22.7.14

Verán 2014-Problema 3

Outro problema máis, xusto despois da solución do anterior, que lembremos que tiña dúas partes:


  1. Atopa o termo xeral da sucesión $$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots $$
Este era o problema que aparecía no libro no que o atopei. A simple vista, nos lugares impares sempre hai un $\small{-4}$ e nos pares sempre un $\small{+7}$. Como chantar iso nunha expresión? Se un é lacazán abondo, pode pensar en: $$a_n=\begin{cases} -4 , \ \ \ n=2k+1 \\ +7 , \ \ \ n=2k\end{cases}$$
...que é perfectamente rigoroso, mais estou certo que todos pensamos nunha expresión "única" como resposta deste problema, non si? Pois ben, para iso podemos facer dúas cousas: ou ben encomendarnos ao noso dominio da técnica alxébrica, ou ben encomendarnos á nosa "vista". Fagamos o segundo: Se calculamos a media aritmética dos números $\small{-4}$ e $\small{+7}$, $\small{\frac{-4+7}{2}=1'5}$ e restamos esa media de todos os termos da sucesión, obteremos unha nova sucesión máis tratable:

$$-5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \cdots $$

Cal é o termo xeral desta nova sucesión? Case inmediatamente vén á mente a solución:

$$5'5 \cdot(-1)^n$$

Co cal o termo xeral da sucesión orixinal será

$$1'5+5'5 \cdot(-1)^n$$
  1. Cal é o termo xeral da sucesión que xorde de sumar os primeiros termos da anterior?
É dicir, había que achar o termo xeral da sucesión

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

Se lembrades que este problema fóra o que entendera eu cando o vin no libro, non tiña calculado o termo xeral da sucesión do apartado 1, de tal xeito que calculei directamente esta sucesión, certamente máis enleada. Ollando un pouco para os termos desta nova sucesión, achamos que os termos pares son os múltiplos positivos de 3 ($\small{3n}$) e que os impares quedan a unha unidade de seren os múltiplos de 3, comezando en $\small{-4}$ ($\small{3n-7}$) Polo que, se non aceptamos unha solución como a primeira do apartado 1, teremos que argallar unha fórmula que só dependa de n e que nos dea, dunha peza, estes diferentes termos. Vexamos:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3 \cdot (k-1)-4\\ b_{2k}=3 k\end{cases}$$

Arranxando un pouco:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7\\ b_{2k}=3 k \end{cases}$$

Neste paso observamos dous atrancos: por unha banda, seguimos tendo dúas expresións, non unha, e por outra, as expresións non dependen directamente do lugar na sucesión, n, senón do valor k. Se escribimos esas expresións en función de n, chegamos a:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7=3 \cdot \frac{n+1}{2}-7=\frac{3n}{2}-\frac{11}{2}\\ b_{2k}=3k=\frac{3n}{2} \end{cases}$$


O complicado é compactar esas dúas expresións nunha soa. Eu pensei en buscar unha fórmula que restase $\small{\frac{11}{2}}$ só no caso en que n sexa impar. Utilizando o mesmo truco relacionado con $\small{(-1)^n}$, obtemos (non era sen tempo):
$$b_n=\frac{3n}{2}+[(-1)^n-1]\cdot \frac{11}{4}$$ (Se un fai primeiro o apartado 1, é máis curto o camiño)
E agora o problema 3 para o verán, outra vez totalmente distinto.
Na fonte na que o descubrín titúlase "Comproba a túa intuición", e creo que o ese título é inmellorable. Veredes a razón:
Debuxade un semicírculo no primeiro cuadrante que pase pola orixe de coordenadas. Agora trazade unha circunferencia centrada na orixe e de radio variable. Chamemos A ao polo norte desa circunferencia e B ao punto de intersección das dúas figuras. Se trazamos a recta que une A con B e prolongamos, chegará a cortar ao eixe de abscisas nun punto X. Resumindo:
A que é obvio que se cortan? Pois se non houbese números irracionais...

Xa chega a cuestión:

Que sucede co punto X cando o radio da circunferencia azul tende a 0?

Tentade adiviñar a resposta antes de calculala analiticamente, a ver que tal andades de intuición.

0 comentarios:

Post a Comment