29.12.15

O 2015 neste blogue


Uns días antes de que remate o ano é o momento de revisar as vicisitudes deste blogue.

En total escribín 67 entradas, 16 máis có ano previo. A explicación do aumento radica principalmente na crónica que fixen da Olimpíada Matemática Galega, que levou 10 posts, un por problema (fase local e final), e nunha mínima suba do ritmo de publicación.
Respecto ás etiquetas:

  • Problemas: houbo 37 entradas con problemas, dentro do rango habitual deste blogue(desde problemas de aula e olimpíadas da ESO ata problemas que requiran un chisco de técnica) 
  • Xeometría: 27 entradas tiveron este tema principal, obviamente moitas delas incluían problemas xeométricos, aínda que algunha houbo con teoremas ou vídeos.
  • Aula: A terceira categoría máis numerosa foi esta, na que cabe calquera cousa: desde problemas ou aproximacións que teña utilizado, comentarios a experiencias, ideas para aulas futuras... 18 entradas foron.
As entradas máis lidas este ano foron:

  1. Cousas que só atoparás nunha Avaliación Diagnóstico
  2. Un triángulo dobrado, que ademais foi a entrada máis comentada do ano.
  3. Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Final
Como curiosidade, a entrada máis lida no 2014, Que avalía a Avaliación Diagnóstico?, tamén tivera o mesmo tema. Nótase que hai interese, quizais por obriga, nas avaliacións que nos impoñen desde as administracións e as empresas do ramo. Por outra banda, estas 3 entradas ocupan xa un posto no particular Top Ten de visitas nos case 7 anos do blogue.

Este ano trouxo unha novidade serodia: a creación dunha páxina específica de xogos para o obradoiro que dei na Xornada de Matemática Recreativa de finais de novembro. En menos dun mes xa levaba máis de 400 visitas, só por detrás da entrada máis visitada do blogue, Se algunha vez estás de mal humor. Estou certo de que son os meus alumnos os causantes desta explosión de visitas, despois de dárllela a coñecer nunha clase despois da avaliación. A páxina non aparece, como é habitual, nas lapelas superiores do blogue, pois modifiquei hai anos o html do deseño para anchear o corpo e isto provoca que certas características comúns de blogger non se vexan. Se teño tempo e ganas, un día hei fedellar no html para solucionalo.

 As entradas menos lidas foron, exceptuando as dúas últimas, que aínda non tiveron percorrido:
  1. Remate e ilusión
  2. Pensando un chisco e A complexa Xeometría do deseño islámico, co mesmo número de visitas
  3. Sumar, multiplicar, tanto ten

Se non fose eu o autor deste blogue coido que as entradas que me resultarían máis interesantes serían Un problema do TIMSS 1999 Study Video, onde tedes unha grande lección dun profesor xaponés, e Por pura lóxica-2, pois os fallos do razoamento dentro da Lóxica son unha teima que comparto con moitos colegas profesores.

Nada máis por este ano. Un saúdo aos amables lectores da NSA ;)

24.12.15

Un problema sen palabras


Por un rechío do sempre activo James Tanton cheguei a este fermoso problema. Botádelle unha ollada:





O vídeo foi publicado por The Global Math Project, nova iniciativa pola divulgación das Matemáticas á que eu veño de apuntarme.

Despois de ver o vídeo, varias xeralizacións abrollan:

  • Que sucede se o cadrado non ten as dimensións 5x5?
  • Que sucede se o taboleiro é un rectángulo non cadrado?
  • E outras formas?
  • ... 
Ben, creo que abonda con este problema e os seus derivados para esta noitiña. Permanecede expectantes á revisión deste ano no voso blogue preferido de Matemáticas de educación matemática dun profesor de Matemáticas.

21.12.15

Máis anamorfoses


Estes días de 2ª avaliación antes do Nadal fixeron que me decatara de que os vídeos e imaxes de ilusións deste blogue xa están moi vistos, pois non hai nada mellor que unha chea de adolescentes displicentes para facelo notar; simultaneamente atopei este novo vídeo, secuela dun abraiante de hai dous anos. A pantalla completa impresiona máis:


11.12.15

Triángulos en rectángulos

Hai máis dun ano e medio que escribín unha entrada cun problema xeométrico de áreas, no que inscribíamos un triángulo equilátero nun cadrado:
    
 ...e nun rectángulo:

   

E víamos que se cumpría que as áreas contiguas ao vértice común ao triángulo e o rectángulo(azuis ou violetas) coincidían coa área oposta a ese vértice (vermella ou )verde.

Unha xeralización inmediata consiste en inscribir triángulos non equiláteros e observar que sucede. Como a resposta inclúe un chisco de trigonometría, é difícil de adiviñar, polo que xa a anticipo eu:

   
Nas condicións da figura, cúmprese sempre que:
$$A cot \alpha+B cot \beta=C cot \gamma$$

Podedes argallar vós mesmos unha demostración, ou podedes ir ao artigo de Tom Apostol e Mamikon Mnatsakanian onde descubrín eu o resultado:

5.12.15

A indución


Se ledes o Decreto 86/2015, veredes que na materia Matemáticas I do bacharelato, dentro do "Bloque 1: Procesos, métodos e actitudes en Matemáticas" incluíron os seguintes contidos:

B1.4. Iniciación á demostración en matemáticas: métodos, razoamentos, linguaxes,etc.
B1.5. Métodos de demostración: redución ao absurdo, método de indución, contraexemplos, razoamentos encadeados, etc.
B1.6. Razoamento dedutivo e indutivo.
B1.7. Linguaxe gráfica e alxébrica, e outras formas de representación de argumentos.

