18.11.14

Algúns problemas de olimpíadas

   

Como un xa vai tendo uns anos e explicar os algoritmos das operacións con números decimais deixa pegada, para limpar a ferruxe do cerebro é boa idea remexer un pouco entre olimpíadas matemáticas co obxectivo de atopar algo que faga doer as meninxes. Estamos en época de segundas fases dos concursos nacionais (ou terceiras, p.ex. no caso de Brasil), polo que hai moreas de problemas agardando. Velaquí uns poucos que me tiveron entretido:

  • Ucraína: Achar todas as parellas de números primos que cumpren a ecuación

$$3p^q-2q^{p-1}=19$$

  • Alemaña: Os 100 vértices dun prisma cuxa base é un polígono de 50 lados son etiquetados cos números 1, 2, 3,..., 100. Probar que hai dous vértices conectados por unha aresta do prisma con etiquetas a unha distancia menor que 48. 

  • Brasil: ABCD é un cuadrilátero convexo no que as diagonais AC e BD se cortan no punto P. Os radios das circunferencias inscritas dos triángulos ABP, BCP, CDP e DAP son iguais. Probar que o cuadrilátero ABCD é un rombo.

  • Suráfrica: Amosar que non hai números naturais a e b que cumpran a igualdade
$$ab+(a,b)+[a,b]=2014$$

onde (a,b) e [a,b] denotan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de a e b respectivamente (é a notación estándar nas olimpíadas)


Se tedes ganas de experimentar esa frustración tan típica da resolución de problemas xa tedes un par de oportunidades. Certo que esa frustración pode dar lugar tamén á outra experiencia característica destas tarefas: a de chegar a resolver os problemas por un mesmo.

0 comentarios:

Post a Comment