29.9.13

Ramanujan, o mago


Se lestes a entrada Un par de citas quereredes coñecer un exemplo de xenio con poderes máxicos. Probablemente o último exemplo que entra nos terreos do mito sexa Srinivasa Ramanujan, o autodidacta matemático hindú que mandou unha famosa carta ao teórico de números de Cambridge G.H. Hardy hai 100 anos, presentándose dun xeito humilde como matemático amateur:

"Non tiven educación universitaria mais seguín os cursos ordinarios de secundaria. Despois de deixar o colexio empreguei o tempo libre do que dispuxen para estudar Matemáticas."

Un dos momentos importantes da miña educación matemática non académica seguramente estea no día que en COU o meu profesor, contestando a unha pregunta miña sobre π (que non lembro e que foi no cambio de clases, que daquela algo de vergonza tiña) me contestou que un tal Ramanujan atopara unha serie que converxía rapidamente a π. Daquela eu non sabía nin o que era unha serie, menos o que era unha serie converxente. Tería que esperar uns meses para entendelo... Agora que o penso, o outro fito non exactamente académico pode que sexa o descubrimento dos libros de Martin Gardner na biblioteca de Ferrol.

Na entrada da wikipedia sobre Ramanujan poderedes ler sobre as circunstancias (ben tráxicas) da súa vida e a súa orixinal obra matemática. O meu propósito é mencionar algún dos resultados obtidos por Ramanujan, un dos cales lembrou desde unha perspectiva computacional John Cook nun post recente (no momento de comezar este texto era o último; botádelle a culpa ao atribulado comezo do curso).

Observade esta expresión, composta por radicais dentro de radicais (radicais encaixados, en inglés "nested radical"), proposta para ser avaliada por Ramanujan ao Journal of the Indian Mathematical Society en 1911

$$\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}}}$$

Cando vin por primeira vez este monstro, coñecendo algo sobre fraccións continuas e incluso sobre expresións con radicais máis sinxelas1, tentei buscar algún tipo de relación que me permitise relacionar os sucesivos termos da sucesión. Como era de esperar, fracasei. Acudín ao espléndido Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (editado entre outros por Hardy) e achei unha marabilla de razoamento. Agarrádevos, que chega un pouco de maxia:

Ramanujan define $n(n+2)=f(n)$ e parte da obvia identidade:
$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$$
Reescrita coa linguaxe funcional introducida:
$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$

Iterando esa igualdade...
$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$
$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}}$$
$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}}=\cdots;$$
Pasando ao límite, 
$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}$$
E avaliando os dous membros en n=1 obtemos o abraiante:
$$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$$

Se alguén ten problemas coa lixeireza coa que se pasa ao límite e se avalía nun punto, que saiba que non vai desencamiñado. Nos Collected Papers Vijayaraghavan amosa que unha condición necesaria e suficiente para que a expresión 
$$T_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{a_3+\cdots +\sqrt{a_n}}}}$$
sexa converxente é $$\limsup_{n\to\infty}\frac{log a_n}{2^n}< \infty$$
Claro que a expresión explícita para a sucesión no radical de Ramanujan dista de ser evidente
$$a_n=2^{2^{n-1}}\cdot3^{3^{n-2}}\cdot4^{4^{n-3}}\cdots (n-1)^{2^2}n^2$$

En calquera caso, a maxia está na deducción previa, que tanto recorda ao traballo doutro mago das Matemáticas, Leonhard Euler. E non é máis que unha pinga da produción máxico-científica de Ramanujan. Observade por exemplo a serie á que se refería o meu profesor de COU:
$$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{n=0} \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}$$

Esta fórmula non é só atractiva esteticamente, senón que ademais proporciona 8 novos decimais exactos de π con cada iteración e está detrás das aproximacións de π máis rápidas da actualidade.

Que opinades, hai ou non hai magos nas Matemáticas?



1 Entre elas, unha propia de primeiro de carreira: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}}=2$$ ou a máis interesante(se non a coñecedes esta é realmente alucinante): $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}}=\phi$$

19.9.13

Que sorprende pola mañá a un matemático?


