31.12.14

O 2014 neste blogue

Aproveito o día para recapitular un chisco sobre este blogue que axiña vai levar seis anos na rede.

Neste 2014 os temas que máis toquei foron, se botamos unha ollada ás etiquetas destas 50 entradas:


  • Problemas: houbo 23 entradas con algún tipo de problema, pois xa sabedes que o rango é ben amplo, desde exercicios escolares a problemas de olimpíadas.
  • Xeometría: en 17 entradas as figuras, estáticas ou dinámicas, foron o obxecto principal.
  • Aula: en 12 ocasións escribín algo relacionado directa ou indirectamente co traballo na aula, pasado, presente ou futuro.
  • Vídeos: 11 veces. A etiqueta non indica tema ningún, só creei esta etiqueta para facilitar a busca no blogue.
  • Educación&Ensino: En 12 entradas chantei polo menos unha das dúas etiquetas, como nunha delas están as dúas, en realidade son 11 entradas. Xa nin lembro cal era o meu propósito ao crear dúas etiquetas distintas...
  • Libros: 9 veces apareceron mencións a libros.

As demais etiquetas aparecen como moito en 4 entradas, como Números, Humor, Xogos ou Aritmética.

Respecto ao comportamento dos lectores, as entradas máis lidas (para sermos precisos, as que contan con máis accesos) foron:

As menos lidas, por contra, foron:

  1. Un problema de piratas
  2. Xoguemos en 2D
  3. Outro problema de triángulos equiláteros e cadrados
Non me resisto a compartir a 4ª entrada menos lida, que estou convencido que é do máis interesante que escribín este ano: O paradoxo de Simpson.

En canto aos números, o número mensual de páxinas vistas é tan variable que é máis axeitado indicar o rango: o mes con menos vistas foi marzo, con algo menos de 700, e o que máis vistas tivo foi outubro, con 1300. A entrada máis vista da historia do blogue segue a ser Se algunha vez estás de mal humor, de novembro de 2009, con case 450 vistas, e a segunda, É a correlación, estúpido, de febreiro de 2012, con 225. A explicación do "éxito" desas dúas entradas é sinxela: a primeira contén unhas listas de reprodución en Spotify (de cando aínda utilizaba ese programa en troques de Grooveshark) e a segunda foi publicitada por min mesmo en Naukas, o blogue colectivo de ciencia máis coñecido de España.


Confeso que o tema do que máis me presta escribir é o dos problemas(e tamén de xogos), pero vexo que adoita pasarse máis xente por acó cando escribo sobre a aula e o meu oficio en xeral (educación e ensino, avaliación, didáctica...). Quizais sexa casualidade, ou ben froito do mínimo bombardeo co que abafo os meus contactos en twitter (en Facebook é esporádico e só por motivos concretos), non o teño claro. O que si sei é que este blogue vai seguir supoñendo un pasatempo para min; se non fose así simplemente non escribiría nel. A pretensión dos meus alumnos de 2º de ESO de que monetice o blogue e faga unha canle en youtube (non sei con que vídeos) non vai ser atendida este ano. Incluso chegan a pedirme que o faga prometendo que eles serían seguidores...
Vémonos nun anaco cunha entrada sobre números.

26.12.14

Divertimento xeométrico(4)


A ver se as lambetadas non oxidaron as vosas neuronas e aínda tedes boa vista:





Explico brevemente a figura: sobre un cadrado fixo construímos 4 triángulos rectángulos congruentes, os dous laterais por fóra e o superior e o inferior por dentro.

Observas algo curioso na figura? E a que se debe?

21.12.14

Isto vai revolucionar a educación...


Ollade este vídeo e despois falamos:







Agora que xa o vistes, non querería ficar no cómico da secuencia Cine-Radio-TV-PCs(Oregon Trail-LOGO)-Laser Discs-PDIs-Móbiles-Tablets-MOOCs..., que é realmente hilarante, senón en dúas cousas que se din no vídeo:

  • Arredor de 3:50, o amigo Derek Muller explica a segunda causa pola que unha animación pode funcionar peor que imaxes estáticas para aprehender un concepto: para que un alumno entenda/memorice/... o contido, a presentación deste ten provocar esforzo intelectual por parte del. Se sumamos que, en Matemáticas, ás veces non chega con ver algo para entendelo, non podería estar máis de acordo. Nunca tivestes a sensación de que explicastes/traballastes un contido mellor que no pasado e aínda así non conseguistes absolutamente ningunha mellora? (nota biográfica: creo que traballei mellor que nunca os logaritmos este trimestre en 1º de Bacharelato de Matemáticas Aplicadas I, e foi probablemente o ano que menos comprensión acadei)

  • E pasado 6:00 Derek comenta a tarefa fundamental dun profesor: "guiar aos alumnos no proceso social da aprendizaxe(...) inspirar, retar, excitar aos alumnos para que queiran aprender". Aínda que son remiso á terminoloxía que me lembre ao coaching, New Age e demais baleiros semánticos, teño que recoñecer que este anaco do vídeo me convenceu.

Estes dous parágrafos están relacionados de xeito obvio: para que se dea a aprendizaxe, o alumno ten que estar implicado intelectualmente (non só) no proceso. Se esta implicación non vén de serie, haberá que sachar para acadala. Todos coñecemos casos de profesores e mestres que parecen facer maxia nas súas clases cos seus alumnos, pero... e que sucede cos profesores normais? En que consiste a profesionalidade no noso oficio, que poida suplantar ao carisma deses profesores-magos?


Non podía deixar sen comentar a intervención de Derek en TED-Ed, onde, simplificando moito, fai unha loa á falta de claridade nos vídeos educativos. Paga a pena velo. 

15.12.14

Por pura lóxica...

Hai un problema de lóxica que adoita aparecer de vez en cando en concursos matemáticos e que teño visto ata en libros de texto, nesas páxinas do bloque de contidos comúns 0, que ninguén le nin traballa. Seguro que vos resulta coñecido:

Consideremos a seguinte afirmación: "Se una carta ten unha vogal nun lado, entón ten un número par no outro"
A continuación son presentadas catro cartas que amosan os símbolos E, 4, K e 7.
Que cartas hai que voltear para comprobar a veracidade da afirmación inicial?

Este problema, coñecido como o das 4 cartas, xurdiu hai case medio século no traballo do psicólogo Peter Wason, e deu lugar a moitos artigos dentro do campo da Psicoloxía Cognitiva. Podedes ir a esta versión on line para comprobar que collestes a idea.

Pero este problema, sendo interesante para destapar fallos no razoamento lóxico, non é o obxecto desta entrada, pois xa o coñecía vai para dez anos. Ata o usei nalgunha ficha da miña serie "Problemas difíciles para xente intelixente" (que por certo algún día terei que subir).

