25.9.14

Contar sen contar

Ao comezo do curriculum da opción A de Matemáticas de 4º de ESO hai un bloque 1 denominado "Contidos Comúns". En realidade este bloque aparece en todos os cursos, e preténdese que os seus contidos sexan transversais ao desenvolvemento de todo o curso. A idea soa ben, xa que son contidos comúns semella lóxico incluílos en todas as unidades. Na práctica, en troques, isto préstase ao abandono: como non é sinxelo avaliar ítems abstractos como "Planificación e utilización de procesos de razoamento e estratexias de resolución de problemas, tales como a emisión e xustificación de hipóteses ou a xeneralización", vai quedando de lado. É inevitable.

Como a LOMCE non se implantou en 4º de ESO, aínda podo traballar mellor que cando teña unha reválida na caluga. Polo que este ano decidín comezar seriamente por eses contidos comúns. E que mellor campo que a Combinatoria, que dentro das Matemáticas elementais ten probablemente a mellor ratio dificultade/sofisticación. 

De tal xeito que levo un comezo de curso moi entretido, buscando problemas moi diversos, variando condicións, preguntando "que pasaría se...?",... O feito de que os problemas non requiran case expresións alxébricas anima aos alumnos a participar; se unimos isto a que eu tento non saber as solucións cando os propoño, que tamén me teño trabucado e que tardei máis que algún alumno en notar algunha circunstancia, produce unhas aulas certamente atípicas.

Como mostra dalgúns problemas que traballamos nestas aulas, observade estes tres, dous tirados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas e un propio:


  • Cantos números entre 1 e 1000 son múltiplos de 3 e 5? Cantos son múltiplos de 3 pero non de 5? E de 5 pero non de 3? E de ningún dos dous?
Resolvemos este problema con varias ideas distintas: ser múltiplo de 3 e de 5 é o mesmo que ser múltiplo de 15, se vas cantando os múltiplos de 3, vas dicir un múltiplo de 5 cada... 5 números,... E finalmente tamén me serviu para introducir os diagramas de Venn para representar a situación. Outro día a ver se lembro pregunta que pasaría se substituímos 3 e 5 por 4 e 6, ou calquera parella non coprima. 

  • Mergullamos o cubo da figura en pintura. Esperamos a que seque e rompemos o cubo nos pequenos cubos unitarios representados pola grella. Cantos cubiños terán unha soa cara pintada? Cantos terán dúas caras pintadas? E tres? E ningunha?
Alguén ve unha figura plana aquí enriba?

Neste problema contamos "por forza bruta" os cubos, mais sucedeu algo curioso: para contar os cubos con dúas caras pintadas observamos que en cada aresta había dous (os que non están nos extremos), así que contando as arestas (12) e multiplicando por dous obteríamos o número; un alumno comentou que el vira que en cada cara do cubo había 8 cubos con dúas caras pintadas, e cando fixo a conta 8·6 decatouse de que tiña que dividir entre 2 para eliminar a redundancia de que cada cubo deses estaba en dúas caras. Unha idea que é moi útil cando se traballa coa Fórmula de Euler e os poliedros regulares.

  • De cantos xeitos podemos pintar os círculos da figura de verde, amarelo e laranxa se os círculos conectados por un segmento non poden ter a mesma cor?
Cantas arestas interiores hai? E exteriores?


Neste caso vimos a semellanza que había entre esta estrutura triangular e o problema que utilicei os primeiros días para introducir o diagrama en árbore, o da chegada dos Reis Melchor, Gaspar e Baltasar. Que por suposto evitei chamar permutacións.

A verdade vai ser duro deixar esta unidade e comezar coa Aritmética e a Álxebra...



21.9.14

O paradoxo de Simpson


Este ano, despois de varios anos afastado, volvo dar clase en 2º de ESO (o curso no que máis teño traballado é 1º de ESO, non vaiades pensar...). Entre que eu son dos profesores máis lentos que coñezo e que a Estatística está colocado sempre ao final do curriculum (tanto no BOE como no DOG como consecuentemente nas programacións dos centros) éme case imposible chegar a tratar ese bloque. Por sorte na programación do meu centro modificamos a orde dos bloques e comezamos o curso pola Estatística. De tal xeito que estes días estou enleado buscando na rede, lendo libros e, en xeral, pensando, en gráficas estatísticas mal feitas (tanto por anumerismo como por manipulación consciente), tratamento de datos, cálculo de parámetros e tamén na atribución de significado a eses parámetros (o que é moito máis difícil), etc. E cada vez que ando fedellando nestes temas acabo pasando nalgún momento polo paradoxo de Simpson, do que xa falei aquí e aquí, no primeiro caso para compartir unha explicación visual e no segundo para propoñelo como exercicio de investigación.

