18.11.14

Algúns problemas de olimpíadas

   

Como un xa vai tendo uns anos e explicar os algoritmos das operacións con números decimais deixa pegada, para limpar a ferruxe do cerebro é boa idea remexer un pouco entre olimpíadas matemáticas co obxectivo de atopar algo que faga doer as meninxes. Estamos en época de segundas fases dos concursos nacionais (ou terceiras, p.ex. no caso de Brasil), polo que hai moreas de problemas agardando. Velaquí uns poucos que me tiveron entretido:

  • Ucraína: Achar todas as parellas de números primos que cumpren a ecuación

$$3p^q-2q^{p-1}=19$$

  • Alemaña: Os 100 vértices dun prisma cuxa base é un polígono de 50 lados son etiquetados cos números 1, 2, 3,..., 100. Probar que hai dous vértices conectados por unha aresta do prisma con etiquetas a unha distancia menor que 48. 

  • Brasil: ABCD é un cuadrilátero convexo no que as diagonais AC e BD se cortan no punto P. Os radios das circunferencias inscritas dos triángulos ABP, BCP, CDP e DAP son iguais. Probar que o cuadrilátero ABCD é un rombo.

  • Suráfrica: Amosar que non hai números naturais a e b que cumpran a igualdade
$$ab+(a,b)+[a,b]=2014$$

onde (a,b) e [a,b] denotan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de a e b respectivamente (é a notación estándar nas olimpíadas)


Se tedes ganas de experimentar esa frustración tan típica da resolución de problemas xa tedes un par de oportunidades. Certo que esa frustración pode dar lugar tamén á outra experiencia característica destas tarefas: a de chegar a resolver os problemas por un mesmo.

4 comentarios:

  1. Ola:

    Aproveito esta entrada de hai anos, na que se menciona a notación estándar que se emprega nas Olimpíadas, para facerche unha pregunta, que seguro que tes máis coñecementos ca min sobre o tema.

    Hai algunha notación estándar internacional para utilizar nas Matemáticas, a nivel xeral, como disciplina? Eu mesmo mudei a notación durante a miña formación, e aí van uns exemplos:

    - O máis típico é a vírgula para separar a parte enteira da fraccionaria na notación decimal. Que deberíamos empregar? É a "," o estándar europeo (a excepción dos ingleses, que empregan o punto ".")? Por que se usou durante un tempo o apóstrofe "'" en vez da ","? A explicación que me deron no instituto era que se empregaba para non confundila coa separación en intervalos (x,y). Despois lembro que se comezou a empregar a vírgula, e o profesor mudaba para o ";" na separación para os intervalos, para non confundir. Cal é a notación correcta?

    - Debemos empregar sen(x) ou sin(x) para a razón trigonométrica?

    - Da mesma forma, que é máis recomendábel, tg(x) ou tan(x) para a tanxente?

    - Incluso lembro ter empregado "lg" para o logaritmo neperiano (en vez do que emprego agora, "ln"), e tamén teño visto un só "L".

    - Outro caos neste sentido son as funcións hiperbólicas: sinh(x), senh(x) ou sh(x)? Teño visto de todo. O mesmo é aplicábel, por extensión, ás funcións inversas...

    - O que era completamente descoñecido para min era o uso de (a,b) para o mínimo común múltiplo e [a,b] mara o máximo común divisor. Que se emprega, entón, nesa notación das Olimpíadas, para os intervalos abertos e pechados?

    Supoño que nos papers que se publican terá que empregarse algún estándar internacional, e se cadra o profesorado debería empregalo nas aulas, non? En fin, isto seguro que dá para unha entrada do blogue :)

    ReplyDelete
    Replies
    1. Tampoco vaias crer que son un experto na materia... Imaxino que o que comentas nos pasou a todos en maior ou menor medida. O hábito é o que crea o estándar, e certas normas + ou - 'locais' adoitan plasmar eses hábitos. Normas deste tipo son promovidas desde o libro de estilo das publicacións, por exemplo. Pescudando pola rede hoxe(e agora lembro que xa o fixera hai anos) podes atopar certas iniciativas de estandarización, como a do Bureau International des Poids et Mesures, do que non oía falar desde que aprendín de memoria as unidades na EXB. Aí podes atopar o que sucede coa separación entre parte enteira e parte decimal:
      Resolution 10 of the 22nd CGPM (2003)
      Estas indicacións foron adoptadas polas academias da lingua que nos afectan a nós, a galega e a española.
      Respecto ao apóstrofe, eu mesmo utiliceino no pasado, co obxecto de que non se desen ambigüidades en situacións como esta:
      "Clasifica os números seguintes: 3,24,5,6,77,8,1,2 "
      Deixei de facelo cando lin este lema da RAE
      Curiosamente nesa ligazón podes atopar unha mención ao mal uso do punto como separador de miles na parte enteira, cousa que eu aprendín na EXB,xunto co aínda máis estraño uso dun $$_1$$ para indicar o millón.
      Con respecto á notación trigonométrica, eu vin en todas as fontes, agás en certos libros de texto españois, o uso de tan, que se adapta ben ao galego(imaxina se non tx(x)) Do mesmo xeito, sen e senh en troques do inglés(e latín?) sin e sinh.
      O logaritmo neperiano aparece nas fontes superiores como log, pois é o único logaritmo 'natural' en todos os sentidos. Eu utilizo ln para este e log para o decimal, así como $$log_a$$ para o logaritmo en base a.
      Por último, o do mínimo e o máximo aparece en todos os tratados de Teoría de Números Elementar. Nas olimpíadas e concursos matemáticos non adoita haber ambigüidade porque é raro que aparezan intervalos de números reais(en xeral, é raro que apareza calquera cousa que leve, aínda que lixeiramente, ao continuo). En concursos superiores, tipo Putnam, a distinción faise polo contexto, igual que facemos nós en secundaria para distinguir un par ordenado dun intervalo aberto.
      E Anonymous, ben podías poñer un nome, que me faría ilusión...

      Delete
  2. Eu na tanxente tamén vou dando tumbos, unhas veces poño tan outras tag, ... sobre escritura de números decimais a lei é clara,a coma vai debaixo, aqui vola deixo por se a queredes cumprir, esta lei non a coñece ninguén, especialmente grave é que case todo o profesorado de tecnoloxía e informática está explicando mal ao alumnado o sistema de medidas informáticas, confundindo os nomes das unidades, a lei é clara pero quen sabe que a hai!! http://www.boe.es/boe_gallego/dias/2010/01/21/pdfs/BOE-A-2010-927-G.pdf

    ReplyDelete
    Replies
    1. Moitas grazas pola referencia, Conchi. Eu o das unidades informáticas descubrírao o meu ano de prácticas, no que daba a parte de Informática da materia de Tecnoloxía en 1º,2º e 3º. Creo lembrar que tamén o vira nun libro de texto, mais non estou certo. E tempo despois, no imprescindible blogue de María Loureiro:
      binario | tecnoloxia.org

      Delete