29.8.13

A Lei Forte dos Pequenos Números


O matemático Richard K. Guy escribiu nos 80 unha interesante listaxe de patróns matemáticos que agroman nos primeiros números naturais para despois morrer, de xeito inesperado ou non. Estes feitos son casos concretos da "Lei Forte dos Pequenos Números", termo acuñado polo propio Guy.


Algúns destes feitos xa apareceron neste blogue, como un que mencionei xa en dúas entradas, de xuño de 2009 (primeiro ano deste blogue,cando participaban alumnos da Rúa de Valdeorras) e maio de 2012. Rescato das arañeiras do tempo a imaxe, que é abondo para saber de que feito estou a falar:


Contade o número de rexións acoutadas
dentro do círculo polos segmentos

O patrón é obvio, cada nova figura duplica o número de rexións, de tal xeito que van aparecendo as sucesivas potencias de 2: $1=2^0, 2=2^1, 4=2^2, 8=2^3, 16=2^4, \dots$, pero cando marcamos 6 puntos na circunferencia obtemos, non $2^5=32$ como parecía evidente, senón 31 rexións.

    O outro feito que xa avancei, aínda que fose nun comentario ao post sobre o Problema de Malfatti, é o dos Números de Fermat, introducidos polo coñecido matemático amateur e que teñen o aspecto $F_n=2^{2^n}+1$, polo que os primeiros son:
$$ F_0=2^{2^0}+1=2^1+1=3, F_1=2^{2^1}+1=2^2+1=5$$
$$ F_2=2^{2^2}+1=2^4+1=17, F_3=2^{2^3}+1=2^8+1=257$$
$$ F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1=65537$$
Coa mala sorte de que os cinco números son primos, o que levou a Fermat a aventurar que todos tiñan que selo. Menos dun século despois chegou o matemático probablemente máis hardcore da historia, Leonhard Euler, quen amosou que:
$$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641 \cdot 6700417$$


Outro feito dos enumerados por Richard Guy é máis escuro e a sorpresa tarda un pouco máis en aparecer:


    Agás o 2, todos os números primos son impares, así que podemos clasificalos en dúas clases: os que deixan resto 1 ao seren divididos entre 4 (os 4k+1) e os que deixan resto 3 ao seren divididos entre 4 (os 4k+3). Se observamos cantos números hai de cada tipo entre os primeiros 100 números naturais:

  • 4k+3: 3,7,11,19,23,31,43,47,59,67,71,79,83  En total 13 primos 4k+3
  • 4k+1: 5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,93,97     En total 11 primos 4k+1
Se ampliamos esta criba (coñecida tradicionalmente como "prime number race") facendo o intervalo natural [1,n] máis grande, veremos que os primos 4k+3 sempre van por diante, ou polo menos non quedan atrás, feito que observou por primeira vez Chebyshev:


n
Primos 4k+3
Primos 4k+1
100
13
11
200
24
21
300
32
29
400
40
37
500
50
44
600
57
51
700
65
59
800
71
67
900
79
74
1000
87
80
10000
619
609

Semella coherente conxecturar que os primos 4k+3 sempre gañan a carreira aos 4k+1, non si?
Pois non: se chegamos ata 26861, que é un primo 4k+1, veremos como os 4k+1 toman a dianteira. Pero como sucede que 26861 e 26863 son primos xemelgos, rapidamente os primos 4k+3 empatan. Pouco despois volven á primeira posición. O máis abraiante da historia está por chegar: Littlewood amosou que os primos 4k+1 toman a dianteira nunha infinidade de ocasións. Marabillas da Teoría Analítica de Números, estes saltos están relacionados co comportamento da función $$\frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{lnx} lnlnlnx$$

Se queredes máis información sobre estas carreiras de primos, recoméndovos "Prime Number Races", de Andrew Granville e Greg Martin, dispoñible en arXiv.

Como conclusión, non vos fiedes dos números pequenos. Non son trigo limpo.

0 comentarios:

Post a Comment