Hoxe vou amosar finalmente o paradoxo, utilizando en primeiro lugar uns datos sobre mortalidade que atopei no libro de Julian Havil Impossible?Surprising solutions to counterintuitive conundrums e despois uns datos inventados.

  • No seu libro de 1934 An Introduction to Logic and Scientific Method, Morris Cohen e Ernst Nagel utilizaron os datos sobre a mortalidade por tuberculose en 1910 en dúas cidades, New York e Richmond, distinguindo pola etnia dos cidadáns, caucásicos ou afroamericanos. Observemos a táboa cos números:


Perdoade o png, a táboa orixinal aquí

Na táboa vemos que as taxas de mortalidade tanto en caucásicos como en afroamericanos son maiores en New York que en Richmond, porén a mortalidade conxunta é maior en Richmond que en New York. Velaí o paradoxo: resulta contraintuitivo que o que sucede nos dous grupos poboacionais por separado non se reproduza na poboación global. Isto fai que por outro nome este paradoxo tamén se coñeza como "de agregación" (é moito máis usual e coñecida a falacia de desagregación, fenómeno en certo sentido inverso).

Un fenómeno que se dá nas aulas pero que a teoría non prevé é o de que a asimilación dos conceptos e a aplicación dos procedementos depende en grande medida do aspecto externo das variables implicadas.
Por exemplo: un alumno pode ter certa destreza resolvendo ecuacións de 1º grao sinxelas, do tipo

$$\small{3x=6}$$

mais é posible que teña dificultades coa ecuación

$$\small{6x=3}$$

por non falarmos de

$$\small{0'05x=0'02}$$

ou

$$\small{\sqrt{2}x=\frac{-3}{5 \cdot 10^{-2}}}$$

Para sermos rigorosos, si hai investigación sobre estes fenómenos, o que adoita suceder é que esta investigación non chega aos que deberíamos coñecela. Imaxinade un licenciado en Matemáticas que acaba de aterrar (a polisemia desta verba é moi acaída para esta situación) na ESO e ten que explicar as ecuacións. Ou está provisto dunha intuición formidable ou é posible que non advirta as primeiras aparicións deste fenómeno, relacionado coa comprensión do concepto de número alén do significado concreto de enumeración e orde.

A que vén todo isto, se eu estaba a falar do paradoxo de Simpson? Pois a que os datos reais, como os da táboa superior, supoñen un obstáculo para asimilar o paradoxo. Entenderemos moito mellor o asunto se pulimos os números e quedamos co esencial. Para isto vexamos os datos ficticios que utilicei nun test de enxeño para 1º de Bacharelato no 2006, onde pedía algo semellante ao da entrada mencionada arriba:

  • Dous hospitais (poñamos que de Ferrol e Narón) tratan a 100 enfermos cada un durante un ano. Cada paciente sofre unha de dúas enfermidades, malaria e dengue. O hospital de Narón cura unha maior porcentaxe de enfermos de malaria que o de Ferrol, e tamén unha maior porcentaxe de enfermos de dengue que o de Ferrol; aínda así, o hospital de Ferrol cura unha maior porcentaxe de doentes das dúas enfermidades globalmente que o de Narón. Como é isto posible?


Sinto que a porcentaxe na última ringleira sobraba...

Os datos que inventei son moi extremos, co obxectivo de esaxerar e facer notorio o paradoxo. Se o pensamos do xeito inverso: a división en subgrupos pode disfrazar fenómenos visibles só a nivel global. Pode resultar interesante investigar ata onde podemos levar os datos, i.e., como de grande pode ser a diferenza entre as ratios de cura de Narón e as de Ferrol nas dúas doenzas e aínda así resultar máis eficaz globalmente o de Ferrol?

Unha última cuestión, agora que xa tratamos o paradoxo: coñecemos polos datos que o hospital de Ferrol cura a máis xente que o de Narón. Se ti tiveses a mala sorte de coller dengue, a cal dos dous hospitais che gustaría que te levasen? Doutro xeito: e se estiveses enfermo dunha das dúas enfermidades pero non soubesen de cal, a que hospital irías?