Non, o problema lóxico que captou a miña atención desta volta non foi o das catro cartas. Aínda que tamén foi ideado polo pioneiro da Psicoloxía do Razoamento P. Wason, eu non o descubrín ata a semana pasada lendo o libro Thinking and Reasoning: Psychological Perspectives on Reason, Judgment and Decision Making de Ken Manktelow. É coñecido como o problema do THOG, e é ben fermoso, observade.

Diante de ti tes estes catro deseños

   
Eu escollo unha das cores (negro ou branco) e unha das formas (cadrado ou círculo) e escríboas nun papel que ti non ves. Le as seguintes instrucións con coidado:
Se, e soamente se un deseño inclúe ou a cor que escribín, ou a forma que escribín, pero non ámbalas dúas, entón ese deseño chámase THOG.
Ademais o cadrado negro é un THOG.
Agora cada deseño pode ser clasificado nunha das seguintes categorías:
  1. Forzosamente ten que ser un THOG
  2. Non hai información suficiente para decidir
  3. Forzosamente non pode ser un THOG
Finalmente: ademais do cadrado negro, cal dos outros tres deseños é un THOG?

Só unha advertencia: coidado coa precisión da disxunción exclusiva e da dobre implicación...

6.12.14

Un problema de piratas


Estaba a pensar uns exercicios de sistemas de ecuacións non lineares cando, de súpeto, me veu á memoria un problema que coñecín vai para dez anos e que non ten relación algunha co que estaba a barallar. O problema falaba do típico tesouro pirata agochado nunha illa, e que por suposto tiña un críptico mapa para atopalo. Púxenme a buscalo pola rede coas seguintes pistas: había unhas árbores e unhas estacas  no mapa, e o problema aparecera nunha olimpíada de Matemáticas de Suramérica, quizais a Com-Partida del Uruguay ou a de Chile. Non o dei atopado nesas fontes, mais quixo a casualidade que Arthur Lee, un matemático que sigo en Facebook, compartise publicamente un workshop en geogebra da Asociación para a Educación Matemática de Hong Kong, e alí estaba o problema da illa do tesouro. Investigando un pouco (é dicir, chantando algunhas das palabras traducidas ao inglés no campo de busca de google) cheguei á orixe do problema, que resultou ser One, Two, Three... Infinity do científico e divulgador George Gamow.
Atendede a este fermoso problema que xa forma parte do acervo matemático:

Un mozo atopou entre os papeis do seu bisavó un anaco de pergamiño que revelaba a localización dun tesouro agochado. As instrucións dicían:

"Navega ata o lugar a ___ graos de latitude norte e ___ graos de lonxitude oeste, onde atoparás unha illa deserta. Na costa norte da illa hai un grande prado onde repousan un solitario carballo e un solitario piñeiro. Verás tamén unha vella forca onde se adoitaba colgar aos traidores. Comeza a andar desde a forca ata o carballo contando os pasos. No carballo tes que xirar á dereita 90º  e andar o mesmo número de pasos. Cando remates, espeta unha estaca no chan. Agora volve á forca e anda ata o piñeiro contando tamén os pasos, no piñeiro xira á esquerda 90º e anda a mesma distancia; chanta outra estaca no punto final. Cava no punto medio entre as dúas estacas que chantaches, o tesouro estará xusto alí"

As instrucións eran ben claras e explícitas, así que o noso mozo fretou un barco e navegou aos mares do sur. Atopou a illa, o prado, o carballo e o piñeiro, pero para a súa desgraza, o patíbulo desaparecera por completo. Aínda así, anoxado, comezou a cavar ao chou polo prado. Mais os seus esforzos foron baldíos, e navegou de volta coas mans baleiras.


Illa do tesouro low-cost


Que tiña que facer o mozo para atopar o tesouro?




28.11.14

Outra actividade alxébrica sen ecuacións(case)

Remexendo entre os concursos de Matemáticas da academia Phillips Exeter atopei un tipo de problema que non vía desde hai moitos anos, probablemente desde que lin os libros de Martin Gardner da biblioteca de Ferrol, libros que por certo, non tiven outra vez en papel desde aquela.

O problema pertence a unha clase relativamente común dentro das Matemáticas recreativas, como é a da disección de figuras en cadrados. A divulgación destes problemas débese, como apuntei antes, a Martin Gardner, en concreto á súa recompilación de artigos The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (en castelán Nuevos Pasatiempos Matemáticos), aínda que o propio Gardner comenta que a súa orixe está, como é habitual, no traballo de Henry Dudeney.


O problema que atopei no concurso de 2010 presenta o seguinte rectángulo:


Mondrian?

Nesta figura todas as pezas son cadrados, agás a máis grande, aínda que o parece (e está preto de selo, sexa o que sexa "estar preto"). Ademais vemos a medida do lado do máis pequeno dos cadrados. Con esta información temos que achar a superficie do rectángulo grande.

Aínda non chegamos en 2º de ESO nin nas Matemáticas A de 4º ao bloque de Álxebra. Cando cheguemos coido que vou propoñer algún problema deste tipo.

23.11.14

1736


Por unha vez vou abandonar o galego neste blogue para utilizar outro idioma, aínda que sexa a súa orixe, para propór unha adiviña ben sinxela.

Adiviñades de onde está tirado este extracto?



Simili modo de omni alio casu pontium si quidem numerus pontium, qui in quamque regionem conducit fuerit impar, iudicari potest, an per singulos pontes transitus semel fieri queat. Si enim euenit, vt summa omnium vicium, quibus singulae litterae occurrere debent, aequalis sit numero omnium pontium vnitate aucto, tum talis trasitus fieri potest; sin autem vt in nostro exemplo accidit, summa omnium vicium maior fuerit numero pontium vnitate aucto, tum talis transitus nequaquam institui potest[...]

Si autem numerus pontium, qui in regionem A conducunt, fuerit par, tum circa transitum per singulos notandum est, vtrum initio viator cursum suum ex regione A instituerit an non. Si enim duo pontes in A conducant, et viator ex A cursum inceperit, tum littera A bis occurrere debet, semel enim adesse debet ad designandum exitum ex A per alterum pontem...


É tan sinxelo que pode ser resolto simplemente buscando certas palabras, do mesmo xeito que recomendan algúns métodos de resolución de problemas (na miña opinión totalmente trabucados).

20.11.14

Suposicións que hai que facer


Deambulando pola rede na busca de ideas para introducir nunha ficha de números decimais dei cunha proba máis das "Matemáticas de libro de texto"(anteriormente neste blogue, tamén nesta mención aos "números reais do instituto"), aínda que nesta ocasión na súa versión on line. Coido, polo que teño visto, que a versión on line se corresponde perfectamente coa versión tradicional: segue a haber as mesmas suposicións, as mesmas medias verdades, as mesmas trapalladas. Ollade vós mesmos: alguén dá resolto este exercicio?