Imaxinade que unha mañá calquera, indo ao choio as présas, un baixa ao garaxe e atopa este panorama:



Ningún vehículo foi danado na produción desta imaxe


Veña, adiviñade, que é o que pensa un matemático que é inusual no garaxe para pararse e tirar unha instantánea da escena? Estou certo que algún pode adiviñalo.





Se botas papas, fai click
Obviamente, non pode substraerse a retratar o 7!


Perdoade a brincadeira, estes días de comezo do curso son duros no choio...

11.9.13

Un par de citas



De Science Cartoons Plus


Un aspecto que non trato neste blogue con moita asiduidade (a dicir verdade non sei se o tratei algunha vez) é o do mundo matemático, entendéndoo de xeito amplo como a cultura arredor da ciencia matemática. É dicir, todo aquilo que teña que ver con anécdotas da vida dos matemáticos, opinións, chistes... que tan habituais son nos libros de divulgación. Para solucionar esta falla, hoxe quero compartir as reflexións de dous matemáticos de gran nivel.

A primeira, da estrela de finais do século XX Andrew Wiles, que finalmente demostrou o Último Teorema de Fermat en 1994, é a metáfora más fermosa sobre a experiencia matemática que teño lido:

"Entras no primeiro cuarto da mansión, que está totalmente a escuras. Chocas cos mobles pero gradualmente vas aprendendo onde está cada peza do mobiliario. Por fin, despois de seis meses máis ou menos, atopas a chave da luz, acéndela, e de súpeto todo está iluminado. Podes ver exactamente onde estás. Entón móveste ao seguinte cuarto e pasas outros seis meses a escuras. Así que cada un destes avances, algúns instantáneos, outros que poden levar un día ou dous, é a culminación de, e non podería suceder sen, os moitos meses previos de chocar na escuridade."
Tradución libre de How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox de William Byers.


A outra reflexión é totalmente distinta, pois fai referencia non ao feito matemático senón a unha rigorosa clasificación dos xenios (que por tanto engloba aos xenios matemáticos) do matemático Marc Kac, colaborador doutro científico de primeira orde, o peculiar físico Richard Feynman:

"Hai dúas clases de xenios, os ordinarios e os magos. Un xenio ordinario é un tipo ao que ti ou mesmo eu poderiamos igualar, simplemente se fosemos unhas cantas veces mellores. Non hai misterio algún no xeito no que a súa mente funciona. Unha vez que entendemos o que fixeron, estamos certos de que nós tamén poderiamos facelo. É distinto cos magos. Eles están, usando a linguaxe matemática, no complemento ortogonal de onde estamos nós, e o funcionamento das súas mentes é a todas luces incomprensible. Aínda despois de que entendamos o que fixeron, o proceso que seguiron é completamente escuro. Rara vez teñen discípulos, pois eles non poden ser emulados, e debe resultar moi frustrante para unha mente nova e brillante tentar enfrontarse cos misteriosos camiños polos que transita a mente do mago."
Tradución libre de Mathematics and Common Sense. A case of creative tension de Philip J. Davis

Esta reflexión está nos antípodas das frases que pretenden inspirar ou motivar; para a xente común era abondo sabermos que había xenios, agora aínda por riba descubrimos que hai un tipo afastado de nós mais tamén lonxe dos chamados magos.

Comecemos desmotivados o ano... ou cos pés no chan, tal e como o vexo eu. O contrario podedes atopalo en powerpoints con gatos ou cabezas flotantes no espazo exterior.