14.9.14

Starters

Con pouca anticipación veume a idea de compartir uns cantos starters para as aulas que comezan esta semana. Cada quen sabe como son as súas clases, de tal xeito que hai certos problemas que non serán adecuados para todo o mundo: ou ben porque levan demasiado tempo, ou ben porque requiren demasiada concentración en traballo individual (ou o contrario), ou ben porque non forman parte do curriculum, ou ben porque parecen o traballo dun showman máis que dun profesor...


Sexa o que for, velaquí unha pequena escolla de actividades:


  • Un vídeo xeométrico que ten certo sabor espectacular, The Magic Octagon. Vin este vídeo no blogue de Dan Meyer hai un ano, sen intención curricular púxenllo aos meus alumnos do ano pasado de 1º de ESO e foi un éxito:

The Magic Octagon from Dan Meyer on Vimeo.

Por se alguén prefire a tradución: Dan Meyer pide que adiviñedes a posición da frecha do reverso do octógono máxico. Se tedes alumnos recalcitrantes no erro, a actividade pode continuar elaborando os cativos a figura.
  • A segunda actividade, máis formal, si ten unha intención claramente curricular. Non creo que poidamos dicir que ten un autor, porén a última vez que a vin así definida foi no libro 26 Years of Problem Posing de John Mason.

Se $\small{a, b, x>0}$, cal das dúas seguintes fracccións é maior? $\small{\frac{a}{b}}$ ou $\small{\frac{a+x}{b+x}}$ ?

Loxicamente a formulación do problema é susceptible de pulido, por exemplo podemos comezar cun exemplo ben coñecido como o de $\small{\frac{2}{3}<\frac{3}{4}}$ onde $\small{a=2, b=3, x=1}$

Esta sinxela pregunta pode axudar a desvelar algún prexuízo dos alumnos con respecto á suma de fraccións (quizais son demasiado optimista)


  • E a terceira actividade utiliceina nun dos boletíns "Problemas difíciles para xente intelixente" cos que mortifico cada certo tempo aos meus alumnos. Por desgraza non lembro a fonte, aínda que podemos dicir que é case unha actividade-tipo:
16 puntos, hmm, que poderá ser...

Nesta típica figura temos que escoller 8 dos 16 puntos de tal xeito que non haxa 3 en liña. É de esperar que haxa solucións distintas, na posta en común podemos tentar esgotalas todas.


  • A última actividade é máis unha brincadeira que outra cousa, polo menos ao nivel do instituto, mais segue a ser ben interesante. Non é común ver a un matemático de primeira orde nun vídeo así, Gil Kalai publicouno no seu blogue hai catro anos e medio:



Dades feito mofa do que tedes diante de vós? Cal é a razón de que non sempre poidamos deslear as mans?


Agora que o penso, se tedes algún starter por aí agochado podíades compartilo nos comentarios.

10.9.14

Comezando, outra vez


Un saúdo ás hordas de lectores que esperaban con avidez o post de comezo de curso, no que a infame LOMCE entra en vigor. Este ano veremos cambios estructurais nos cursos impares da Educación Primaria e na Formación Profesional Básica, que vén substituír aos previos Programas de Cualificación Profesional Inicial (PCPI). Alén dos formalismos, tamén observaremos como as administracións educativas seguirán insistindo nos recortes que padecemos no ensino público.

Non sei como van aturar a presión os compañeiros de Primaria, por poñer un exemplo, pensade que na LOE hai ciclos e coordinacións de ciclo, e agora cada ciclo (1º/2º,3º/4º, 5º/6º) vai ter un curso baixo cada lei, resultando absurdo xestionar esta situación.

Tampouco o van ter fácil os mestres de Infantil, etapa que aínda que esquecida na nova lei, non queda fóra dos recortes (aulas con case 30 cativos de 3 anos, ben preto do meu centro).


Para comezar de xeito solemne este ano pensara en compartir un vídeo matemático, mais a rede non está inzada de vídeos interesantes desta temática. Moito vídeo educativo útil si hai, pero os que buscaba eu, do estilo de Nature by Numbers ou Beauty of Mathematics, loxicamente non abundan. Mais este verán, buscando algo relacionado cheguei á seguinte curtametraxe, cuxo título non podería ser máis explícito: Numbers. Porén...

Como non volo quero chafar, velaquí está, se estades de humor para algo un pouco escuro...



Benvidos de novo.