A que distancia está Hampton de Decatur?


Porén, a que todos sabedes que está a suceder neste exercicio? Como cambiaríades a estrutura da pregunta para que teña sentido unívoco? É inevitable introducir máis texto? Ou chega con modificar o debuxo?

Deste tipo de suposicións tácitas están cheas as páxinas dos libros de texto, en papel e web. Se o profesor despistado ten a mala sorte de facer actividades deste estilo nunha aula só lle resta aceptar a queixa razoada do alumno atento. E non é este o único escenario no que pode suceder esta circunstancia:
Lembro un exercicio de sucesións nun libro de 3º de ESO no que había que atopar o número n, último dunha secuencia de números consecutivos, que lamentablemente fora borrado. Para tal fin o exercicio proporcionaba a suma de toda a sucesión. O obxectivo da actividade era que o alumno, mecanicamente, aplicase a fórmula da suma dos n termos dunha progresión aritmética para establecer unha ecuación, resolvela e dar felizmente co valor do n oculto (a outra raíz da ecuación era negativa, co cal outro obstáculo era desbotala por absurda).

O autor do problema non pensou que se tes n números consecutivos nunha ringleira e só o último está borrado, podes saber cal é mirando para o número anterior?


Para non facer publicidade explícita da web onde atopei a xoia da figura de enriba, direi só que se facedes a busca "decimal numbers review" por aí andará...

18.11.14

Algúns problemas de olimpíadas

   

Como un xa vai tendo uns anos e explicar os algoritmos das operacións con números decimais deixa pegada, para limpar a ferruxe do cerebro é boa idea remexer un pouco entre olimpíadas matemáticas co obxectivo de atopar algo que faga doer as meninxes. Estamos en época de segundas fases dos concursos nacionais (ou terceiras, p.ex. no caso de Brasil), polo que hai moreas de problemas agardando. Velaquí uns poucos que me tiveron entretido:

  • Ucraína: Achar todas as parellas de números primos que cumpren a ecuación

$$3p^q-2q^{p-1}=19$$

  • Alemaña: Os 100 vértices dun prisma cuxa base é un polígono de 50 lados son etiquetados cos números 1, 2, 3,..., 100. Probar que hai dous vértices conectados por unha aresta do prisma con etiquetas a unha distancia menor que 48. 

  • Brasil: ABCD é un cuadrilátero convexo no que as diagonais AC e BD se cortan no punto P. Os radios das circunferencias inscritas dos triángulos ABP, BCP, CDP e DAP son iguais. Probar que o cuadrilátero ABCD é un rombo.

  • Suráfrica: Amosar que non hai números naturais a e b que cumpran a igualdade
$$ab+(a,b)+[a,b]=2014$$

onde (a,b) e [a,b] denotan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de a e b respectivamente (é a notación estándar nas olimpíadas)


Se tedes ganas de experimentar esa frustración tan típica da resolución de problemas xa tedes un par de oportunidades. Certo que esa frustración pode dar lugar tamén á outra experiencia característica destas tarefas: a de chegar a resolver os problemas por un mesmo.

12.11.14

Un cadrado e un polígono de 24 lados


Lendo o recente libro de Miquel Capó Dolz  Puzles y matemáticas atopei este problema xeométrico de disección que me gustou e que coido que é axeitado para a miña aula de 2º de ESO (e coa que estou moi contento este ano, aproveito para dicir xa que eles non len este blogue).

Ao choio:


Divide este cadrado en 4 pezas iguais (en forma e tamaño) que poidas xuntar para formar a nova figura:

Neste caso as liñas da grella axudan


Déixoo aquí para engadir ao arquivo de problemas de recortar e pegar dos que acostuman gustar os rapaces do 1º ciclo.

9.11.14

Un pouco de arte

Cando amoso ilusións ópticas aos alumnos e premo na etiqueta embaixo do arquivo, a máis recente é de comezos de ano. Tendo en conta que na rede actual hai creacións novas decotío, vai sendo hora de que actualice este pequeno almacén.

As mostras de hoxe proveñen de artistas urbanos, denominación que semella excluír aos que viñesen da aldea, pero que se ollamos a fonte, street art, resulta coherente.

As obras que vou amosar comparten o obxectivo de enganar á nosa intuición, algunhas dentro da categoría de anamorfoses. Os amables artistas adoitan complementar a delusoria obra cunha explicación do seu oficio mediante tomas desde outras perspectivas. Nas obras que estea dispoñible vou ocultar a explicación para que antes poidades dilucidar vós mesmos os puntos de vista.

Do primeiro artista, Felice Varini, quería salientar un par de obras recentes:

Blu giallo rosso e nero tra il trapezio e l'ellisse


Preme para ver a explicación
    


A segunda obra custa vela ao comezo:

Disque libre noire Nº1

Explicación
      


E a 3ª obra, tan enorme que custa imaxinar o choio que custou deseñala e levala a cabo:

Trois ellipses ouverts en désordre
Para ver a explicación desta xoia ide á súa web, unha soa imaxe non faría xustiza a tan grande choio.


A segunda artista, Fanette Guilloud, ten unha serie titulada Geometrie de l'Impossible, chea de imaxes ben fermosas, das que un matemático non pode omitir este triángulo de Penrose:

"Geometrie de l'Impossible"
2013, France, Anamorphoses; spraycans

Pero tamén é abraiante este prisma (?) para o cal hai explicación:

Blue Berlin, feb. 2014 
          


O 3º artista, Alessandro Diddi, ten varias series con debuxos que escapan do papel, que vos lembrarán con seguridade a Escher:


Jumping Dolphin

Double Illusion


Xa han chegar estas obras por unha tempada; aínda que deixo unhas cantas na recámara, creo que podería ralentizar moito a carga da páxina. Ata a vindeira mostra!


31.10.14

Samaín


Aproveitando a festividade, propoño para quen guste dos números (en realidade, da notación decimal) un pequeno aritgrama:


$$SAMA=IN^2$$


Veña que non é moi longo.

