30.6.13

Un texto cifrado


Como vén sendo habitual os últimos 8 anos, na semana das repescas levo problemas alternativos para os alumnos que xa teñen tódalas avaliacións aprobadas. Esta é unha circunstancia que non se daba na época na que eu era alumno, pois daquela (primeira metade dos arrepiantes-en-tantos-aspectos anos noventa) as clases ordinarias non duraban máis aló do 8 ou 10 de xuño, e os alumnos cunha avaliación suspensa tiñan (eles soamente) que ir ao instituto nos días previos ao San Xoán a facer o que chamabamos "Suficiencia". Curiosamente, hoxe en día comezamos as clases arredor do día 17 de setembro, cando eu teño empezado cursos daquel BUP-COU polo día 4 de outubro.

De tal xeito que estes días hai unha porcentaxe felizmente superior ao 50% da clase que está nas aulas vendo como os compañeiros que suspenderan algunha avaliación fan os exames correspondentes. E aproveito para poñerlles algún problema real, é dicir, situacións máis ou menos matemáticas afastadas do curriculum (e tamén do constante cando-vou-usar-isto?) e suficientemente difíciles. Tentando sempre fuxir dos manidos "fillas de Einstein", "o lobo, a coliflor e a cabra", "o caracol e o pozo", "os nove puntos e os catro segmentos". Probablemente non podería atopar novos problemas sen a existencia da rede e todas as iniciativas abertas que moran nela. E sen o P2P.

Un tipo de actividade que adoito incluír é a descodificación dun texto cifrado. Sempre poño extractos tirados de relatos breves, de autores consagrados e que se poidan atopar íntegros na rede. Ás veces simplemente troco a fonte normal do texto por unha de tipo dingbat, usualmente Wingdings. Como a descodificación ten que ser realizada con lapis e papel, sen acceso a ordenador nin dispositivo con procesador de textos ningún, utilizo Wingdings porque os símbolos son claros e os alumnos non coñecen a equivalencia (o día que atope un alumno que a coñeza será realmente inquietante). Ademais, como Wingdings non ten símbolos para as vogais acentuadas, estas quedan como están, dándolles unha pequena pista aos alumnos.
Pero como a multitude de lectores deste blogue non están na mesma situación que os meus alumnos, aquí vou deixar unha codificación por substitución dentro do propio alfabeto, e para non ter a lea de distinguir entre letras codificadas e letras descodificadas, convertín o texto a maiúsculas. Aínda así, deixei unhas cantas pistas para quen as saiba ver. O texto plano non ten maiúsculas nin tiles, e mantiven os signos de puntuación e a separación das palabras (é común considerar o espazo como un carácter máis e codificalo tamén, complicado as cousas) Ah, e o texto está en castelán, vós xa me entendedes...

MBEHCJ JXRES JX JD BQDB. JYRBAB BD DBZS ZJD ZSEMCRSECS, Ñ JD MBJYRES BQRSMBRCWS YJ KBDDBAB JXWJXZCZS ÑB Ñ JYLJEBXZS. YCJMLEJ YJ JXWJXZCB B DB MCYMB KSEB RSZSY DSY ZCBY, JUWJLRS YBABZSY Ñ ZSMCXHSY, LSENQJ YQ MBZEJ ZJWCB NQJ DBY XCIBY BLEJXZCBX MJOSE YC JYRQZCBABX JX QX KSEBECS EJHQDBE. DB LBXRBDDB JYRBAB CDQMCXBZB.
- DB DJWWCSX BECRMJRCWB ZJ KSÑ – KBADS JD MBJYRES- YJ EJFCJEJ B DB YQMB ZJ NQJAEBZSY LESLCSY. LSE FBTSE, CXYJERB DB RBEJB ZJ BÑJE JX DB EBXQEB BZJWQBZB. MBEHCJ SAJZJWCS, WSX QX YQYLCES. JYRBAB LJXYBXZS JX DBY TCJOBY JYWQJDBY NQJ KBACB WQBXZS JD BAQJDS ZJD BAQJDS JEB QX WKCNQCDDS. BYCYRCBX RSZSY DSY WKCWSY ZJD TJWCXZBECS, YJ EJCBX Ñ HECRBABX JX JD LBRCS, YJ YJXRBABX OQXRSY JX JD BQDB, EJHEJYBABX B WBYB OQXRSY BD FCXBD ZJD ZCB BLEJXZCBX DBY MCYMBY WSYBY, BYC NQJ LSZCBX BÑQZBEYJ WSX DSY ZJAJEJY Ñ KBADBE ZJ JDDSY. Ñ DSY MBJYRESY JEBX LJEYSXBY… JD MBJYRES MJWBXCWS JYWECACB JX DB LBXRBDDB: “WQBXZS YQMBMSY DBY FEBWWCSXJY 1/2 Ñ 1/4…” MBEHCJ LJXYBAB NQJ DSY XCISY ZJACBX ZJ BZSEBE DB JYWQJDB JX DSY TCJOSY RCJMLSY. LJXYBAB JX WQBXRS YJ ZCTJERCBX.

