16.11.13

Matrices e Pitágoras?


Hai anos estaba a ler un libro de historia da Teoría de Números e no epígrafe sobre o problema dos números que poden ser expresados como suma de dous cadrados dei co coñecido resultado:

"Se dous números poden expresarse como suma de dous cadrados entón o seu produto tamén pode ser expresado dese xeito"

Vexamos un caso particular:
$$\small{\begin{cases} 13=3^2+2^2 \\ 17=4^2+1^2 \end{cases}\rightarrow 221=13\cdot17=14^2+5^2}$$
Habitualmente este resultado aparece demostrado utilizando igualdades polinómicas, técnica na que Euler destacou coa súa vista proverbial1. Pero aquel día non sei que tería eu rondando polo miolo, que atopei varios xeitos "naturais" de amosar o devandito resultado.
Enfocando o problema: tentei amosar que, se multiplicamos dous números expresables como suma de dous cadrados, $\small{P=a^2+b^2}$ e $\small{Q=c^2+d^2}$, obtemos outro número PQ, tamén expresable $\small{PQ=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$

Ao ver a suma de dous cadrados pensei automaticamente nos números complexos, quizais (non o lembro con exactitude) porque pasara pouco tempo desde que factorizara algún polinomio no corpo complexo. E rapidamente apareceu a proba:
$$\small{PQ=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=}$$
$$\small{(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)=[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)-(ad+bc)i]}$$
$$\small{=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$$

Se tentades traducir esta fórmula ao caso particular de antes, cos números 13 e 17, veredes que obtedes a expresión $\small{221=10^2+(-5)^2=10^2+5^2}$. Para obter a que escribín no exemplo hai que intercambiar os valores de a e b.

Como aquel día estaba con forzas e en Matemáticas unhas ideas conectan axiña con outras, levei isto a outro contexto, o dos determinantes:

Observando que a expresión $\small{a^2+b^2}$ pode tamén escribirse $\small{ \left|  \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array} \right|} $, xa é directo:

$$\small{ \left|  \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array} \right| \cdot  \left|  \begin{array}{ccc}
 c & -d \\
 d & c \\
\end{array} \right| =  \left| \left( \begin{array}{ccc}
 a & -b \\
 b & a \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 c & -d \\
 d & c \\
\end{array}\right) \right|= \left| \left( \begin{array}{ccc}
 ac-bd & -(ad+bc) \\
 ad+bc & ac-bd \\
\end{array}\right) \right| }$$

Sospeito que esta ponte entre os complexos e os determinantes debeu de construírse aproximadamente por este camiño: complexos-forma exponencial dos complexos-forma trigonométrica dos complexos- matrices de xiro-determinantes, mais recoñezo que dou paus de cego, pois xa pasaron máis de dez anos. A proba é breve, pero porque oculta o paso esencial que, alén de decatarse da expresión como determinante de a²+b², consiste en utilizar que a aplicación determinante de matrices se comporta ben co produto de matrices (para o connossieur, o determinante é un homomorfismo de grupos entre $\small{M_{n \times n}} $ e $\small{(\mathbb{R},\cdot)} $)

Agora sei que o camiño de utilizar matrices para amosar cuestións de Teoría de Números é certamente natural. Daquela aínda non lera sobre o xeito de expresar recorrencias como a da sucesión de Fibonacci mediante produto de matrices, cousa que agora está "de moda" debido a que aparece en libros de texto do bacharelato, xunto á potenciación de matrices. O método vén sendo:

$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_2  \\
 F_1  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 F_1  \\
 F_0  \\
\end{array}\right) $$
Reiterando a expresión:
$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_3  \\
 F_2  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc}
 F_2  \\
 F_1  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^2 \left( \begin{array}{ccc}
 F_1  \\
 F_0  \\
\end{array}\right) $$

En xeral, e tendo en conta que $\small{F_1=1}$e que $\small{ F_0=0}$ chegamos a que:

$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_{n+1}  \\
 F_n  \\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^n \left( \begin{array}{ccc}
 1  \\
 0  \\
\end{array}\right) $$

O que leva tamén a que
$$ \left( \begin{array}{ccc}
 F_{n+1} & F_n  \\
 F_n  & F_{n-1}\\
\end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)^n  $$

Como propina, se calculamos os determinantes dos dous membros da igualdade anterior obteremos a famosa identidade de Cassini:
$$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$$

Tamén, como a matriz $\small{A=\left( \begin{array}{ccc}
 1 & 1 \\
 1 & 0 \\
\end{array}\right)}$ cumpre obviamente que $\small{A^{m+n}=A^m \cdot A^n}$, obtemos rapidamente que:
$$F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n=F_{m+n}$$
e a súa consecuencia, da que xa falei por acó (xunta o meu pseudo-descubrimento):
$$F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2$$

E o lector que non estea xa mareado a estas alturas de post preguntará "E Pitágoras onde vai?". Vai na continuación deste longo post, permanezan ante os seus aparatos.



1 O de Euler é sobrenatural. Ollade para a identidade que atopou, 200 anos antes dos ordenadores: $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2+$$ $$(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2$$

2 comentarios:

  1. Pois resulta que estou lendo un libro no que aparece a identidade de Euler que recolles nesta entrada. Trátase de "Números y figuras" de Rademacher e Toeplitz.
    Alí coméntase como Lagrange usou esa identidade para demostrar que todo natural pode poñerse como suma de, como moito, catro cadrados. E tamén se dá unha demostración de Liouville, curta e moi bonita, de como a parti deste resultado de Lagrange, todo natural é suma de,como moito, 53 cuartas potencias

    ReplyDelete
  2. Ese libro é unha fermosura, Cibrán. Foi un dos que atopei cando deixaron entrar na parte esotérica da biblioteca da facultade aos non-profesores, cando vin tamén cousas como que había unha zona dedicada exclusivamente á Combinatoria (daquela pensaba que era só o das combinacións, permutacións e variacións que dera en 1º de BUP), ou os andeis baixo o nº 11 da Teoría de Números.
    Respecto ao de Euler, sempre queda a dúbida do que atoparía coa axuda dun ordenador, ou simplemente cunha calculadora. Vía onde os demais só buscamos...

    ReplyDelete