5.9.13

A Lei Forte dos Pequenos Números-2

Continuando a entrada anterior, traio hoxe outra xeira de feitos matemáticos que só son certos cando ollamos os primeiros casos, onde o termo "primeiros" é tan difuso como queirades.
  • Na liña1 dos números de Fermat, que tiñan o aspecto $F_n=2^{2^n}+1$, temos os números de Mersenne, coa pinta $M_n=2^n-1$. Como o número $2^{ab}-1$ é divisible por $2^b-1$, un número de Mersenne só pode ser primo se n non ten divisores non triviais, é dicir, se n é primo. Se botamos unha ollada aos primeiros candidatos,$$2^2-1=3, 2^3-1=7, 2^5-1=31, 2^7-1=127$$
,vemos que todos son primos. Coa sorte de que non hai que andar moito para atopar un contraexemplo:
$$2^{11}-1=2048-1=2047=23 \cdot 89$$
  • Outro feito abraiante: o número $\binom{2n-1}{n-1}-1$, onde n >1, é divisible entre $n^2$ se e só se n é un primo impar.
Observemos os primeiros casos:
n$n^2$
$\binom{2n-1}{n-1}$
$\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{n^2}$
1
1
1
0
2
4
3
0,50
3
9
10
1
4
16
35
2,13
5
25
126
5
6
36
462
12,81
7
49
1716
35
8
64
6435
100,53
9
81
24310
300,11
10
100
92378
923,77
11
121
352716
2915
12
144
1352078
9389,42
13
169
5200300
30771
14
196
20058300
102338,26
15
225
77558760
344705,60
16
256
300540195
1173985,13
17
289
1166803110
4037381
18
324
4537567650
14004838,42
19
361
17672631900
48954659
20
400
68923264410
172308161,02

Neste caso habería que ter moita paciencia ou habilidade cun ordenador para atopar un contraexemplo. Eu de vós non o tentaría a man: o primeiro número n que non é un primo impar que cumpre que $n^2|\binom{2n-1}{n-1}-1$ é $n=283686649=16843^2$. Neste casos os números pequenos non o parecen tanto.

  • O último (por hoxe) trata sobre a sucesión dos números primos. Calculemos a diferenza entre cada dous primos consecutivos, obteremos así outra sucesión (de diferenzas de 1ª orde). Calculemos o valor absoluto da diferenza de cada dous termos consecutivos desta nova sucesión (dito doutro xeito: calculemos a diferenza entre o maior e o menor de cada dous termos consecutivos). Repitamos o proceso, obteremos infinitas sucesións, cunha propiedade inesperada, observade:
Para tolearmos un pouco

Vedes algo salientable?

Por unha banda é inevitable tolear coa morea de ceros e douses, mais tamén observaredes que despois da primeira ringleira sempre aparece o número 1 ao comezo. Antes de que tentedes comprender este feito, sería útil que souberades que hoxe aínda non se coñece contraexemplo. Este feito é coñecido como Conxectura de Gilbreath, e ademais de no artigo de Richard Guy tamén o atopei en The Math Book de Clifford Pickover. Nese libro Pickover comenta que Norman L. Gilbreath chegou a conxecturar esta persistencia do 1 despois de fedellar un chisco nun pano.Polo visto houbo varias tentativas serias de demostrar esta conxectura, porén permanece invulnerada. O último avance na verificación da conxectura para números pequenos data de 1993 e só chegou a $3\cdot10^{11}$. Ou ben a conxectura non resulta atractiva para os investigadores, ou ben resulta demasiado difícil.
John Cook, matemático ben coñecido polo seu blogue The Endeavour e as súas múltiples contas en twitter nas que colga feitos matemáticos interesantes, comenta no seu post sobre esta conxectura que o famoso Paul Erdös cría que quizais tivesen que pasar 200 anos para ver demostrada a observación de Gilbreath. Cook fai un afirmación ben peculiar ao recoñecer que lle interesa máis a afirmación de Erdös que a propia conxectura.

Xa está ben por hoxe. Estou certo que outro día hei compartir algún feito máis destes perversos números pequenos.


1 Supoño que haberá que explicar un pouco o paralelismo dos números de Fermat e Mersenne, alén da obviedade de que a potencia que aparece nos dous teña base 2. Para definir os números de Fermat de xeito paralelo aos de Mersenne o xeito inmediato sería $2^n+1$. Por que non o facemos así? Pois porque se o número n ten un factor impar o número $2^n+1$ é automaticamente divisible por 3 (en xeral,  $a+b | a^{2k+1}+b^{2k+1}$ ). De tal xeito que n non pode ter factores impares, i.e., ten que ser unha potencia de 2.