26.10.14

Problemas de Álxebra sen ecuacións


Esta semana, mentres argallaba uns exercicios de Álxebra de 1º de Bacharelato, parei a pensar no obxectivo tácito que ten a Álxebra da ESO: todos os contidos e procedementos deste bloque de contidos están encamiñados á resolución de ecuacións. Non podemos incluír o bacharelato porque alí por fin atopamos que as ecuacións son unha ferramenta para estudar, p.ex., figuras xeométricas (aínda que non queda moi claro se é o obxectivo ou é unha aplicación casual)

Quizais isto proceda de que é complicado atopar cuestións alxébricas que non sexan nin evidentes nin sofisticadas; ou quizais sexa culpa, como en tantas outras ocasións, dos libros de texto. Nestes é raro atopar actividades alxébricas interesantes. Como moito poderemos achar algún tipo de actividade xeométrica na que hai que identificar as áreas ou perímetros de figuras en función dun parámetro (x habitualmente, claro). Á memoria vén unha actividade na que se requería do alumno calcular as áreas das pezas do Tangram se a dos dous triángulos pequenos é x. Algo así:

   


Por que creo que esta actividade non é axeitada na unidade de Álxebra? Basicamente porque o feito de introducir letras non achega nada novo ao problema: se definimos como unidade de medida a área dos triángulos pequenos, chamándolle "1" por exemplo, temos a mesma solución (e veremos os coeficientes dos monomios da figura). E tamén porque a solución do exercicio non require razoamento alxébrico senón xeométrico, esencialmente cortar figuras e colocalas xuntas para formar outras figuras coa mesma área.

Teño que recoñecer que eu, como profesor da ESO, tampouco fixen moito ata o momento por non caer nesta visión unidimensional da Álxebra. Durante anos os exemplos que acheguei nas aulas reducíronse aos típicos relacionados cos números (se sumas dous impares obtés un impar), os de magos adiviñando números (que adoitan rematar cunha ecuación, aínda que non é necesario) e algúns xeométricos similares ao do Tangram mencionado. 

Mais algún exemplo interesante si que coñezo. O primeiro é un "paradoxo" que non o é, ben coñecido polos amantes das Matemáticas Recreativas. Paso a explicalo:

Imaxina que tes dúas bolsas, a 1ª con 100 bólas negras e a 2ª con 100 bólas brancas. Extraes 10 bólas da 1ª bolsa e mételas na 2ª. Remexes nesta 2ª bolsa e colles 10 bólas e lévalas para a 1ª bolsa, de tal xeito que tes 100 bólas en cada bolsa, só que agora estarán mesturadas (seguramente, pois a probabilidade de que non o estean é 2 en 100 billóns, aínda que tanto ten que non o estean para este problema)
A cuestión é: que hai máis, bólas brancas na 1ª bolsa ou bólas negras na 2ª bolsa?

Sei que este problema é susceptible de ser resolto con razoamentos aritméticos, mais tamén teño comprobado que non todos os alumnos ven con claridade esa solución.

A segunda actividade alxébrica que quero compartir atopeina nun concurso de Matemáticas, o Michigan Autumn do 2000. Tamén é factible resolvela aritmeticamente, mais é interesante fedellar co ferramenta alxébrica:

Un grupo de 200 persoas, 105 mulleres e 95 homes, é dividido ao chou en dúas ringleiras de 100 persoas. Cada persoa dunha ringleira está xusto diante dunha persoa da outra ringleira, de xeito que cada parella se dá a man. Demostrar que o número de apretóns de mans "muller-muller" sempre é 5 máis có de apretóns "home-home", independentemente da colocación da xente nas ringleiras.

Agradecería moito que os amables lectores compartisen outros problemas alxébricos sen ecuacións, para ir xuntando unha colección deles para usar nas aulas.

Grazas por ler/compartir.




20.10.14

Que ten de bo Google+?

Chegas case á hora da cea á casa despois das sempre trepidantes avaliacións iniciais, entras en Google + e a nova máis recente é de Terry Tao. Pensas brevemente que seguir a matemáticos de relevancia mundial (medallas Fields nada menos) crea unha falsa sensación de contacto que define perfectamente o século que vivimos. Achas que Tao está a comentar un problema que lle propuxeron ao seu fillo nun Math Circle, soáche lixeiramente familiar, quizais dos libros de Yakov Perelman ou similares, polo que decides compartilo no teu blogue:


3 granxeiros foron vender polos á feira. Un tiña 10 polos para vender, outro 16 e o último 26. Para non se faceren competencia, acordaron vender os polos ao mesmo prezo. Mais á hora de comer observaron que as vendas non ían moi ben, de tal xeito que decidiron baixar o prezo común. Ao final do día os tres granxeiros venderan todos os seus polos. Resultou que todos obtiveran a mesma cantidade de diñeiro, 35$, das vendas do día. Cales foron os prezos dos polos antes e despois da comida?

Boa sorte con este óso.

15.10.14

Que é interesante nesta figura?


Por unha vez, sabedes a solución e hai que atopar a pregunta


Se non lle vedes nada interesante, sempre tedes a opción de ir ao post orixinal no que lancei o problema que vén responder esta figura. Ao final, en vermello.

10.10.14

Animator vs. Animation IV


Contestando á petición dalgún alumno que solicitaba que deixase de escribir estas cousas de Matemáticas e ensino que chanto por acó e puxese máis xogos (as palabras foron: "Pensa en nós, profe"), hei buscar algún xogo dos que levo poñendo todos estes anos. Aínda que é certo que vai un tempo que ningún xogo do xénero puzzle me engancha como antano.

Mais hoxe, despois de vela en Kuriositas, é  hora de traer outra vez a fabulosa obra de animación de Alan Becker, que xa compartín hai anos.

Moita calidade, bo humor, bullet time e un feixe de bonecos nesta avalancha de cultura pop que vén sendo a serie Animator vs. Animation:





6.10.14

Cal foi máis difícil?

Mal os números, mal os sectores, mal as cores...


Poñédevos en situación: Estatística Descriptiva de 2º de ESO, exercicios de medidas de centralización. Os cativos levan unhas sesións aprendendo e practicando os conceptos e os procedementos. Chanto estes dous exercicios no EDI:


  1. Dos datos 4, 4, 5, 4, 6, 7, 6, x, 5, 2, 3, 4, 5, 5, 8 sabemos que a media é 4'8. Atopa o valor de x, a moda e a mediana.
  2. Dos datos 1, 2, 3, 2, 1, 3, 1, x, y, 1, 2, 3, 5, 1, 2 sabemos que a mediana é 2 e a moda é 1. Atopa a media.

Cal dos dous exercicios pensades que resultou máis complicado e por que?


Outra pregunta: Vaticinar a dificultade dun exercicio, situación habitual no traballo nas aulas, é algo que aprendemos coa experiencia ou existe certa intuición natural? (ben sei que as dúas opcións non son excluíntes)

Sexa a que for a resposta, na miña opinión este modelo de traballo é necesario na formación dos profesores. Estamos moi lonxe desta preparación dos docentes noveis? Alén do Máster do Profesorado de Secundaria, que fan nos centros como titores os profesores veteranos de Matemáticas?

Se contestades ás preguntas, eu cóntovos o que sucedeu na aula con eses exercicios tan inocentes.