Co criterio de avaliación:

B1.3.Realizar demostracións sinxelas de propiedades ou teoremas relativos a contidos alxébricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos.

E co estándar de aprendizaxe:

MA1B1.3.1 Utiliza diferentes métodos de demostración en función do contexto matemático e reflexiona sobre o proceso de demostración(estrutura, método, linguaxe e símbolos, pasos clave, etc.)


Pois ben, como este ano teño que dar esta materia/maratón, e como co cambio de curriculum eliminaron moitos procedementos da unidade de Sucesións, optei por introducir estes contidos sobre demostracións nesa unidade.

O exemplo obrigado de demostración por indución é a arquicoñecida suma dos primeiros n números naturais:

$$\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$

 O proceso forma parte xa do folklore matemático:
  • Comprobamos que a propiedade é certa para n=1 (guindamos a primeira ficha do dominó)
O membro da esquerda vale 1, pois é a suma co único sumando 1. O membro da dereita tamén vale $\frac{1(1+1)}{2}=1$, polo que efectivamente se cumpre para n=1
  • Supoñemos que a propiedade é certa para n e demostrámola para n+1 (cada ficha do dominó guinda a seguinte)
$$\sum_{k=1}^{n+1}{k}=\sum_{k=1}^{n}{k}+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=(n+1) \cdot \Big(\frac{n}{2}+1 \Big)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$
q.e.d. (mellor que c.q.d.)


Unha eiva que se adoita apuntar sobre o método de indución é que non explica a razón dos feitos matemáticos. Comparade a demostración anterior co razoamento do pequeno Gauss:
  • Se escribimos a suma desde 1 ata n en orde crecente, repetímola embaixo en orde decrecente e sumamos en vertical:
    
Velaí a explicación do feito. (Nota: sempre propoño a suma desde 1 ata 100 cun par de pistas en 3º de ESO. Coido que é o momento para ter esa epifanía matemática)

Aínda podemos comparar coa demostración sen palabras que aparece en Art of Problem Solving:

   
Creo que queda claro que a indución é o método dos tres que dá menos intuición sobre a idea que queremos probar.


Como os alumnos de 1º de bacharelato non están maduros matematicamente falando, e moito menos con respecto ao tema das demostracións, hai que ter moito coidado con mecanizar o método de indución. Non estou certo sobre o traballo que fixen este trimestre, pois os teoremas accesibles a este nivel están relacionados case sempre con sumas de sucesións sinxelas ou propiedades elementais de sucesións como a de Fibonacci. Non ousei coller exemplos de desigualdades nin de propiedades aritméticas como a divisibilidade. O que si fixen foi propoñer unha demostración falsa que coñecín nos tempos da carreira no libro Basic Mathematics do prolífico Serge Lang. Lede con atención e pescudade o erro:


Todas as bólas de billar teñen a mesma cor

Indución no número de bólas:

  • A propiedade é obviamente certa cando n=1, é dicir, cando só temos unha bóla.
  • Supoñamos que a propiedade é certa para n bólas e demostrémola para n+1.
Se temos n+1 bólas, fixémonos nas primeiras n bólas. Pola hipótese de indución, as n bólas teñen a mesma cor. Agora fixémonos nas últimas n bólas(i.e., todas agás a primeira). Pola hipótese de indución, todas teñen a mesma cor. Polo tanto, como as primeiras n comparten cor, e as últimas n tamén, deducimos que as n+1 bólas teñen a mesma cor. Q.e.d.

Atopar erros matemáticos interesantes debería ser unha actividade común nas aulas. Xa está ben de que todo estea perfecto sempre.

29.11.15

Outro xogo de áreas


Xusto despois do meu obradoiro de onte sobre xogos matemáticos na Xornada "As Matemáticas de Coque", o compañeiro Manuel compartiu comigo un xogo a conto do Bojagi, Area Builder. O xogo forma parte da web de Simulacións Interactivas da Universidade de Colorado, PHET, que se non coñecedes ben paga a pena visitar.

Nos dous xogos aparecen as áreas de figuras rectangulares, mais o desenvolvemento corre por camiños diverxentes; mentres Bojagi xira unicamente arredor da visión xeométrica dos factores dun número natural, Area Builder ten máis percorrido: tanto xoga coa relación entre a área e o perímetro como coa descomposición de figuras planas en figuras máis sinxelas, como co concepto de fracción como parte da unidade(e máis ideas que esquecerei agora mesmo).
A aplicación permite investigar como funciona ou mergullarse no xogo, que posúe 6 niveis de dificultade(e variedade). Como mostra, unha captura de pantalla nunha tarefa do nivel 5:

A quen non lle gustan as caras sorrintes?

E como PHET permite embeber as simulacións na túa propia web, velaquí Area Builder:





Aínda así, ide a PHET que hai moreas de aplicacións e ideas útiles para o ensino das ciencias.

Con respecto ao obradoiro de onte, cando teña tempo adaptarei a presentación ao formato web, incluirei os hipervínculos que non tiñan sentido na versión presencial e ampliarei información que comentei pero que non puxen nas diapositivas, pois esteticamente fuxo das presentacións cheas de texto. Tendo en conta que esta semana vou ter todos os exames (e teño 6 materias de 4 cursos distintos) e tamén todas as avaliacións, cando atope un anaco porei ao choio.

Mentres tanto, ide xogar un chisco.

