matemáticas. Entre os temas dos problemas atopamos a Probabilidade, a Física, a Lóxica, a Xeometría, pero tamén unha chea de problemas netamente recreativos. Do capítulo 6, "A World of Change" quero salientar hoxe o problema nomeado "O sombreiro de Feynman":

Un home remaba contracorrente nun río que fluía a unha velocidade de 2 qm/h. Ás 12:00 o seu sombreiro saíu voando e quedou flotando río abaixo. Ata despois de remar 3 qm non achou que perdera o seu sombreiro, momento no cal deu a volta e comezou  a remar río abaixo ata coller o sombreiro. Se o home rema a unha velocidade constante de 6 qm/h con relación á auga, cando alcanzou o seu sombreiro?

Se sodes suficientemente bravos podedes tratar de roelo. 

7.11.12

A descifrar mensaxes!



Probablemente o meu primeiro contacto co mundo da criptografía, a un nivel moi elemental, fose a lectura do Escaravello de Ouro, relato curto de Edgar Allan Poe no que aparecía unha mensaxe cifrada. Aínda que no transcurso do relato o protagonista descifraba a mensaxe, a diversión víase incrementada se un mesmo era quen de descodificar a mensaxe. Tendo en conta que o código consistía nunha cifra de substitución, é dicir, cada letra da mensaxe orixinal era substituída por outro símbolo en tódalas súas aparicións, o choio non era excesivamente complicado.
O segundo contacto, máis escuro na memoria, sucedeu ao atopar mensaxes de compañeiras do colexio que se mandaban no medio das clases. Nestas cartas a cifra que utilizaban era o código de substitución máis simple, a cifra César, aínda que daquela nin elas nin e sabíamos tal cousa. A cifra César recibe tal nome porque Xulio César codificaba as mensaxes que enviaba aos seus xenerais. O mecanismo é o seguinte: fixamos un número natural N, e substituímos cada letra pola letra que está N lugares despois no alfabeto. En concreto as miñas compañeiras de clase fixaban N=1, é dicir, simplemente collían a letra seguinte no alfabeto, de tal xeito que a mensaxe:

"Non aturo ao profesor de Matemáticas"

transfórmase en

"Opo buvsp bp qspgftps ef Nbufnbuldbt"

máis aceptable se é interceptada polo devandito profesor.

En mensaxes curtas como a anterior, se un non sabe a priori cal é o código utilizado pode fracasar ao tentar  descifralo, pero se a mensaxe é suficientemente longa a "análise de frecuencias" case garante que o descifremos. Esta análise de frecuencias consiste en contar cantas veces aparece cada letra, e considerando que cada idioma ten unha xerarquía típica de frecuencias das súas letras, poderemos así adiviñar a que letra corresponde cada carácter cifrado. Ademais desta análise unha boa ferramenta é observar como son as palabras dunha ou dúas letras, pois as máis frecuentes son artigos, preposicións, conxuncións, pronomes, ...
Finalmente, ás veces tamén é útil observar se hai letras que aparecen duplicadas, en galego por exemplo podería haber dígrafos rr, ll, cc.

A criptografía como disciplina de estudo vai alén destes exemplos elementais. Cando un comeza o seu estudo (eu tiven a oportunidade de facelo na carreira nunha materia de libre configuración) acha ferramentas propias da Álxebra Linear, mais isto non avanza de xeito correcto o que atopamos despois: Teoría Alxébrica de Números, e incluso Xeometría Alxébrica.

Nada disto fai falta para xogar un pouco a descifrar mensaxes neste agradable xogo, Cryptograma:

Visto en aliciaramirez.com

O xogo presenta dous idiomas, castelán e inglés. Se xogades considerade as peculiaridades de cada lingua, diferenzas como por exemplo que en castelán a letra máis habitual é o e mais en inglés é o t.
Ademais de ser divertido o Cryptograma ten unha interface ben coidada. Veña, probádeo e descifrade un par de frases famosas.

4.11.12

A realidade e os polígonos


O título do post é voluntariamente rechamante. Para comprender de onde provén o seu significado teredes que ver esta curtametraxe, Dimensions, na que o protagonista debulla os elementos que son utilizados para crear a "realidade" que nos rodea. Esa realidade que todos, nalgunha fase da nosa infancia-adolescencia, temos cuestionado, dun xeito elemental, mais profundamente relacionado co solipsismo.

Nalgún momento da maduración a mente humana deixa de lado estas ideas, ou supéraas, ou aprende a vivir cos paradoxos da existencia, ou en terminoloxía de videoxogos, os "glitches" da realidade. Quen sabe.

O vídeo, unha gozada para os sentidos e máis para a mente. Parabéns para o artista, David Oldenburger, e a Kuriositas por presentalo.