1.10.14

The Imitation Game

Xa hai trailer oficial para a esperada (polo menos por min) The Imitation Game, a película baseada na vida do grande matemático Alan Türing, que ten prevista a súa estrea en novembro:







No vídeo podemos ver parte do elenco da película. O protagonista é Benedict Cumberbatch, que leva arredor de catro anos destacando en todo o que fai: Sherlock na BBC, Smaug no Hobbit, secundario en 12 Years a Slave,..., ata existe un adxectivo referido aos seus fans (cousa rara alén dos fenómenos "musicais" de adolescentes). Keira Knightley interpreta á matemática Joan Clarke, outra das criptoanalistas que traballaron en Bletchley Park (alguén non a coñece? Pride and Prejudice, Love Actually, Bend it like Beckham e tamén os piratas eses de Disney). Pero hai unha morea de grandes actores: Mathew Goode (Ozymandias en Watchmen), Rory Kinnear (alguén lembra o infausto primeiro ministro inglés de Black Mirror?), Charles Dance (Tywin Lannister), Mark Strong (lémbroo especialmente polo seu papel en Tinker, Tailor, Soldier, Spy)...

A data de estrea oficial, 14 de novembro, corresponde ao primeiro pase fóra de festivais no Reino Unido. Para España non hai data confirmada, aínda que en países da veciñanza está entre decembro e xaneiro. Eu, por se non quedou claro, estou desexando que chegue.

25.9.14

Contar sen contar

Ao comezo do curriculum da opción A de Matemáticas de 4º de ESO hai un bloque 1 denominado "Contidos Comúns". En realidade este bloque aparece en todos os cursos, e preténdese que os seus contidos sexan transversais ao desenvolvemento de todo o curso. A idea soa ben, xa que son contidos comúns semella lóxico incluílos en todas as unidades. Na práctica, en troques, isto préstase ao abandono: como non é sinxelo avaliar ítems abstractos como "Planificación e utilización de procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, tales como a emisión e xustificación de hipóteses ou a xeneralización", vai quedando de lado. É inevitable.

Como a LOMCE non se implantou en 4º de ESO, aínda podo traballar mellor que cando teña unha reválida na caluga. Polo que este ano decidín comezar seriamente por eses contidos comúns. E que mellor campo que a Combinatoria, que dentro das Matemáticas elementais ten probablemente a mellor ratio dificultade/sofisticación. 

De tal xeito que levo un comezo de curso moi entretido, buscando problemas moi diversos, variando condicións, preguntando "que pasaría se...?",... O feito de que os problemas non requiran case expresións alxébricas anima aos alumnos a participar; se unimos isto a que eu tento non saber as solucións cando os propoño, que tamén me teño trabucado e que tardei máis que algún alumno en notar algunha circunstancia, produce unhas aulas certamente atípicas.

Como mostra dalgúns problemas que traballamos nestas aulas, observade estes tres, dous tirados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas e un propio:


  • Cantos números entre 1 e 1000 son múltiplos de 3 e 5? Cantos son múltiplos de 3 pero non de 5? E de 5 pero non de 3? E de ningún dos dous?
Resolvemos este problema con varias ideas distintas: ser múltiplo de 3 e de 5 é o mesmo que ser múltiplo de 15, se vas cantando os múltiplos de 3, vas dicir un múltiplo de 5 cada... 5 números,... E finalmente tamén me serviu para introducir os diagramas de Venn para representar a situación. Outro día a ver se lembro pregunta que pasaría se substituímos 3 e 5 por 4 e 6, ou calquera parella non coprima. 

  • Mergullamos o cubo da figura en pintura. Esperamos a que seque e rompemos o cubo nos pequenos cubos unitarios representados pola grella. Cantos cubiños terán unha soa cara pintada? Cantos terán dúas caras pintadas? E tres? E ningunha?
Alguén ve unha figura plana aquí enriba?

Neste problema contamos "por forza bruta" os cubos, mais sucedeu algo curioso: para contar os cubos con dúas caras pintadas observamos que en cada aresta había dous (os que non están nos extremos), así que contando as arestas (12) e multiplicando por dous obteríamos o número; un alumno comentou que el vira que en cada cara do cubo había 8 cubos con dúas caras pintadas, e cando fixo a conta 8·6 decatouse de que tiña que dividir entre 2 para eliminar a redundancia de que cada cubo deses estaba en dúas caras. Unha idea que é moi útil cando se traballa coa Fórmula de Euler e os poliedros regulares.

  • De cantos xeitos podemos pintar os círculos da figura de verde, amarelo e laranxa se os círculos conectados por un segmento non poden ter a mesma cor?
Cantas arestas interiores hai? E exteriores?


Neste caso vimos a semellanza que había entre esta estrutura triangular e o problema que utilicei os primeiros días para introducir o diagrama en árbore, o da chegada dos Reis Melchor, Gaspar e Baltasar. Que por suposto evitei chamar permutacións.

A verdade vai ser duro deixar esta unidade e comezar coa Aritmética e a Álxebra...



21.9.14

O paradoxo de Simpson


Este ano, despois de varios anos afastado, volvo dar clase en 2º de ESO (o curso no que máis teño traballado é 1º de ESO, non vaiades pensar...). Entre que eu son dos profesores máis lentos que coñezo e que a Estatística está colocado sempre ao final do curriculum (tanto no BOE como no DOG como consecuentemente nas programacións dos centros) éme case imposible chegar a tratar ese bloque. Por sorte na programación do meu centro modificamos a orde dos bloques e comezamos o curso pola Estatística. De tal xeito que estes días estou enleado buscando na rede, lendo libros e, en xeral, pensando, en gráficas estatísticas mal feitas (tanto por anumerismo como por manipulación consciente), tratamento de datos, cálculo de parámetros e tamén na atribución de significado a eses parámetros (o que é moito máis difícil), etc. E cada vez que ando fedellando nestes temas acabo pasando nalgún momento polo paradoxo de Simpson, do que xa falei aquí e aquí, no primeiro caso para compartir unha explicación visual e no segundo para propoñelo como exercicio de investigación.

Hoxe vou amosar finalmente o paradoxo, utilizando en primeiro lugar uns datos sobre mortalidade que atopei no libro de Julian Havil Impossible?Surprising solutions to counterintuitive conundrums e despois uns datos inventados.

  • No seu libro de 1934 An Introduction to Logic and Scientific Method, Morris Cohen e Ernst Nagel utilizaron os datos sobre a mortalidade por tuberculose en 1910 en dúas cidades, New York e Richmond, distinguindo pola etnia dos cidadáns, caucásicos ou afroamericanos. Observemos a táboa cos números:


Perdoade o png, a táboa orixinal aquí

Na táboa vemos que as taxas de mortalidade tanto en caucásicos como en afroamericanos son maiores en New York que en Richmond, porén a mortalidade conxunta é maior en Richmond que en New York. Velaí o paradoxo: resulta contraintuitivo que o que sucede nos dous grupos poboacionais por separado non se reproduza na poboación global. Isto fai que por outro nome este paradoxo tamén se coñeza como "de agregación" (é moito máis usual e coñecida a falacia de desagregación, fenómeno en certo sentido inverso).