22.11.15

Outro xogo/problema e aviso a navegantes


Como moitos saberedes, o vindeiro sábado vou dar un dos obradoiros na "Xornada de Matemática Recreativa: As Matemáticas de Coque", organizada por Agapema no IES Eusebio da Guarda, centro coruñés no que traballou o compañeiro homenaxeado, Manuel Pazos Crespo. A miña intervención chámase "Xogos Matemáticos/Matemáticas nos Xogos", e os que ledes habitualmente este blogue xa podedes adiviñar por onde vai discorrer: non hei falar de xogos de estratexia, nin de xogos de azar,... senón de videoxogos, máis ou menos curriculares. A miña quenda vén na sobremesa, agardo non durmir a ninguén, incluído eu mesmo. Se pensades vir, é aconsellable traer un dispositivo que permita xogar on line, e mellor cun teclado , pois os xogos adoitan usar o cursor como executor das ordes. Os que usan móbil/tablet saberán mellor ca min se co teclado virtual "controlan".


Polo comentado antes e para compensar esta eiva, hoxe vou compartir un problema/xogo de estratexia, que vin no fantástico libro The Inquisitive Problem Solver, de Paul Vaderlind, Richard Guy e Loren Larson:


Tic-Tac-Toe

Imaxinade que en troques do tradicional taboleiro do 3 en Raia, xogamos nun que teña unha cela adicional á dereita da esquina superior dereita. Haberá unha estratexia gañadora para un dos dous xogadores de 3 en Raia nesta nova configuración?

   
Se queredes inscribirvos, coido que aínda estades a tempo:

18.11.15

Como esbandallar un bo problema, versión libros de texto


Hoxe atopei un exercicio interesante no libro de texto de SM de 1º de ESO. Isto por si mesmo xa é digno de salientar, pois non é moi habitual atopar nada interesante nun libro de texto de Matemáticas en España, mentres que en libros anglosaxóns si teño atopado problemas enxeñosos e actividades fóra do tradicional.

Pero como amosa a experiencia con libros de texto, algo tiña que virarse: A idea que artellaba o problema era interesante, mais a simple estrutura da actividade escarallou por completo esa idea. Observade:

Considera a suma


$$17+31+14+23+50$$



Que signos haberá que modificar para obter un resultado que estea o máis preto posible de 0?



Interesante, non si? Non hai un algoritmo que dea a solución, non vai quedar máis remedio que argallar cos números un anaco, é posible que un alumno pense que chegou a solución e despois a mellore... Podemos tamén pensar cando é posible obter o 0 (e isto pode levar a discutir a diferenza entre unha condición necesaria e unha suficiente), buscar estratexias para acadar 1 ou -1 se non podemos obter 0... Na miña opinión, un bo problema.

...ata que continúas lendo o libro de texto, e achas que o converteron nunha pregunta de escolla:


  1. 1º, 2º e 4º
  2. 2º, 3º e 4º
  3. 1º, 3º e 4º
  4. 1º, 2º e 3º


Isto provocou que un problema aberto se convertese automaticamente nunha mera comprobación: soamente é necesario botar as contas de cada opción e escoller a que estea máis preto do 0. Por non falar de que o 1º signo pode ser o que hai entre 17 e 31 ou o elíptico previo ao 17. Oportunidade perdida de estimular a resolución de problemas...

14.11.15

Exercicios de Álxebra de hai un século

Unha das miñas afeccións consiste en remexer na rede na pescuda de documentos antigos relacionados coa docencia. Estes documentos poden ser de calquera tipo: libros destinados ao ensino, vellos exames, artigos comentando que ensinar, como ensinar, cando ensinar, concursos de resolución de problemas... Todo serve.

Unha das miñas últimas adquisicións é este artigo de 1914, An Experiment in Grading Problems in Algebra, de Edward L. Thorndike. Nel o autor comenta unha experiencia levada a cabo con 200 profesores de Matemáticas, aos que se pedira que colocasen por orde crecente de dificultade 25 problemas alxébricos(máis ben exercicios, pero iso é outro conto). O obxecto do artigo é comprobar se hai consenso na ordenación, mais eu achei interesante o distintivo sabor dos exercicios (se ides ao artigo, veredes que si houbo certo consenso). Observade:


