24.4.13

O problema de Malfatti

Lendo o libro Excursions in Geometry de Stanley Ogilvy atopei o Problema de Malfatti. Este é un problema xeométrico que xa tiña visto noutras ocasións, pero do que nunca lera a historia. E podedes estar certos que esta historia é das curiosas.

Imaxinade que tedes un anaco de mármol con forma de prisma triangular recto e que queredes extraer del tres columnas cilíndricas rectas. Como o faríades para estragar a menor cantidade de mármol?

A pouco que pensedes na figura e fagades mentalmente un corte plano veredes que todo se reduce a maximizar a área de tres círculos interiores á sección triangular resultante, un caso máis de redución dun problema tridimensional a outro máis manexable en dúas dimensións. Aínda que tampouco é tan manexable en dúas dimensións, veredes por que...



Máis queixo balorento que mármol...



Ollando a figura anterior é inevitable pensar que é mellor que as columnas sexan tanxentes entre si e tamén cos bordes do prisma, para que non queden ocos de mármol que poderían ser utilizados. De tal xeito que unha posibilidade máis axeitada, unha vez baixemos a dúas dimensións, podería ser:


A configuración anterior chámase "Circunferencias de Malfatti" en honor do matemático italiano que propuxo o problema, Gian Francesco Malfatti. Este xeómetra deu por suposto que a mellor situación posible tiña ese aspecto, é dicir, tres circunferencias tanxentes dúas a dúas e tanxentes cada unha delas a dous dos lados do triángulo. Situación típica na que o debuxo vale máis que as palabras. E tan certo estaba que isto era así que obviou a demostración formal e se dedicou a tentar buscar unha maneira de chegar ás circunferencias-"solución" mediante regra e compás, á maneira tradicional. Tal xeito de trazar as circunferencias de Malfatti non chegou ata que o grande xeómetra Jakob Steiner atopou un xeito puramente sintético, e que só utilizaba construcións básicas como bisectrices, tanxentes e circunferencias inscritas en cuadriláteros tanxenciais.

Ata aquí a historia parece unha máis dentro da enorma cantidade de problemas matemáticos propostos por un matemático e resoltos por outro. Pero...


...resulta que o problema estaba lonxe de ser resolto. Porque aínda considerando un dos casos a priori sinxelos, o do triángulo equilátero, as circunferencias de Malfatti non maximizan a área.

Non parece que o contraexemplo estivese moi afastado.

Pero aínda é peor se escollemos un triángulo menos regular, por exemplo o pitagórico (13,12,5):



 *É mellor está configuración, obviamente?

As circunferencias de Malfatti quedan ben lonxe do máximo:

Vaia ollo, Malfatti...


O matemático Howard Eves amosou en 1965 que se o triángulo é longo e fino a configuración de máis enriba case duplica a suma de áreas das circunferencias de Malfatti. Pero o mellor desta historia aínda estaba por chegar: en 1967 o matemático Michael Goldberg presentou argumentos visuais que parecían probar que as circunferencias de Malfatti... non proporcionan nunca o máximo da suma das áreas!
A demostración rigorosa non chegou ata 1991, cando V.A. Zalgaller e G.A. Loss publicaron no Xornal Xeométrico Ucraíno "A solution of the Malfatti problem". Neste artigo mostraron que efectivamente a configuración *, correspondente ao algoritmo do avaro ("greedy algorithm"), no que un inscribe a circunferencia máis grande que pode no triángulo (a ben coñecida circ. inscrita), despois introduce a circunferencia máis grande que caiba no espazo que deixa no triángulo a inscrita, e finalmente introduce unha terceira circunferencia no oco que deixan as outras dúas, é sempre a solución do problema de Malfatti. E nun caso de transición o algoritmo do avaro é igualado pola configuración equivalente á do contraexemplo do triángulo equilátero.


Para os lacazáns: as circunferencias de Malfatti nunca resolven o problema de Malfatti.

20.4.13

Que nos motiva no traballo?

