19.8.13

Tempo abondo

Andaba hoxe polo twitter...


Levo tanto tempo escribindo neste blogue que cando me vén un tema á cabeza teño problemas serios para saber se xa o tratei. Por sorte o tema de hoxe é a probabilidade, e en concreto un paradoxo (aparente), polo que non é complicado buscar na etiqueta Paradoxos. Se fose un problema de Xeometría xa tería máis choio. Este paradoxo quizais non sexa tan coñecido como outros probabilísticos como o paradoxo de Bertrand ou o de San Petersburgo, aínda así é ben interesante.

A situación de inicio é tradicional: temos unha urna cunha bóla branca e unha bóla negra. Comezamos un "xogo probabilístico" do seguinte xeito: extraemos unha bóla ao chou e,

  • se a bóla é branca rematamos.
  • se a bóla é negra devolvémola á urna e engadimos outra bóla negra.
As dúas preguntas inmediatas son:

  1. cal é a probabilidade de que remate o xogo, é dicir, de obter nalgún momento unha bóla branca?
  2. ... e canto tempo durará por termo medio o xogo?
Vexamos.


A probabilidade de obter bóla branca á primeira extracción é claramente $P_1=\frac{1}{2}$
Se non temos sorte á primeira, é dicir, extraemos unha negra, a probabilidade de sacar branca á segunda vai ser $P_2=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot3}$ , pois agora temos na urna unha bóla branca e dúas negras.
Na terceira extracción será $P_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3 \cdot4}$

Razoando deste xeito chegamos a que obter bóla branca na extracción n-ésima ten probabilidade: $P_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\dots\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n\cdot(n+1)}$ De tal xeito que a probabilidade de que o xogo remate vén dada pola suma dunha serie felizmente sinxela de calcular: $$\sum_{n=1}^{\infty}P_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot3}+ \dots \frac{1}{n\cdot(n+1)}=(1)$$ Agora imos utilizar un truco clásico, que se apoia en primeiro lugar nese procedemento tan aburrido como sinxelo que chamamos "descomposición en fraccións simples" e que leva un tempo considerable en 2º de Bacharelato (co obxectivo de calcular primitivas racionais): Resulta que: $$\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ (isto ten que ter unha demostración visual, seguro) Así que para calcular a suma buscada, utilizando que a serie é telescópica: $$(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \dots=1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}$$
$$=1-0=1$$ Así que con seguridade obteremos unha bóla branca. Vaiamos á segunda pregunta: canto tardaremos por termo medio en obtermos esa bóla branca? A resposta é a consabida esperanza matemática, xeneralización da media en casos finitos: $$E=\sum_{n=0}^{\infty} n \cdot \frac{1}{n\cdot(n+1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}=\infty$$ isto último debido a que a suma da serie harmónica non é finita (probablemente sexa a primeira serie non trivial con suma non finita) Unindo estes dous resultados, temos que a probabilidade de obter bóla branca é 1, mais por termo medio teremos que esperar un tempo infinito.

Os case cinco anos que levo esbardallando pola rede non semellan moito en comparación.

0 comentarios:

Post a Comment