  1. Se $x+3a=5a$, canto vale x?
  2. A circunferencia dun círculo mide $2\pi r$. $\pi=3\frac{1}{7}$, r é a lonxitude do radio do círculo en cuestión. Se o diámetro da roda dunha bicicleta é 28 pulgadas, cantas pulgadas mide a circunferencia?
  3. Se $\frac{6x+7}{5}-\frac{2x-1}{10}=4\frac{1}{2}$, canto vale x?
  4. Se $a=4$ e $b=2$, canto vale $a+b$?
  5. Se $2+\frac{\frac{x}{a}-1}{\frac{2}{a}}=0$, canto vale x?
  6. Un cubo que mide 8 pulgadas cúbicas foi esmaltado con cobre. A diferencia nos pesos do cubo antes e despois do esmaltado foi de 0.139 libras. 1 pulgada cúbica de cobre pesa 0,315 libras. Forma unha ecuación coa que poidas calcular o grosor aproximado do esmalte de cobre. Deduce se o grosor aproximado da túa ecuación sería menor ou maior que o grosor exacto.
  7. Se $a=6$ e $b=3$, canto vale $\sqrt{a}\sqrt{2b}$?
  8. Se $\frac{1}{a}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{b}$, canto vale x?
  9. Un home ten dispoñibles a horas para pasar viaxando cun amigo. Ata onde poderán chegar xuntos, indo a un ritmo de b millas por hora, e volvendo a un ritmo de c millas por hora?
  10. Se $\frac{a+b}{b+c}=\frac{c+d}{d+a}$, demostra que $a=c$ ou $a+b+c+d=0$
  11. Se $a=4$ e $b=0$, canto vale a+b?
  12. Se $3x+4=2x+8$, canto vale x?
  13. Se $\frac{x+a}{x-a}-\frac{x-a}{x+a}-\frac{x^2}{a^2-x^2}=1$, canto vale x?
  14. Existen dúas escalas para medir a temperatura. A escala Fahrenheit(F) é a que utilizamos nós usualmente. A outra é denominada escala Centígrada(C). Unha temperatura de 32 graos na escala F equivale a 0 graos na escala C. 33,8 graos na escala F equivalen a 1 grao na C. 35,6 graos F equivalen a 3 graos na C. 50 graos F = 10 graos C. 14 graos F=-10 graos C
    1. Que temperatura na escala C equivale a 70 graos na F?
    2. Que temperatura na escala C equivale a 4 graos baixo cero na F?
    3. Que temperatura na escala F equivale a 20 graos na escala C?
  15. Se $a=3$ e $b=2$, canto vale $a^2-ab$?
  16. Se $x-2a+b=2x+2b-4a$, canto vale x?
  17. Se $\frac{4}{x+2}+\frac{7}{x+3}=\frac{37}{x^2+5x+6}$, canto vale x?
  18. Sexa l a carga segura que pode ser elevada por unha corda de cánabo. Sexa c a circunferencia dunha corda. Se $l=100c^2$ dáse para calquera corda de cánabo, cantas libras serán unha carga segura para unha corda que teña $2\frac{1}{4}$ pulgadas de circunferencia?
  19. Se $a=6$ e $b=1$, canto vale $2ab-ab^2$?
  20. Atopa a temperatura media a medianoite nunha semana na que as temperaturas diarias a medianoite foron 15, 3, 0, -7, -9, 6 e 17 graos
  21. Se $\frac{x}{a+b}=a-b$, canto vale x?
  22. Canta auga hai que engadir a unha pinta de "alcol, puro ao 95% ", para acadar unha disolución de "alcol, puro ao 40%"?
  23. Dado que $2x-3$ é menor que $x+5$ e que $11+2x$ é menor que $3x+5$, atopar os límites nos que se atopa x. (Enténdese que o alumno non tivo adestramento específico en inecuacións)
  24. A que hora entre as 6 e as 6:30 forman as agullas do reloxo un ángulo recto?
  25. Se $x=\frac{a+b}{2}$ canto vale $(\frac{x-a}{x-b})^3-\frac{x-2a+b}{x+a-2b}$?
Se queredes facer vós mesmos o experimento, o autor dá unhas directrices: os destinatarios dos exercicios son alumnos entre 14 e 15 anos que recibisen 20 semanas de Álxebra, 5 días á semana (ou equivalente), e que "máis difícil" significa "máis probable que sexa resolto correctamente en 30 minutos por unha porcentaxe menor de alumnos".

Mais a min o que me resulta interesante é a tradución destes exercicios ás nosas aulas actuais: cales destes ítems utilizaríades de xeito ordinario nas vosas clases, esquecendo a idiosincrasia dos exercicios anglosaxóns (pulgadas, libras, números mixtos...)?

8.11.15

Anamorfoses


Cando leo ou oio anamorfose,automaticamente penso nun libro de texto de Ciencias Sociais da EXB no que aparecía o famosísimo cadro Os Embaixadores de Hans Holbein, e imaxino que non son o único cunha lembranza semellante:

Da wikipedia


Se estades a ler esta entrada nun dispositivo móbil, poderedes poñer o nariz á altura do marco inferior do cadro para distinguir a inquietante caveira.

Hoxe tráiovos unha versión actualizada de arte anamórfico, neste caso arte interactivo, ou como adoita ser chamado simplemente, videoxogos. Observade o vídeo no que se explica a mecánica do xogo:





Se queredes botar unha ollada ao xogo, aínda en desenvolvemento, os creadores publicaron unha demo xogable que está dispoñible na súa web. Souben do xogo pola entrevista que lle fixeron en Indie Games a un dos deseñadores, Lucien Chen. A entrevista paga a pena para os interesados na creación de videoxogos; a min chamoume a atención o feito de que a primeira fase do deseño dos niveis fose executada en papel.

Se vos gustou Portal ou Antichamber, este xogo bebe desas fontes.

1.11.15

Unha adiviña... polinómica


A ver se alguén dá adiviñado, sen contexto ningún e cambiando as variables para complicalo aínda máis, que pode significar esta expresión, coñecida no ámbito onde a collín de xeito solemne como "Fórmula Polinómica":

$$(0,55 \cdot x_0^n+0,12 \cdot y_0^n+ 0,10 \cdot z_0^n+ 0,08 \cdot t_0^n) \cdot \frac{1+15}{85}$$

A transcripción da expresión foi directa, co cal: podemos intuír erros nela, aínda sen saber exactamente o seu significado? Quen é a variable nesta expresión? Hai máis dunha variable? Se fose n, sería un polinomio?
E a fracción final... por que esa suma no numerador? Non lembra máis ben a 1+0,15, o cal levaría a pensar en índices? (Ou 100+15, en forma de porcentaxe)

Só unha pequena pista, por se estades moi perdidos:


Esta expresión pode influír na vida de case 250000 persoas

27.10.15

Bojagi


Lembrei tarde este xogo, pois xa rematara a unidade de Divisibilidade en 1º de ESO. Porén, leveino onte á aula para que xogasen os alumnos que remataran a folla de problemas de introdución aos números enteiros (i.e., aos números negativos).

