30.5.14

Tan sinxelo como derivar


Para ilustrar a fórmula da derivación do cociente de dúas funcións, fórmula que obviamente non demostramos, escribín ao chou un polinomio e unha función trigonométrica. Concretamente isto:

$$f(x)=\frac{-7x^3-2x}{cosx}$$

Puro tedio.

Se non fose porque, como levamos uns días analizando a gráfica de todas as funcións que van aparecendo, un par de alumnos, despois de atopar a consabida derivada, preguntaron polo aspecto da función e a súa variación.

Aviseinos de que seguramente non iamos ver nada, que o numerador era unha función dunha orde distinta que o denominador, que o coseno ten infinitas raíces que producirían asíntotas verticais... Todo en balde, algún quería vela e punto.


Así que debuxei no geogebra a gráfica. E apareceu isto:



$-7x^3$?

Tanto traballo para isto? Comparemos a gráfica anterior coa da función do numerador:


Si, a idea é que non se vexa.


Onde podemos ver na gráfica vermella o efecto do denominador?

Menos mal que coñecemos a gráfica do coseno, que nos dá unha pista de onde está o problema:



Isto tería que abondar


Deixo aquí estas figuras para que busquedes vós a peza que falta para entender o que vemos na gráfica do geogebra. Pode que sexa un bo exercicio para os alumnos esta busca.

Remato cunha breve reflexión: cantas das funcións que mandamos derivar cegamente nas clases do bacharelato son tratables, incluso coa axuda de software como geogebra ou desmos? En conclusión: para que?

20.5.14

Un exercicio de selectividade


Remexer nos exames de selectividade doutras comunidades é unha tarefa habitual para os profesores de bacharelato. O segundo curso, e antes o COU, está tan mediatizado pola proba final que a materia de Matemáticas (e tamén as outras) acaba sendo unha carreira co único obxectivo de aprender o tipo de exercicios que poden caer nela. Axiña isto vai suceder tamén (senón está a pasar xa) coas probas de avaliación diagnóstico doutras comunidades e coas reválidas, das que aínda non sabemos que aspecto van ter, mais os indicios que saen dos despachos de economistas que manexan o noso sistema educativo apuntan a PISA (brace yourselves...)

Todo isto vén a que estaba eu a remexer na web da selectividade de Madrid cando dei co exame de Matemáticas II de setembro de 2013, e en concreto con este inocente exercicio:


Dada a función $\small{f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}}$, pídese:


  1. Atopar as asíntotas da función.
  2. Determinar os intervalos de crecemento e decrecemento e calcular os seus puntos de inflexión.
  3. Esbozar a gráfica da función

Poñédevos no lugar dun alumno de 2º de bacharelato diante da folla do exame en setembro. Ve este primeiro exercicio e pensa para si: "Ben, un de facer derivadas, este fágoo seguro"

Para que vos dea tempo para pensar o exercicio simulando que sodes un alumno de 2º de bacharelato nese contexto, chanto aquí no medio unha xoia de gráfica deseñada polos nosos amigos de Fox News para apoiar a súa tese de que Obama é, basicamente, o maligno:


Humpty Dumpty took the book, and looked it carefully.
"That seems to be done right" he began...

Como quedou o corpo? Veña, volvamos á función do exame e ao pelexo do noso estudante.

Para un alumno que acaba de ver hipérboles (4º de ESO e 1º de Bacharelato), a función f automaticamente lembraríalle a unha suma de hipérboles. O noso alumno de 2º de Bacharelato que ve esta función é pouco probable que teña en mente as hipérboles; porén identificará rapidamente as asíntotas verticais, pois as raíces dos denominadores son evidentes (x=4 e x=–1). Tampouco presenta complicación a asíntota horizontal. O problema verdadeiro comeza no apartado b: os alumnos de 2º están fartos de facer exercicios mecánicos de análise do crecemento e a concavidade dunha función. Como facelo neste caso? Pois obviamente, como están afeitos, arranxando en forma de función racional e derivando unha vez para o crecemento e dúas para a concavidade e o punto de inflexión.

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2} \rightarrow f(x)=\frac{35x-100}{2x^2-6x-8}$$
$$f'(x)=\frac{-35x^2+200x-440}{2(x^2-3x-4)^2}$$
O crecemento non ten máis conto, pois o signo da derivada só depende do numerador, que é un polinomio cuadrático que non corta ao eixe OX. Mais a segunda derivada...

$$f''(x)=\frac{35x^3-300x^2+1320x-1720}{(x^2-3x-4)^3}$$

Sei que moitos estades a pensar que os coeficientes do numerador teñen como factor o 5; estou a evitalo para seguir imitando a un alumno. Aínda así, o cálculo do punto de inflexión obrigaría a atopar as raíces dun polinomio cúbico con coeficientes 7, -60, 264 e -344. 
Marabillosamente, ese polinomio cúbico só ten como raíz real x=2 (e dúas complexas conxugadas, of course).
$$7x^3-60x^2+264x-344=(x-2)(7x^2-46x+172)$$

