19.7.14

Verán 2014-Problema 2


Pero antes, a solución do problema 1, que lembremos preguntaba como cortar un queique rectangular ao que xa lle papamos un anaco rectangular en dous novos anacos iguais. Imaxino que se sobreentendía que pedía unha solución exacta afastada do proba-erro, noutro caso a solución é obvia: poderíamos cortar ao chou e ir pesando, por exemplo.
Se non vén a solución instantaneamente, quizais axude pensar nun caso moito máis sinxelo, no que o queique é circular e ten un furado circular:

Custa non ver unha esfera

A solución neste caso máis simple é automática: cun coitelo fai un corte que pase polo centro dos dous círculos; como ese corte diametral deixa en cada círculo un semicírculo a cada lado, é obvio que obteremos dous anacos iguais:
A circunferencia, tan simple para unhas cousas e para outras

Claro que pode suceder que esta solución non se traduza axeitadamente ao caso do rectángulo, para comezar temos que pensar que é o centro dun rectángulo, pois esta figura non ten a simetría do círculo. O candidato para xogar o papel do centro do círculo é o punto no que se intersecan as diagonais. Pero analizando polo miúdo este punto, vemos que as dúas diagonais son rectas que pasan por el e que deixan a cada lado unha metade do rectángulo, pero... pasará isto para calquera outra recta que pasa polo centro?
Deixo os detalles rigorosos sobre os triángulos congruentes, pero vendo a figura acabaredes certos de que si:


Semellanza, congruencia...

En conclusión, atopade os centros dos dous rectángulos e facede un corte ao queique que pase polos dous centros:
O mellor é que non depende de tamaños, proporcións
nin do ángulo de rotación do furado rectangular

Este évos un problema sinxelo de enunciar que leva rapidamente a matemáticas ben interesantes.

O segundo problema deste verán trata de números, atopeino nun libro que xa utilicei previamente como fonte, e entender mal o enunciado levoume a resolver un problema relacionado e máis complicado. Como poderedes vaticinar, vouvos propor os dous problemas, o orixinal e o que entendín eu:

Considerade a sucesión:

$$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots$$

Cal é o termo n-ésimo?

Para quen non estea afeito ao vocabulario de sucesións: tedes que atopar unha expresión alxébrica que nos dea o número que está no lugar n, e que esta expresión só dependa do número n. Por exemplo, na sucesión 1, 4, 9, 16... o termo n-ésimo é n².

Adiviñastes que entendín eu cando abrín ese libro en troques da proposta anterior?

Como o libro está escrito en inglés, o autor chámalle á sucesión "repetitive series", de tal xeito que eu pensei que pedía a sucesión de sumas parciais da serie:
$$-4 +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7 \cdots$$

De novo, para quen descoñeza este vocabulario, se ides atopando canto dan as sumas:
$$-4$$
$$-4+7=3$$
$$-4+7-4=-1$$
$$-4+7-4+7=6$$
$$\cdots$$

Observaredes unha nova sucesión,

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

E o meu problema trabucado é: cal é o termo n-ésimo desta nova sucesión?

Que aproveiten.



0 comentarios:

Post a Comment