A pantalla de inicio do Bojagi só amosa un xogo, ben básico. Premendo no botón List veredes os últimos niveis creados polos usuarios, trocando o número do final da URL podedes xogar tamén os anteriores. 
Coido que creara un nivel eu mesmo cando atopara o xogo, mais como a listaxe non é moi amigable, non me quedou outra que crear un novo nivel. A imaxinación non me deu para máis e chameino 13². É sinxeliño, pódese resolver linearmente:

Outro día fago un cheo de cadrados con números primos


Polo visto o xogo non é orixinal, o cal non é unha sorpresa dado o natural que é a súa mecánica. Na web de Simon Tatham atoparedes unha versión (el mesmo recoñece a un programador previo, nikoli, pola invención do seu xogo Shikaku), chamada laconicamente Rectangles, que é menos atractiva visualmente pero con máis opcións de xogo. 

Para os profesores: Non vos parece axeitado para practicar os divisores e o modelo do produto como área?


23.10.15

Pensando un chisco


Revisando as alertas que me deixa o Big Brother no gmail, concretamente as da comunidade Mathematics Educators en Stack Exchange, atopei How do you explain why perpendicular lines have negative reciprocated slopes?. (Non vaiades aínda á ligazón)

Ao ver o título, e como este ano dou Matemáticas I, antes de entrar no fío estiven a pensar no que adoito facer nese curso para amosar esta coñecida propiedade, tradución alxébrica dunha propiedade xenuinamente xeométrica. E creo que non me trabuco se digo que o habitual é utilizar trigonometría, pois previamente os alumnos ven as relacións entre as tanxentes de dous ángulos e a da súa suma/resta, e tamén como escribir a pendente dunha recta como tanxente do ángulo asociado naturalmente.

Pero, é necesario? Cando un fai o debuxo, que é o primeiro que ve?

   


Observemos máis de preto esta figura:


   


Se as rectas son perpendiculares, non é obvio que estamos nas condicións do Teorema da Altura?


Supoño a obxección didáctica: temos que considerar que os números $m_1$ e $m_2$ teñen signo(no exemplo o segundo é negativo), co cal realmente teríamos demostrado que os seus valores absolutos son inversos, e faltaría comentar este feito para rematar a proba. Ademais disto, vedes algún problema que eu non vexa nesta demostración?


Agora xa podedes ir ao fío de Math Educators. Paga a pena.

20.10.15

O seno da suma (cunhas poucas palabras)


Lendo un manual sobre como ensinar Matemáticas, How to Teach Mathematics de Steven G. Krantz, atopei esta estratexia para demostrar a fórmula do seno da suma de ángulos. Como este ano estou a dar Matemáticas I, aproveito o blogue para ter a imaxe a man.

Imos ver que $$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

A idea é ben sinxela: creamos dous triángulos rectángulos cun cateto común e con ángulos $\alpha$ e $\beta$ (isto vai representar unha eiva na demostración, a que se adoita facer tampouco funciona para ángulos non agudos) e xuntámolos de tal xeito que formen un triángulo cun ángulo $\alpha + \beta$:

   


Agora razoamos sobre as áreas dos triángulos implicados:

A área do triángulo rectángulo superior é $\frac{a h sen\alpha}{2}$, a do triángulo rectángulo inferior é $\frac{b h sen\beta}{2}$, mentres que a área do triángulo grande é $\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}$
Igualando:

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a h sen\alpha}{2}+\frac{b h sen\beta}{2}$$ (1)

Traballando nos triángulos rectángulos obtemos:

$cos\alpha=\frac{h}{a}\rightarrow h=a cos\alpha$
e
$cos\beta=\frac{h}{b}\rightarrow h=b cos\beta$

Utilizando estas dúas igualdades en (1):

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a b \cdot sen\alpha cos\beta + b a \cdot  cos\alpha sen\beta }{2}= \frac{ab \cdot (sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta)}{2}$$

De onde obtemos a consabida igualdade:

$$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

Esta estratexia non funciona directamente para probar a fórmula do coseno da suma, para isto teremos que argallar previamente co Teorema do Coseno.

14.10.15

Number Sense


Onte colleume o timbre comezando o apartado de Notación Científica en Matemáticas B de 4º de ESO (si, son deses profesores...) polo que improvisei sobre a marcha algo para comezar. Como creo que pode ser útil para comprobarmos o sentido numérico dos alumnos, déixooo por acó.


Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^5}$

   

Coloca no seguinte segmento o número $\small{10^{-2}}$ e $\small{10^{-4}}$


   

No momento non se me ocorreu que tamén sería interesante colocar números como $\small{5\cdot 10^{4}}$ ,$\small{8'7\cdot10^{-2}}$ ou $\small{-2'1\cdot10^{-3}}$, cousas de improvisar...

Para rematar: a actividade é axeitada para introducir a unidade de potencias de expoñente negativo ou notación científica cando non sexa a primeira vez que a vexan os alumnos. Tendo en conta que estas cousas xa foran traballadas en Matemáticas e Tecnoloxía en 2º e 3º, en Ciencias Naturais en 2º e 3º e en Física e Química en 3º, os alumnos xa terían que ter claro o concepto de orde de magnitude. 

6.10.15

Solución do problema de optimización de Princeton


Non é habitual que escriba solucións neste blogue, pero xa que unha lectora fixo un comentario ao problema aludido no título, o post de hoxe vai ser unha excepción.

