24.4.14

Parametrización

parámetro
substantivo masculino1MatemáticasCantidade fixada libremente, que se mantén constante e que figura como variable nunha expresión ou ecuaciónO parámetro dunha parábola2MatemáticasVariable que, nun conxunto de elementos, permite coñecer cada un deles mediante o seu valor numéricoOs parámetros dunha serie estatística3figuradoAquilo que se toma como punto de referencia ou como elemento de xuízoFixo unha análise da situación cuns parámetros totalmente errados
(Entrada do dicionario on line da RAG)

Cando aparece nas aulas de Matemáticas o termo "parámetro"?

Seguramente todos os profesores que desen nalgunha ocasión bacharelato pensarán automaticamente nos sistemas de ecuacións segundo un parámetro (ou dous), exercicios aburridos e mecánicos que serven para comprobar que os alumnos son meticulosos e para avaliar dun xeito rápido todos os casos posibles de compatibilidade. Estes exercicios son recorrentes: na unidade seguinte, de Xeometría, pasa o mesmo, incluso na carreira hai exercicios de diagramas de fases de ecuacións diferenciais dependendo de parámetros.

Mais hai outro lugar no que aparecen os parámetros: as ecuacións paramétricas da recta no plano e no espazo. Lembremos, por exemplo, que se unha recta pasa polo punto do plano $\small{A(2,3)}$ e ten vector director $\small{\vec{v}=(-1,4)}$, as ecuacións paramétricas serán:
$$\begin{cases} x=2-\lambda \\ y=3+4\lambda  \end{cases}$$ ...onde vemos perfectamente o uso do parámetro $\small{\lambda}$

Aínda que en primeiro de bacharelato hai exercicios nos que explicitamente utilizamos as ecuacións paramétricas, sempre teño a sensación de que o esencial do concepto non chega aos alumnos. En que se diferencia unha ecuación calquera da recta das ecuacións paramétricas? Obviamente, se falamos do plano, en que as paramétricas son dúas... Pero ademais dese aspecto evidente (e importante), en que máis?

Unha ecuación é (perdoen os puristas) un xeito alxébrico de expresar unha restrición. Cando dicimos que unha recta ten ecuación xeral $\small{4x+y-11=0}$ estamos a dicir que as dúas coordenadas dos puntos que están nesa recta teñen que cumprir esa condición; e tamén, que se cumpren a condición, estarán na recta (hai unha bixección, vaia). Se falamos de rectas no plano, a ecuación xeral, a ecuación continua ($\small{\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{4}}$)e a explícita ($\small{y=-4x+11}$) proporcionan exemplos desta definición informal de ecuación que acabo de dar.
As ecuacións paramétricas, como a ecuación vectorial ($\small{(x,y)=(2,3)+\lambda(-1,4)}$, o mesmo sen ir ás coordenadas), aínda que seguen a determinar restricións (o parámetro non ten restricións, fai o que lle peta; son x e y quen dependen del), determinan rapidamente que aspecto teñen os puntos da recta:$$\begin{cases} x=2-\lambda \\ y=3+4\lambda \end{cases}\rightarrow (x,y)=(2-\lambda,3+4\lambda)$$
En certo sentido, as parametrizacións danlle movemento ás rectas, é inevitable pensar no parámetro variando e facendo variar as coordenadas. É máis, na recta coa que levamos xogando todo o tempo, se consideramos outro parámetro distinto, $\small{\mu=2 \lambda}$, a recta quedará perfectamente determinada, mais ao dobre de "velocidade", o cal permite definir movementos distintos coa mesma traxectoria.

Por outra banda, vemos neste sinxelo exemplo que un parámetro serve para parametrizar unha recta, figura cunha única dimensión. Que pasaría se pasamos de liñas a superficies? Parece claro que teremos que usar dous parámetros, como se intúe na seguinte imaxe:

Ecuación do paraboloide: $z=x^2+y^2$

Incluso figuras "raras" como a faixa de Möbius teñen unha parametrización. Sendo unha superficie, contade con que aparecerán outra vez dous parámetros:

$$\begin{array}{ccc} x=1+\frac{v}{2} cos(\frac{u}{2})cosu \\ y=1+\frac{v}{2} cos(\frac{u}{2})senu \\ z=\frac{v}{2} sen(\frac{u}{2}) \end{array}$$

Da wikipedia


Este xeito de localizar e variar as posicións de puntos dentro de liñas ou dentro de superficies dá lugar a moitas aplicacións interesantes, unha obvia é a do movemento de obxectos en animacións e videoxogos. Déixovos con este vídeo, titulado con moito xeito "Parametric Expression", que polo menos a min, ademais de lembrarme todo o tempo ao Axente Smith, me pareceu terrorífico:

10.4.14

Polares dunha cónica


Esqueza o lector matemático os coñecementos que aprendeu sobre a dualidade no plano proxectivo aló por segundo de carreira, e tente poñerse no lugar de quen non os teña. E verá, doutro xeito, mais verá...