Un fenómeno que se dá nas aulas pero que a teoría non prevé é o de que a asimilación dos conceptos e a aplicación dos procedementos depende en grande medida do aspecto externo das variables implicadas.
Por exemplo: un alumno pode ter certa destreza resolvendo ecuacións de 1º grao sinxelas, do tipo

$$\small{3x=6}$$

mais é posible que teña dificultades coa ecuación

$$\small{6x=3}$$

por non falarmos de

$$\small{0'05x=0'02}$$

ou

$$\small{\sqrt{2}x=\frac{-3}{5 \cdot 10^{-2}}}$$

Para sermos rigorosos, si hai investigación sobre estes fenómenos, o que adoita suceder é que esta investigación non chega aos que deberíamos coñecela. Imaxinade un licenciado en Matemáticas que acaba de aterrar (a polisemia desta verba é moi acaída para esta situación) na ESO e ten que explicar as ecuacións. Ou está provisto dunha intuición formidable ou é posible que non advirta as primeiras aparicións deste fenómeno, relacionado coa comprensión do concepto de número alén do significado concreto de enumeración e orde.

A que vén todo isto, se eu estaba a falar do paradoxo de Simpson? Pois a que os datos reais, como os da táboa superior, supoñen un obstáculo para asimilar o paradoxo. Entenderemos moito mellor o asunto se pulimos os números e quedamos co esencial. Para isto vexamos os datos ficticios que utilicei nun test de enxeño para 1º de Bacharelato no 2006, onde pedía algo semellante ao da entrada mencionada arriba:

  • Dous hospitais (poñamos que de Ferrol e Narón) tratan a 100 enfermos cada un durante un ano. Cada paciente sofre unha de dúas enfermidades, malaria e dengue. O hospital de Narón cura unha maior porcentaxe de enfermos de malaria que o de Ferrol, e tamén unha maior porcentaxe de enfermos de dengue que o de Ferrol; aínda así, o hospital de Ferrol cura unha maior porcentaxe de doentes das dúas enfermidades globalmente que o de Narón. Como é isto posible?


Sinto que a porcentaxe na última ringleira sobraba...

Os datos que inventei son moi extremos, co obxectivo de esaxerar e facer notorio o paradoxo. Se o pensamos do xeito inverso: a división en subgrupos pode disfrazar fenómenos visibles só a nivel global. Pode resultar interesante investigar ata onde podemos levar os datos, i.e., como de grande pode ser a diferenza entre as ratios de cura de Narón e as de Ferrol nas dúas doenzas e aínda así resultar máis eficaz globalmente o de Ferrol?

Unha última cuestión, agora que xa tratamos o paradoxo: coñecemos polos datos que o hospital de Ferrol cura a máis xente que o de Narón. Se ti tiveses a mala sorte de coller dengue, a cal dos dous hospitais che gustaría que te levasen? Doutro xeito: e se estiveses enfermo dunha das dúas enfermidades pero non soubesen de cal, a que hospital irías?


14.9.14

Starters

Con pouca anticipación veume a idea de compartir uns cantos starters para as aulas que comezan esta semana. Cada quen sabe como son as súas clases, de tal xeito que hai certos problemas que non serán adecuados para todo o mundo: ou ben porque levan demasiado tempo, ou ben porque requiren demasiada concentración en traballo individual (ou o contrario), ou ben porque non forman parte do curriculum, ou ben porque parecen o traballo dun showman máis que dun profesor...


Sexa o que for, velaquí unha pequena escolla de actividades:


  • Un vídeo xeométrico que ten certo sabor espectacular, The Magic Octagon. Vin este vídeo no blogue de Dan Meyer hai un ano, sen intención curricular púxenllo aos meus alumnos do ano pasado de 1º de ESO e foi un éxito:

The Magic Octagon from Dan Meyer on Vimeo.

Por se alguén prefire a tradución: Dan Meyer pide que adiviñedes a posición da frecha do reverso do octógono máxico. Se tedes alumnos recalcitrantes no erro, a actividade pode continuar elaborando os cativos a figura.
  • A segunda actividade, máis formal, si ten unha intención claramente curricular. Non creo que poidamos dicir que ten un autor, porén a última vez que a vin así definida foi no libro 26 Years of Problem Posing de John Mason.

Se $\small{a, b, x>0}$, cal das dúas seguintes fracccións é maior? $\small{\frac{a}{b}}$ ou $\small{\frac{a+x}{b+x}}$ ?

Loxicamente a formulación do problema é susceptible de pulido, por exemplo podemos comezar cun exemplo ben coñecido como o de $\small{\frac{2}{3}<\frac{3}{4}}$ onde $\small{a=2, b=3, x=1}$

Esta sinxela pregunta pode axudar a desvelar algún prexuízo dos alumnos con respecto á suma de fraccións (quizais son demasiado optimista)


  • E a terceira actividade utiliceina nun dos boletíns "Problemas difíciles para xente intelixente" cos que mortifico cada certo tempo aos meus alumnos. Por desgraza non lembro a fonte, aínda que podemos dicir que é case unha actividade-tipo:
16 puntos, hmm, que poderá ser...

Nesta típica figura temos que escoller 8 dos 16 puntos de tal xeito que non haxa 3 en liña. É de esperar que haxa solucións distintas, na posta en común podemos tentar esgotalas todas.


  • A última actividade é máis unha brincadeira que outra cousa, polo menos ao nivel do instituto, mais segue a ser ben interesante. Non é común ver a un matemático de primeira orde nun vídeo así, Gil Kalai publicouno no seu blogue hai catro anos e medio:



Dades feito mofa do que tedes diante de vós? Cal é a razón de que non sempre poidamos deslear as mans?


Agora que o penso, se tedes algún starter por aí agochado podíades compartilo nos comentarios.

10.9.14

Comezando, outra vez


Un saúdo ás hordas de lectores que esperaban con avidez o post de comezo de curso, no que a infame LOMCE entra en vigor. Este ano veremos cambios estructurais nos cursos impares da Educación Primaria e na Formación Profesional Básica, que vén substituír aos previos Programas de Cualificación Profesional Inicial (PCPI). Alén dos formalismos, tamén observaremos como as administracións educativas seguirán insistindo nos recortes que padecemos no ensino público.

Non sei como van aturar a presión os compañeiros de Primaria, por poñer un exemplo, pensade que na LOE hai ciclos e coordinacións de ciclo, e agora cada ciclo (1º/2º,3º/4º, 5º/6º) vai ter un curso baixo cada lei, resultando absurdo xestionar esta situación.