De volta da I Xornada de coordinadores/as do proxecto Abalar atopei unha actualización no TED blog que me fixo reflexionar:

Do post de TED comentado


Na entrada presentan unha infografía(realmente un póster) que amosa as liñas xerais da resposta do TED blog a unha charla previa do economista da conduta 1 Dan ArielyWhat makes us feel good about our work?
(perdón pola morea de ligazóns). Non puiden evitar pensar en como se reflicten estes sete puntos no noso tan peculiar labor docente.

  1. Ver os froitos do noso labor pode facernos máis produtivos: Quizais porque aínda levo pouco tempo ensinando(arredor de 10 anos), pero o certo é que non teño unha impresión nítida deses froitos. Aínda que sigo en contacto con moitos dos ex-alumnos que tiven, non vexo relación entre o feito de que a moitos deles lles vaia ben na súa vida co meu labor. As cousas sonvos así.
  2. Canto menos aprezado consideramos o noso traballo, máis cartos queremos gañar: Non tiven nunca aínda a pulsión de gañar máis cartos. Quizais porque tanto ten: neste traballo imos gañar o mesmo fagamos o que fagamos. Veremos coa infame LOMCE como vai cambiar a situación(seguramente a peor, claro).
  3. Canto máis difícil é un proxecto, máis orgullosos nos sentimos del: Si, isto creo que si sucede. En clases especialmente complicadas, cando acadamos obxectivos a priori afastados é xusto sentirse orgulloso do traballo ben feito. O problema é que isto non ocorre con moita frecuencia. Digamos que as clases difíciles son... difíciles.
  4. Sermos conscientes de que o noso traballo axuda a outros pode incrementar a nosa motivación inconsciente: No noso caso, inconsciente e tamén consciente. O obxectivo principal do noso labor é a aprendizaxe dos alumnos. Moito máis non hai que dicir. 
  5. A promesa de axudar a outros fai que sexa máis probable que sigamos as regras: Como non vexo que "seguir as regras" teña que ser necesariamente positivo, non vexo tampouco que este punto axude á motivación. Probablemente aquí sexa onde se revele a diferenza entre motivación nun traballo usual e motivación no labor docente.
  6. O reforzo positivo sobre as nosas habilidades pode mellorar o noso desempeño: É de supoñer que certa valoración positiva sobre o docente podería mellorar a súa predisposición para o traballo. Pero tampouco é automático. En calquera caso, cando foi a última vez que recibistes un reforzo positivo por parte dos vosos compañeiros, a vosa dirección ou (gasp) da administración educativa? (E iso que eu non me queixo, os compañeiros valoran máis o que fago que eu mesmo ou os alumnos-quizais por mor do traballo como coordinador TIC)
  7. Imaxes que apuntan a emocións positivas poden realmente axudar a que nos concentremos: Isto soa máis a libro de autoaxuda e trapallada New Age que a psicoloxía seria. Pero quen sabe, nos recantos máis insospeitados atopa un a motivación, algúns ata pretenden converterse en inspectores de educación, ou incluso conselleiros...
E vós que opinades sobre a motivación dos profesores? Porque da dos alumnos xa falamos tódolos días...



1 Non é o caso, pois este economista fala do traballo e non do ensino, pero xa estou un pouco farto de que o debate sobre educación estea en mans de economistas, que por unha banda non saben abondo sobre educación para entender os items que manexan, e por outro non saben abondo sobre Matemáticas e Estatística para darlle significado aos números

11.4.13

Solucións trabucadas habituais


Quedei pensando cunha frase que escribín na anterior entrada. Non é que me dedique a ler o que eu mesmo escribo, senón que, como no post anterior houbo que retocar as características do applet de Geogebra tiven que actualizar a vista da páxina en varias ocasións. Como parece que a autocita escapa á infame Lei Lassalle, reprodúzoa aquí:

"Como vin que varios alumnos de 3º tiñan problemas para imaxinar a gráfica dun exercicio de funcións do libro, estiven a fedellar co Geogebra para axudar á explicación"

Isto é, sen dúbida, un erro. Ademais é un erro que tendo a repetir.