No curriculum das Matemáticas de primeiro de bacharelato de ciencias hai unha pequena unidade, probablemente a máis breve do curso, dedicada aos lugares xeométricos e ás cónicas. Non se espera moito dos alumnos a ese nivel: un par de conceptos, recoñecemento das fórmulas reducidas, algún procedemento máis e abur.

Porén, esa unidade é un indicador de moitas cousas: non só da madurez na utilización dos algoritmos propios da Álxebra, senón tamén(por unha vez) da visión/intuición, aínda que restrinxida a dúas dimensións. E tamén serve como aperitivo para conceptos que chegarán despois, en tempo e madurez matemática. Hoxe quero amosar unha situación na que a Álxebra avanza detalles difíciles de intuir. Observade:

Cando traballamos con cónicas, o cálculo das tanxentes desde un punto exterior é típico de 1º de Bacharelato. Para tal fin hai varias estratexias, unha delas consistente en considerar o feixe de rectas que pasan por un punto, e determinar cales delas tocan á cónica, é dicir, cortan dúas veces no mesmo punto. Vexamos un exemplo concreto e sinxelo: consideramos a circunferencia de radio 1 centrada na orixe, e o punto exterior P(2,0). As ecuacións das rectas que pasan por P son:
$y=m(x-2)$, onde o parámetro m é a pendente variable de tales rectas (para sermos precisos, non consideramos a recta vertical que pasa por P, mais vemos na figura que esa omisión non é relevante)

Establecemos o sistema que indica a intersección das rectas e a circunferencia,

$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=m(x-2)  \end{cases}$
Que leva rapidamente á ecuación:
$x^2+[m(x-2)]^2=1$, na que impoñemos que o discriminante sexa nulo para asegurar que a recta corte nun único punto á circunferencia.
Chegamos dese xeito a que $m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, as dúas tanxentes son $y=\frac{\pm \sqrt{3}}{3}(x-2)$ e os dous puntos de tanxencia $(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{3})$.
A recta que une eses dous puntos de tanxencia chámase a polar de P(concepto esencial na Xeometría Proxectiva), e neste caso é a recta vertical $x=\frac{1}{2}$

Eu aquí vexo un globo ocular, claramente.



Que sucede se collemos un punto calquera do plano $P(a,b)$ no lugar do tan axeitado (2,0) anterior?

Aforrándovos as contas, as pendentes das tanxentes neste caso serían:

$$\frac{-ab\pm\sqrt{a^2+b^2-1}}{1-a^2}$$

Onde a Álxebra pensa por nós ao amosarnos nese radicando que as rectas tanxentes só existen cando $a^2+b^2 \ge 1$, é dicir, se o punto está sobre a circunferencia ou fóra dela.

Aínda así, tendo dúas expresións para as pendentes, podemos considerar o resultado de seguir o mesmo procedemento que antes para atopar a polar, a ver que sucede. Aforrando de novo os cálculos, obteremos a recta $ax+by=1$, que sorprendentemente sempre existe, dá igual que P estea fóra ou dentro da circunferencia. E que significa esa recta polar?
No caso no que estamos, co punto interior á circunferencia (no que non existen as tanxentes) a polar é exterior á circunferencia. Ollade o caso no que tomamos o punto interior $P(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Mira ti por que punto pasa esa polar...


Axuda isto a entender que relación ten esa polar-sen-tanxentes co punto P? Quizais se collemos nesa recta o punto (2,0) do exemplo anterior teñamos unha pequena pista, lembrando a recta polar que nos deu no primeiro exemplo...

En efecto, a polar de (2,0), $x=\frac{1}{2}$, pasa polo punto P. E o mesmo vai suceder con calquera outro punto da polar de P. En conclusión: a polar dun punto P interior á circunferencia é unha recta formada por todos os puntos exteriores cuxa polar pasa polo punto P.

Abraiante, mentres non coñeces que está a suceder diante dos teus ollos.

Este é un exemplo dun problema no que deixaría que os alumnos fedellasen nas aulas se non houbese outras 14 unidades didácticas.