Tampouco o van ter fácil os mestres de Infantil, etapa que aínda que esquecida na nova lei, non queda fóra dos recortes (aulas con case 30 cativos de 3 anos, ben preto do meu centro).


Para comezar de xeito solemne este ano pensara en compartir un vídeo matemático, mais a rede non está inzada de vídeos interesantes desta temática. Moito vídeo educativo útil si hai, pero os que buscaba eu, do estilo de Nature by Numbers ou Beauty of Mathematics, loxicamente non abundan. Mais este verán, buscando algo relacionado cheguei á seguinte curtametraxe, cuxo título non podería ser máis explícito: Numbers. Porén...

Como non volo quero chafar, velaquí está, se estades de humor para algo un pouco escuro...



Benvidos de novo.

4.8.14

Xogos para tolear

Xa sei que hoxe tocaría resolver o problema 5 e propoñer un novo, mais creo que a serie que levo xa é abondo para este verán, e ese último problema vai quedar sen solución. Vou pechar durante unhas semanas o blogue, non sen antes traer uns xogos cun regusto claramente matemático:


  • O primeiro, Alcazar, avisa claramente na 1ª pantalla: Entra por unha porta, sae por outra. Cruza cada cadrado unha soa vez. Cada puzzle ten unha única solución. Axiña levaremos unha sorpresa, pois é habitual que haxa máis de dúas portas:
Por cal entras e por cal saes?

  • O segundo, Game about Squares, é exactamente o que di o título, aínda que iso non sirva de moito. Para entender que hai que facer, observade o pantallazo dunha fase inicial:
Só non, con amigos si

  • Por último, Aaaah! I'm Being Attacked by a Giant Tentacle! podería ser o título dunha película de Roger Corman, mais é un intelixente xogo do que só podo desvelar que o obxectivo de cada fase é queimar o tentáculo xigante que te atrapou. A mecánica é moi interesante, e ten que ser descuberta polo xogador con cada novo reto:
Non contedes con matar o tentáculo mediante extensión

Pois o dito, vémonos seguramente en setembro.


29.7.14

Verán 2014- Problema 5

Que tal foi o problema 4? Xa o coñecíades? Lembremos de que ía:

Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.
Cal é a distancia que percorreu o sarxento?



A dificultade deste problema radica na cantidade de variables que interveñen: a velocidade do sarxento, a velocidade do exército e o tempo que lle leva facer ao sarxento o seu percorrido. Se tivesemos tamén varias condicións no problema, poderíamos acabar atopando os valores desas incógnitas; mais a simple vista semella que non temos condicións abondo para tanto dato descoñecido.

Se un, sen moita previsión, tenta resolvelo ao estilo dos exercicios académicos de móbiles (que na EXB eran machacados en 7º), sucede que primeiro hai que poñer moitos nomes:

$\small{v_s=}$ velocidade do sarxento
$\small{v_e=}$ velocidade do exército
$\small{t_1=}$ tempo que lle leva ao sarxento chegar á cabeceira
$\small{t_2=}$ tempo que lle leva ao sarxento volver á retagarda

A cerna do problema está en observar que a velocidade do sarxento relativa ao exército é $\small{v_s-v_e}$ cando avanza e $\small{v_s+v_e}$ cando retrocede. Con esta idea clara xunto ao feito de que o tempo total do sarxento é o tempo no que o exército avanza un quilómetro é suficiente para resolvelo:

$$t_1=\frac{1}{v_s-v_e} $$
$$ t_2=\frac{1}{v_s+v_e} $$
$$ t_1+t_2=\frac{1}{v_e}$$

Substituíndo:
$$\frac{1}{v_s-v_e}+\frac{1}{v_s+v_e}=\frac{1}{v_e} \rightarrow  \frac{2v_s}{v_s^2-v_e^2}=\frac{1}{v_e} \rightarrow 2v_sv_e=v_s^2-v_e^2 $$
$$(v_s-v_e)^2=2v_e^2 \rightarrow v_s-v_e=\sqrt{2}v_e \rightarrow v_s=(1+\sqrt{2})v_e$$ (a outra solución é absurda)

En conclusión, a lonxitude percorrida polo sarxento é

$$(t_1+t_2) v_s=\frac{1}{v_e} \cdot (1+\sqrt{2})v_e=1+\sqrt{2}$$




E agora o problema 5:

Con 3 liñas da mesma lonxitude divide un círculo en 4 anacos coa mesma área.

Sinxelo, non si? Pois veña...

25.7.14

Verán 2014-Problema 4

Pero antes, a solución do problema 3:

   
, que pedía cara onde ía o punto X cando o radio da circunferencia azul tendía a 0, sendo a semicircunferencia verde fixa. Visualmente, unha vez feito o applet de geogebra, é ben claro(o que non quere dicir que entendamos nada soamente véndoo):


O applet serve para convencernos de que o punto X non tende a infinito, e tamén para amosarnos cara onde vai, demostrémolo rigorosamente:
Punto A: $(0,r)$
Ecuación da circunferencia azul: $x^2+y^2=r^2$
Ecuación da semicircunferencia: $(x-b)^2+y^2=b^2 \wedge y>0$

Intersección (punto B): $ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ (x-b)^2+y^2=b^2 \end{cases} \rightarrow (x-b)^2-x^2=b^2-r^2 \rightarrow -b(2x-b)=b^2-r^2 \rightarrow \cdots \\ x=\frac{r^2}{2b} \wedge y=\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2} \rightarrow B=(\frac{r^2}{2b},\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2})$

Recta por A e B:

$\frac{x-0}{\frac{r^2}{2b}-0}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \rightarrow \frac{x}{\frac{r^2}{2b}}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \\ \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$

Intersección co eixe de abscisas (punto X):

$ \begin{cases}  \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b} \\ y=0 \end{cases}\rightarrow x=\frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$
Vexamos que sucede con esta coordenada x do punto X cando r tende a cero (a outra non ten moito conto):

$\displaystyle{limit_{r \to 0} \frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}=limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)}{4b^2-r^2-(2b)^2}}= \\ limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)} {-r^2}=limit_{r \to 0} \sqrt{4b^2-r^2}+2b=4b$

Onde utilicei o mecanismo habitual do conxugado da expresión radical.


Finalmente, o 4º problema do verán:
Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.

Cal é a distancia que percorreu o sarxento?
Boa fin de semana e feliz día da patria.