Lembremos o problema:

Como vemos na figura, os cadrados ABCD e CEFG están colocados xuntos (i.e., C está entre B e E e G está entre C e D). Se CE=14, AB>14, calcula a área mínima do triángulo AEG.


 
Para axudar á intuición sempre temos dispoñible o Geogebra, que introduce movemento nas figuras dun xeito moi sinxelo:


Podedes facer scroll coa roda do rato e mover o esvarador 


O texto que aparece no applet é dinámico, aínda que non o pareza, pois sempre toma o valor 98. Se for deste xeito, a solución do problema é inmediata: o valor mínimo desa área é 98. Vexamos que este feito é case obvio, marcando un punto máis no debuxo:

   
A área do trapecio rectángulo ABCG coincide coa área do triángulo rectángulo ABE, pois a suma das bases do trapecio coincide coa base do triángulo (AB+GC=BC+CE) e as alturas tamén (BC=AB). De aquí deducimos que o triángulo AGH ten a mesma área que o triángulo HCE (pois sumando estas áreas á do trapecio ABCH obtemos, respectivamente, as áreas de ABCG e ABE). Finalmente deducimos que a área buscada do triángulo AEG coincide coa do triángulo CEG (que é a metade do cadrado fixo), pois as dúas proceden de sumarlle á área GHE os valores idénticos (AGH) e (HCE). Por tanto a área de AEG é sempre 14·14:2, independentemente do valor do lado AB, q.e.d.

28.9.15

5 horas semanais


A introdución da LOMCE nos cursos impares provocou, entre outras cousas, que teñamos en 1º de ESO clase de Matemáticas todos os días da semana. Deixando á marxe que se de min dependese non engadiría unha hora ás catro que xa tiñamos, senón que recolocaría os contidos de 1º e 2º para non repetir unidades enteiras, neste contexto pensei que podía facer coa hora extra. Descartando dedicala a facer cálculos máis longos, aplicar algoritmos máis enleados ou chantar máis decimais(en fin), a alternativa obvia para min foi utilizar a hora para resolver problemas. Isto non quere dicir que non vaiamos traballar problemas as outras catro horas, simplemente significa que esa hora vai ter ese uso exclusivo. Ademais teño pensado que ataquemos problemas máis inusuais, diferentes dos típicos "enunciados con moitas palabras" que enchen os libros de texto; nisto inclúo problemas con máis dunha solución, problemas abertos, e desde logo, problemas para os que non proporcione eu con anterioridade a ferramenta axeitada. Por último pretendo que a resolución sexa cooperativa sempre que a esencia dos propios problemas non o impida.

A primeira dúbida xa a tiven cando argallaba a primeira hora de problemas: tendo en conta que practicamente non empezáramos o curso, que tarefa podía ocupar esa clase?


Por sorte sigo unha manchea de blogues de profesores no feedly (tristemente a maioría anglosaxóns) que amablemente comparten moitas das actividades que levan ás súas aulas. Non só sigo profesores de high school, o equivalente ao noso rango de 3º de ESO ata 2º de Bacharelato, senón tamén de middle school, i.e., 6º de EP e 1º e 2º de ESO. A fin de contas son os dous cursos que máis veces teño traballado nos 12 anos que levo propagando o mal desde o meu posto. Entre estes blogues de middle school, un dos que comparten actividades elementais pero moi interesantes é Finding Ways, o blogue da profesora californiana Fawn Nguyen. E de aló tirei a idea para a actividade do 1º día.

Como o único do que faláramos era a notación decimal posicional, e os exercicios típicos son ben mecánicos, propuxen o seguinte aos alumnos:


  1. Coas cifras 2, 5 , 7 e 3 construímos números de catro cifras.
    1. Cal é o maior número que podes construír?
    2. E o menor?
Nota: é claro que isto é quecemento para que os alumnos collan seguridade. Perversamente tamén funciona como efecto áncora para o que vén despois
  1. Coas cifras 5, 3, 8 e 6 construímos dous números de dúas cifras.
    1. Como haberá que colocar as cifras para que a suma dos dous números sexa a maior posible?
    2. _ _ + _ _ =
    3. E para que sexa a menor posible?
    4. Como haberá que colocalas para que a resta dos dous números sexa máxima?
    5. _ _-_ _ =
    6. E para que sexa mínima?
    7. Como haberá que colocalas para que o produto dos dous números sexa máximo?
    8. _ _ · _ _ =
    9. E para que o produto sexa mínimo?

    Finalmente, como bonus, engadín o problema orixinal de Finding Ways:

    1. Coas cifras 8, 4, 5, 7 e 2 forma dous números, un de tres cifras e o outro de dúas cifras. Como haberá que colocalas para que o produto sexa máximo?
       
    Recoméndovos que pensedes do 2)d) en diante, sobre todo o bonus, que algunha sorpresa aínda podedes levar... E despois quizais dea lugar a pensar se nisto hai unha regularidade (como colocar números a>b>c>d>e...) ou a colocación depende das cifras concretas que un utilice.

20.9.15

Un problema de optimización de Princeton


Aínda non sei a razón, mais este tipo de problemas, sendo ben sinxelos, son dos que máis me prestan. Non hai máis que revisar o historial deste blogue para atopar unha chea de exemplos.
No problema de hoxe non vos queda outra que pensalo para saberdes que ten de interesante.

Como vemos na figura, os cadrados ABCD e CEFG están colocados xuntos (i.e., C está entre B e E e G está entre C e D). Se CE=14, AB>14, calcula a área mínima do triángulo AEG.