Eu espero que os que escribiron este exame pensasen nesta outra solución, moito máis enxeñosa, e por tanto menos obvia (mais atopei solucións pseudo-oficiais que utilizan o método anterior)

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}\rightarrow f'(x)=- \frac{4}{(x-4)^2}-\frac{27}{2(x+1)^2}$$
e a segunda derivada:
$$f''(x)=\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}$$
moito máis acaída para atopar  a súa raíz:
$$\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}=0 \rightarrow  \frac{-8}{27}=(\frac{x-4}{x+1})^3$$

E de aquí chegamos, en virtude da inxectividade da función elevar ao cubo:
$$\frac{x-4}{x+1}=\frac{-2}{3}\rightarrow x=2$$

Parécevos razoable esperar isto dun alumno no contexto da selectividade? Na miña opinión, o tipo de mecanismo que resolve o exercicio está máis preto das ideas das olimpíadas matemáticas que dunha proba xeralista para todo o alumnado de ciencias. E por riba, poñer este cálculo no primeiro exercicio da opción A pode perturbar o desempeño dos estudantes.


Que ben que existe o Geogebra

Non é a primeira vez que sucede algo así na selectividade. Nin é a máis grave, no 2006 xa houbera o caso dunha primitiva que resultaba imposible para os estudantes, e simplemente por omitir un expoñente 2 no denominador:

$$\int{\frac{x}{senx}dx}$$

Imaxinade o incauto estudante que, ao ver esta integral, pensa que por partes é un choio. Probade vós mesmos...

8.5.14

Ten years before the blackboard

Dentro de dez escribirei eu un...


Twenty years before the blackboard é o ben coñecido (e aínda máis citado) libro do profesor de Matemáticas e Informática Michael Stueben. Souben del hai máis de cinco anos, mais só decidín lelo cando vin nos últimos tempos varios fragmentos en Futility Closet (por exemplo, na entrada Alison's Triangle).

O libro está dividido en dúas partes, Teaching e The Scrapbook. A primeira parte é, na miña opinión, a máis interesante das dúas, e por moita vantaxe. Nela podemos atopar as opinións do autor sobre educación en xeral, o traballo nas aulas e a interacción do profesor cos alumnos. Despois de rematar esta parte, que non chega a 90 páxinas, non queda outra opción que recoñecer a intelixencia e intuición do autor no seu oficio docente, ademais da súa humildade e autenticidade ao recoñecer as súas propias dúbidas e limitacións. Unha mostra disto último atopámola ao comezo do libro, no epígrafe Lesson 3:Whining (quizais a tradución habitual sexa "Queixarse", mais eu neste caso prefiro "Choromicando") nunha pasaxe na que relata a interacción cun alumno de programación que estaba a ter dificultades graves (traduzo directamente para non incrementar demasiado o texto desta entrada)

"Fixeches isto mal. Fixeches aquilo mal. Loxicamente o teu programa non funciona, pois non o deseñaches deste xeito e desoutro xeito. A razón pola que che dixen que adoptases este xeito é que non terías estes problemas. Bla, bla, bla."

Finalmente acabei dicíndolle que en troques de aprender de min programación, el aprendera non-programación e desenvolvera habilidades tan contraproducentes que era aínda peor que alguén que nunca estudara esta materia. De verdade lle dixen isto a un alumno? Desafortunadamente si. O asunto non é se eu era un mal profesor ou el era un mal estudante. O esencial é como o meu ego xestionou o shock de descubrir o que o alumno aprendera baixo a miña influencia. Eu queixeime, critiqueino, culpeino e choromiquei. O resultado foi que nada cambiou agás a súa opinión sobre min e quizais a súa autoestima.

É inevitable recoñecerse nesta situación. A un gustaríalle poder dicir que non, que sempre pon por diante o beneficio dos seus alumnos e a profesionalidade, porén o ego ás veces pesa máis e sae de razzia.

Stueben non só presenta estes erros seus como profesor, senón que tamén comenta como mellorou cos anos e que solucións foi atopando. Aí é onde un ten que rendirse á súa autenticidade mais tamén á súa intuición como docente. 

Esta primeira parte do libro tamén amosa problemas, xeitos de presentar conceptos e de facer pensar aos alumnos nas ideas matemáticas que serven como un curso acelerado para o profesor novel e para o que leva xa dez anos traballando.


En The Scrapbook, en troques, achamos mostras diso chamado humor matemático, regras mnemotécnicas (incluídas ás dedicadas ás primeiras cifras de $\small{\pi}$) e algunhas demostracións matemáticas salientables segundo o autor. Recoñezo que teño prexuízos ante os primeiros temas: o humor matemático adoita deixarme frío e nunca lle collín o aquel á mnemotecnia, agás en contados casos (aínda lembro como quedei cando na carreira descubrín que había xente que sabía o método de integración por partes mediante unha trapallada dun valente soldado...). O apartado de demostracións si resulta interesante, aínda que a maioría delas está xa practicamente no folklore matemático actual.


Conclusión: se dades cun exemplar de Twenty Years Before the Blackboard, lédeo. Coido que algo útil e emocionante ides obter.