22.7.14

Verán 2014-Problema 3

Outro problema máis, xusto despois da solución do anterior, que lembremos que tiña dúas partes:


  1. Atopa o termo xeral da sucesión $$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots $$
Este era o problema que aparecía no libro no que o atopei. A simple vista, nos lugares impares sempre hai un $\small{-4}$ e nos pares sempre un $\small{+7}$. Como chantar iso nunha expresión? Se un é lacazán abondo, pode pensar en: $$a_n=\begin{cases} -4 , \ \ \ n=2k+1 \\ +7 , \ \ \ n=2k\end{cases}$$
...que é perfectamente rigoroso, mais estou certo que todos pensamos nunha expresión "única" como resposta deste problema, non si? Pois ben, para iso podemos facer dúas cousas: ou ben encomendarnos ao noso dominio da técnica alxébrica, ou ben encomendarnos á nosa "vista". Fagamos o segundo: Se calculamos a media aritmética dos números $\small{-4}$ e $\small{+7}$, $\small{\frac{-4+7}{2}=1'5}$ e restamos esa media de todos os termos da sucesión, obteremos unha nova sucesión máis tratable:

$$-5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \cdots $$

Cal é o termo xeral desta nova sucesión? Case inmediatamente vén á mente a solución:

$$5'5 \cdot(-1)^n$$

Co cal o termo xeral da sucesión orixinal será

$$1'5+5'5 \cdot(-1)^n$$
  1. Cal é o termo xeral da sucesión que xorde de sumar os primeiros termos da anterior?
É dicir, había que achar o termo xeral da sucesión

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

Se lembrades que este problema fóra o que entendera eu cando o vin no libro, non tiña calculado o termo xeral da sucesión do apartado 1, de tal xeito que calculei directamente esta sucesión, certamente máis enleada. Ollando un pouco para os termos desta nova sucesión, achamos que os termos pares son os múltiplos positivos de 3 ($\small{3n}$) e que os impares quedan a unha unidade de seren os múltiplos de 3, comezando en $\small{-4}$ ($\small{3n-7}$) Polo que, se non aceptamos unha solución como a primeira do apartado 1, teremos que argallar unha fórmula que só dependa de n e que nos dea, dunha peza, estes diferentes termos. Vexamos:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3 \cdot (k-1)-4\\ b_{2k}=3 k\end{cases}$$

Arranxando un pouco:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7\\ b_{2k}=3 k \end{cases}$$

Neste paso observamos dous atrancos: por unha banda, seguimos tendo dúas expresións, non unha, e por outra, as expresións non dependen directamente do lugar na sucesión, n, senón do valor k. Se escribimos esas expresións en función de n, chegamos a:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7=3 \cdot \frac{n+1}{2}-7=\frac{3n}{2}-\frac{11}{2}\\ b_{2k}=3k=\frac{3n}{2} \end{cases}$$


O complicado é compactar esas dúas expresións nunha soa. Eu pensei en buscar unha fórmula que restase $\small{\frac{11}{2}}$ só no caso en que n sexa impar. Utilizando o mesmo truco relacionado con $\small{(-1)^n}$, obtemos (non era sen tempo):
$$b_n=\frac{3n}{2}+[(-1)^n-1]\cdot \frac{11}{4}$$ (Se un fai primeiro o apartado 1, é máis curto o camiño)
E agora o problema 3 para o verán, outra vez totalmente distinto.
Na fonte na que o descubrín titúlase "Comproba a túa intuición", e creo que o ese título é inmellorable. Veredes a razón:
Debuxade un semicírculo no primeiro cuadrante que pase pola orixe de coordenadas. Agora trazade unha circunferencia centrada na orixe e de radio variable. Chamemos A ao polo norte desa circunferencia e B ao punto de intersección das dúas figuras. Se trazamos a recta que une A con B e prolongamos, chegará a cortar ao eixe de abscisas nun punto X. Resumindo:
A que é obvio que se cortan? Pois se non houbese números irracionais...

Xa chega a cuestión:

Que sucede co punto X cando o radio da circunferencia azul tende a 0?

Tentade adiviñar a resposta antes de calculala analiticamente, a ver que tal andades de intuición.

19.7.14

Verán 2014-Problema 2


Pero antes, a solución do problema 1, que lembremos preguntaba como cortar un queique rectangular ao que xa lle papamos un anaco rectangular en dous novos anacos iguais. Imaxino que se sobreentendía que pedía unha solución exacta afastada do proba-erro, noutro caso a solución é obvia: poderíamos cortar ao chou e ir pesando, por exemplo.
Se non vén a solución instantaneamente, quizais axude pensar nun caso moito máis sinxelo, no que o queique é circular e ten un furado circular:

Custa non ver unha esfera

A solución neste caso máis simple é automática: cun coitelo fai un corte que pase polo centro dos dous círculos; como ese corte diametral deixa en cada círculo un semicírculo a cada lado, é obvio que obteremos dous anacos iguais:
A circunferencia, tan simple para unhas cousas e para outras

Claro que pode suceder que esta solución non se traduza axeitadamente ao caso do rectángulo, para comezar temos que pensar que é o centro dun rectángulo, pois esta figura non ten a simetría do círculo. O candidato para xogar o papel do centro do círculo é o punto no que se intersecan as diagonais. Pero analizando polo miúdo este punto, vemos que as dúas diagonais son rectas que pasan por el e que deixan a cada lado unha metade do rectángulo, pero... pasará isto para calquera outra recta que pasa polo centro?
Deixo os detalles rigorosos sobre os triángulos congruentes, pero vendo a figura acabaredes certos de que si:


Semellanza, congruencia...

En conclusión, atopade os centros dos dous rectángulos e facede un corte ao queique que pase polos dous centros:
O mellor é que non depende de tamaños, proporcións
nin do ángulo de rotación do furado rectangular

Este évos un problema sinxelo de enunciar que leva rapidamente a matemáticas ben interesantes.

O segundo problema deste verán trata de números, atopeino nun libro que xa utilicei previamente como fonte, e entender mal o enunciado levoume a resolver un problema relacionado e máis complicado. Como poderedes vaticinar, vouvos propor os dous problemas, o orixinal e o que entendín eu:

Considerade a sucesión:

$$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots$$

Cal é o termo n-ésimo?

Para quen non estea afeito ao vocabulario de sucesións: tedes que atopar unha expresión alxébrica que nos dea o número que está no lugar n, e que esta expresión só dependa do número n. Por exemplo, na sucesión 1, 4, 9, 16... o termo n-ésimo é n².

Adiviñastes que entendín eu cando abrín ese libro en troques da proposta anterior?

Como o libro está escrito en inglés, o autor chámalle á sucesión "repetitive series", de tal xeito que eu pensei que pedía a sucesión de sumas parciais da serie:
$$-4 +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7 \cdots$$

De novo, para quen descoñeza este vocabulario, se ides atopando canto dan as sumas:
$$-4$$
$$-4+7=3$$
$$-4+7-4=-1$$
$$-4+7-4+7=6$$
$$\cdots$$

Observaredes unha nova sucesión,

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

E o meu problema trabucado é: cal é o termo n-ésimo desta nova sucesión?

Que aproveiten.