   


Se queredes atopar outros problemas deste tipo, ide aos arquivos da web da competición, PUMaC2015 Archives

17.9.15

A Escaleira do Monte Meru


...ou como dicimos por acó, o triángulo de Pascal (ou Tartaglia). Onte vin por varios sites esta animación TED que conta as características básicas do devandito triángulo para aqueles que non tiveran a sorte de ver Combinatoria no antigo 1º de BUP. Botádelle unha ollada:


12.9.15

Have you tried turning it off and on again?


Are you from the past?


Algunha vez teño comentado por acó que eu levaba a coordinación Abalar do meu centro. E digo ben levaba, pois despois de catro anos, este curso por fin deixarei de preocuparme polos malditos netbooks. Anécdotas, como é lóxico e previsible, gardo centos, mais do tipo das que non se poden contar. Só hei comentar unha axeitada aos temas habituais deste blogue: os problemas.


Estaba eu nun departamento de FP do meu centro argallando cunha impresora, ou fedellando nun navegador, ou remexendo nos programas instalados dun PC... Para os que non o imaxinen, a estratexia habitual é a seguinte:
1) ler con coidado a información que tes diante
2) buscar en google a solución

Pola miña experiencia estimo que hai máis xente que non fai 1) ca 2), co cal atopan solucións para problemas que non teñen.

Pero ao que ía, que tampouco é cuestión de arranxar contas onde ninguén o vai ler:

Na bandexa dunha impresora do departamento, seica de xeito casual mais certamente semellaba destinada para min, había unha folla coa impresión dun triángulo con puntos nos lados, cun texto embaixo que, tiña que ser, o enunciado dun problema xeométrico:

Imposible de confundir

O problema tiña un estilo algo alleo ao habitual:

Dúas rectas concorrentes en A. Damos puntadas AB, BC, CD,... UV da mesma lonxitude entre as dúas liñas concorrentes. A primeira, AB, sobre unha das rectas, que chamaremos horizontal, as demais comezan alternativamente nunha das rectas e rematan na outra.
A puntada 20ª UV resulta ser vertical.
Sempre no mesmo sentido(p.ex. cara á dereita), non se pode retroceder.
A distancia AU é 25 cm.
a) Canto mide o ángulo A?
b) Cal ten que ser a lonxitude da puntada ?

O termo "puntada" e o debuxo que queda, fan pensar efectivamente nun fío.

Para axudar un chisco, deixo a imaxe coas puntadas ben dadas, para os incautos lectores:

Non hai K, e iso que o problema estaba en castelán...



Nota mental: cando esteas a destruír documentos de cursos pasados non lles botes ningunha ollada. Lume con todo.





7.9.15

Problemas matemáticos da Lusofonía-2


Despois de moito pescudar pola rede os problemas da V Olimpíada Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (previamente por acó) acabei atopando os documentos nun lugar que nin contemplara, nas novas da Organización de Estados Iberoamericanos, que vén de asinar en xullo un convenio de colaboración coa devandita CPLP:


Na ligazón anterior podedes atopar os dous documentos ao remate da páxina, xunto con fotos do evento.

Dos seis problemas propostos querería salientar o 5º e o 6º:

5. Dúas circunferências de raios R e r, com R>r, são tangentes entre si exteriormente. Os lados adjacentes à base de um triãngulo isósceles são tangentes comuns a essas circunferências. A base do triãngulo é tangente à circunferência de raio maior. Determine o comprimento da base do triãngulo.


6. Considere a sequência $(a_n)$ dada por $a_1=2$ e $a_{n+1}=a_n^3-a_n+1$ para todo $n \geq 1$ Assim, por exemplo, $a_2=2^3-2+1=7$ e $a_3=7^3-7+1=337$. Prove que se p é um divisor primo de $a_n$, então p>n


Agora sei que tamén podería ter atopado os problemas na páxina en Facebook das Olimpíadas Portuguesas de Matemática, agardemos que a CPLP manteña unha web estable cos problemas dos vindeiros anos.

2.9.15

Todo é linear


Non todo tempo pasado foi mellor, porén...

Tiña pensado volver ao blogue cunha entrada memorable coa miña opinión con respecto a un procedemento que vén no curriculum desde a LOXSE. Por sorte para vós, collín o último libro de problemas que merquei nunha feira do libro de ocasión, Desafíos Matemáticos de Angela Dunn, e atopei este problemiña:


Dous pilotos compiten nunha carreira de aceleración. Ambos os dous aceleran de xeito uniforme desde que arrancan no punto de partida. Alberto cobre o último cuarto da distancia en 3 segundos; Roberto cobre o último terzo en 4 segundos. Quen gaña?



O problema pareceume interesante porque ilustra perfectamente o que sucede acotío nas aulas: a suposición tácita de que todas as magnitudes que aparecen nos problemas son directamente proporcionais. Como neste caso os alumnos poden intuir que a solución linear é absurda, véxoo axeitado como starter. Tamén é susceptible dunha discusión das gráficas usuais no movemento acelerado.


Atopei a fermosa visualización da cabeceira en The most timeless songs of all-time. Na imaxe vemos as cancións dos 90 máis reproducidas en Spotify, mais na web recollen, alén dos datos globais, outras curiosidades: os datos referentes só a cancións de rap, os dos billboards dos últimos 50 anos, as gañadoras dos Grammy, ... Aínda por riba, a base permite pescudar por canción ou artista, o que pode destruír a vosa produtividade como fixo coa miña (claro que eu teño Procrastinating Level: God).