E non o parece, a simple vista. Por que é un erro?

Porque se o meu obxectivo como profesor é que os alumnos imaxinen non debería de poñerlles eu unha imaxe diante. Porque iso é o contrario de imaxinar. Porque reproduce o modelo actual de ocio: sen necesidade de entender nada, facendo clic (agora tocando nalgures) tes automaticamente o que desexas.


E seguindo este fío pensei en máis exemplos onde a miña (ou habitual) solución non vén resolver o que pretende, senón que vén emendar ou proporcionar un sucedáneo. Rapidamente viñeron unhas cantas situacións:


  • Se un alumno ten dificultades coa resolución de problemas, é erróneo diluír os problemas dando un algoritmo que se aplique a tódolos problemas. Porque iso non é resolver problemas. É outra cousa.

  • Se queres que un alumno sexa quen de seguir un algoritmo que consta de varios pasos (resolución de ecuacións con denominadores, trazado da gráfica dunha función cuadrática, etc.), non é boa idea axudarlle a levar a cabo o algoritmo asistíndolle en cada un dos pasos.

  • Se pretendes que os teus alumnos vexan que as Matemáticas teñen un carácter deductivo, tampouco é boa idea aplicar mecanismos sen motivación lóxica. Isto é complicado de evitar, pois nos curricula temos exemplos como a Regra de Ruffini, difícil de xustificar no segundo ciclo de E.S.O. Por non falar do deostado e raramente entendido (e explicado) algoritmo da raíz cadrada...

Por se alguén cre que servidor proclama ter alternativas ao anterior, teño que recoñecer que non as teño, pero sigo a buscar. Sería interesante que a Administración educativa promovese a reflexión sobre o curriculum e a metodoloxía entre profesionais. Sucede que a Administración está máis preocupada en organizar exames estandarizados para que deixemos de traballar contidos matemáticos nas aulas e pasemos a preparar tests.

Deixemos a carraxe á parte mentres vemos un precioso vídeo da NASA:


5.4.13

Un exercicio interesante dun libro de texto

Como vin que varios alumnos de 3º tiñan problemas para imaxinar a gráfica dun exercicio de funcións do libro, estiven a fedellar co Geogebra para axudar á explicación. O exercicio fala dunha situación típica: un neno nun tiovivo é vixiado pola súa nai, parada fóra da atracción. Ao principio o neno está a 2 metros da nai, cando máis afastados están a distancia é 24 metros. A volta do tiovivo dura 30 segundos. O exercicio pide representar a función "distancia entre o cativo e a súa nai dependendo do tempo".

O applet non é unha marabilla, teño que recoñecelo, non fai exactamente o que pretendía que fixese, e aínda por riba coa falta de práctica tardei máis do necesario en resolver un par de problemas que xurdiron. Para ver todo o que hai nel teredes que afastar a gráfica e o tiovivo, non atopei o xeito de adaptar o applet ao largo do corpo do blogue.
Se queredes ver a folla de traballo en geogebratube ide a Tiovivo.




Sabedes un síntoma de que un se fai vello? Que esquece que está a traballar en radiáns...

2.4.13

Seguidillas en Matemáticas?

Acabo de ver isto nun libro de Matemática Moderna (que cousas máis raras leo, xa sei). É tan pintoresco que tiña que compartilo por acó. Escusade a calidade da imaxe, non houbo maneira de escanealo mellor:

A definición de infinito éche ben complicada

Como a única definición de seguidilla que coñezo está relacionada coa poesía e a música, fun buscar ao dicionario da RAE e atopei o seguinte na segunda acepción, axeitada para o libro, procedente de Arxentina:

2. f. Arg.Bol. y Ur. Sucesión de hechos u objetos que se perciben como semejantes y próximos en el tiempo.

Isto xa vai tendo máis sentido, aceptamos seguidilla entón (ou sigue-sigue!).

Pero que vos parece que o libro, de 1968, estivese destinado a alumnos de 12 anos?