CYBBW BYCMST



Se queredes algunha pauta máis, ide e lede un vello post, A descifrar mensaxes!.

Por último, houbo varias parellas de alumnos que deron descodificado o texto en corenta minutos.



18.6.13

Intermezzo


Haberá que deixar a un lado uns minutos esas correccións horripilantes...


  • Os $(\frac{3}{5})^0=\frac{3}{5}$

  • Os $9-3·2=6·2$

  • Os $3^{-1}=-3$

  • Os $p(-2)=-2·p(x)$

E tódalas outras faltas ortográficas que cometen os alumnos nesta sintaxe que denominan curriculum de Matemáticas da ESO. Sintaxe elemental que ademais oculta as ideas que realmente provocan a paixón que, dun xeito ou outro, nos ateiga aos que nos dedicamos a este choio.


E pasar un anaco vendo unha pequena obra:


HINODE from niiyama on Vimeo.



12.6.13

Non te deixes levar


Atopei hai uns días este problema:

Se nun país o 3% dos partos dan lugar a xemelgos, que porcentaxe da poboación supoñen os xemelgos?
(Para non dar máis datos, supoñamos que só hai partos simples e partos dobres)

Calquera persoa afeita a pelexar con problemas e ideas enleadas ve por onde vai a cousa: o problema está proposto para facer pensar durante un tempo que a resposta é 3%. Se quen o vai resolver é un alumno do primeiro ciclo da ESO seguramente non vaia caer do burro ata que vexa un caso particular. Por exemplo, se houbo 100 partos, cantos nenos hai? Cantos son xemelgos? Representan o 3%?
O razoamento xeral depende da madurez alxébrica de cada quen, que pode ser máis ou menos formal. Para ver que os xemelgos van supoñer máis do 3% poderiamos razoar informalmente deste xeito: se o 3% dos partos de xemelgos desen lugar a un único neno, eses nenos representarían xusto o 3%. Como neste caso hai dous nenos por parto, é obvio que teñen que representar máis do 3%.

Para ver a porcentaxe exacta que van supoñer é útil traballar con letras: Se hai x partos, $\frac{97x}{100}$ son partos simples e o resto, $\frac{3x}{100}$ son partos dobres. De tal xeito que hai $\frac{97x}{100}$ nenos procedentes de partos simples e $2\cdot \frac{3x}{100}$ xemelgos. Polo que a fracción de nenos xemelgos respecto do total de nenos é: $\frac{2\cdot \frac{3x}{100}}{2\cdot \frac{3x}{100}+\frac{97x}{100}}=\frac{ \frac{6x}{100}}{\frac{103x}{100}}=\frac{6}{103}$, aproximadamente un 5'8%

Hai moitas situacións  nas que o problema che leva onde quere, que adoita ser un erro grave. Rapidamente veñen varias á mente, algunhas relativamente técnicas:


  • O que lle gustaría a grande parte dos alumnos, $(a+b)^2=a^2+b^2$, do que xa falei en varias ocasións.
  • O que tamén lles gustaría a moitos alumnos: se algo sobe de prezo un 10%, para calcular o prezo inicial non hai máis que baixarlle o 10%. (Tamén teño falado disto en máis dunha entrada )
E tamén noutras situacións máis problemáticas:

  • Se un reloxo atrasa 3 minutos á hora, canto tempo haberá que adiantalo para que remate a hora ao mesmo tempo que outro reloxo que funciona ben?
  • Semellante ao anterior no aspecto: Nunha carreira de 100 metros lisos gáñolle a un compañeiro por 3 metros. Cantos metros tería que deixarlle de vantaxe para que a carreira estivese equilibrada?
  • Un clásico: Se vou de Ferrol á Coruña a 100 km/h e volvo a 80 km/h (a estas velocidades é obvio que non vou en ferrocarril, que tarda unha hora e media no século XXI), cal foi a miña velocidade media no traxecto global de ida e volta?
Resulta interesante modificar estes problemas que falan de lonxitudes, tempos e velocidades, por exemplo: onde pon que nunha carreira de 100 metros lisos gañas por 3 metros, que pasaría se lle gañas por 3 segundos? E se vas 3m/s máis rápido?

Nestes días de recuperacións e "repescas" pode que lle resulte útil a algún profesor de Matemáticas ter problemas na recámara do pen drive.

5.6.13

Do sexo ás formas cuadráticas

15, 21, 28, ...

O título non é meu. Chántoo aí tendo en conta que tipo de buscas en google poden chegar acó. Vaia decepción que van levar...


Como dixen, o charramangueiro título non é froito da miña imaxinación, senón que o atopei no excelente libro "An Invitation to Mathematics. From competitions to research", editado por Dierk Schleicher e Malte Lackmann. O capítulo que así comeza évos un pouco longo, así que só vou compartir os dous problemas elementais cos que inicia o camiño que remata vinte páxinas máis adiante.

O primeiro problema, que vin por primeira vez na oposición a profesor de secundaria de Castela-A Mancha do 2006, é realmente interesante:

Un profesor ten ao seu cargo varios alumnos. Quere escoller dous ao chou, e descubre que hai xusto un 50% de probabilidade de que os dous alumnos así escollidos teñan o mesmo sexo. Que podemos afirmar sobre o número de alumnos de cada sexo que hai na aula?

Só direi da solución que ten características xeométricas...


Para sermos precisos, o problema da oposición castelá non fora tan complexo. Alí o enunciado era:

Un caixón contén calcetíns vermellos e negros. Cando collemos dous calcetíns aleatoriamente, a probabilidade de que os dous sexan vermellos é 0'5. Cal é o número mínimo de calcetíns do caixón? Cal é o número mínimo de calcetíns se o número de calcetíns negros é par?

Este problema non era orixinal da oposición, senón que xa aparecera en 1965 como primeiro problema do libro "Fifty challenging problems in probability". O interesante é que pode ser resolto sen  analizar polo miúdo a estrutura das solucións da ecuación que xorde de xeito natural.


Relacionado co anterior vén o seguinte problema, titulado "Do sexo aos calcetíns":

Un home ten nunha bolsa calcetíns de tres cores distintas. Observa que se colle dous calcetíns ao chou hai precisamente unha probabilidade do 50% de que formen unha parella da mesma cor. Que podemos dicir do número de calcetíns de cada cor que ten na bolsa?

Este problema con calcetíns é algo máis complicado có dos sexos. Tanto que vou dar unha indicación: as cantidades de calcetíns de cada cor están relacionadas, vía a Fórmula de Herón, con certo tipo de triángulos.

De aquí en diante no libro as cousas vanse poñendo serias. Ata chegar ás formas cuadráticas aínda queda un longo camiño. Matematicamente falando, a viaxe comeza na probabilidade, pasa rapidamente á teoría de números, avanza pola xeometría do triángulo (euclidiana e baixo unha perspectiva vectorial) e remata na teoría matricial de formas cuadráticas. Case nada...