Aínda non argallei unha maneira, mais vexo factible e interesante traballar cos datos na unidade de Estatística. Veremos o xeito.

11.8.15

Sumar, multiplicar, tanto ten



Como un dragón da época dos 8 bits,
Twin Dragon Fractal, collido de The Math Kid

Visitando a web da clásica revista Crux Mathematicorum (que leva sen actualizarse desde o ano pasado), vin que os números anteriores a 2009 están dispoñibles en pdf, polo que consultei uns poucos ao chou. Atopei este problema aritmético, que aínda que ben coñecido, non deixa de ser interesante. Eu coñecía o problema con outros números, non sei se dalgún libro ou dunha competición matemática. O que viña na Crux de 1977 dicía:


Unha muller foi á tenda a mercar 4 cousas. Calculando o importe, o nervioso dependente multiplicou os 4 prezos e anunciou que o total era 6.75$ Como a muller xa sumara os prezos de memoria e obtivera a mesma cantidade, pagou a conta e liscou. Supoñendo que os 4 prezos eran distintos, es quen de atopalos?



O conto é axeitado para resolver na praia, só falta o bo tempo.


Agora agardemos que ningún lector espelido me avise de que xa compartira este problema...

5.8.15

Un xogo de seccións


Deixando a un lado as Matemáticas máis técnicas (non era sen tempo), veño compartir un xogo de dar cortes. O interesante é que os cortes hai que dárllelos a corpos tridimensionais, cando o habitual neste tipo de xogos vén sendo dar cortes a figuras planas. O xogo chámase Cut 3D, nome obrigado:


Un papaventos!

A mágoa é que os niveis sexan un pouco repetitivos e as figuras relativamente sinxelas. Con corpos non convexos a variedade podería ser moito maior. A ver se hai sorte e fan segunda parte máis movida.





28.7.15

Uns problemas axeitados...


Mentres agardaba a que publiquen os problemas da Olimpíada Matemática da Comunidade de Países de Lingua Portuguesa, estiven a fedellar pola rede na pescuda de pasatempos. Velaquí os tedes:


O primeiro, pura técnica alxébrica, é máis complicado do que parece. Atopeino na Olimpíada de Irlanda do ano pasado:
  • Se a, b, c son números distintos e non nulos que cumpren 
$$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}=p$$
amosar que $$abc+2p=0$$

O segundo é de optimización, mais non o habitual. Vino nun libro do que non gardei a referencia:
  • Se $\theta$ é un ángulo menor que un recto, atopar o rectángulo inscrito nun sector da circunferencia de radio 1 que teña amplitude $\theta$ coa maior área posible

   
Se queredes unha pista, ese máximo é

$$\frac{1-cos\theta}{2sen\theta}$$



E para o último, observade a seguinte figura:

   
Neste taboleiro 7x7 vemos 7 fichas postas de tal xeito que as 21 distancias existentes entre elas son todas distintas. A colocación destas 7 fichas apareceu suxerida por Erdös e Guy no seu artigo "Different Distances between Lattice Points" na revista Elemente der Mathematik(que está na rede); aínda que eu souben dela nun primeiro momento no espléndido Famous Puzzles of Great Mathematicians de Miodrag Petkovic Pois o problema que vos propoño eu é:
  • Colocar en taboleiros nxn n fichas de tal xeito que as distancias entre eles sexan todas distintas, sendo n=4,5,6

Sorte cos problemas.

19.7.15

Maldita folla de cálculo


Estaba eu a fedellar nun inocente problema de Teoría de Números, a saber:

Atopar os números naturais a, b, c tales que $a^3-b^3=c^2$

Como a simple vista non daba feito descompoñendo o membro da esquerda e argallando arredor dos factores primos, pensei en observar as primeiras ternas-solución (que seguro que había alén das triviais) a ver se obtiña algunha intuición sobre a forma xeral da solución. A ollo non vía ningunha (despois atopei unha familia delas, $(2 \cdot 7^{2k+1},7^{2k+1},7^{3k+2})$), polo que collín a folla de cálculo para comprobar uns cantos centos de números, a ver se chegaba a inspiración.

Para iso fixen isto:

   

É dicir, para cada valor de a collía todos os valores de b desde 1 ata a-1, calculaba a diferenza dos seus cubos e miraba se a raíz cadrada daba un número natural. O inmediato.

Pero claro, ir poñendo os números na columna dos a resulta fatigoso, polo que, confiando no programa e a súa función de autocompletar, tentei que a folla escribise por min os seguintes 5 números, todos iguais a 6:

   

Obviamente non funcionou. Un problemiña lateral podería consistir en achar que demo fixo o programa para atopar eses números, mais non é este o que veño propoñer eu hoxe.

A miña cuestión principal é: xa que a folla de cálculo non autocompleta como esperaba eu, que fórmula haberá que implementar no campo de entrada para que saia a columna desexada, é dicir, unha columna na que o número 2 sae 1 vez, o 3, 2 veces, o 4, 3 veces,... e en xeral o número n aparece n-1 veces? 




13.7.15

Divertimento xeométrico(5)


Collede papel e tesoiras, que hoxe toca xogar.

Pero antes, un comentario á entrada anterior, Un teorema ben raro: ese feito xeométrico chámase Teorema de Urquhart polo matemático de Tasmania que botou luz sobre el, mentres estudaba a Teoría Especial da Relatividade. Sendo un resultado claramente elemental no seu aspecto, non debería resultar estraño que o teorema xa aparecese máis dun século antes nos papeis do grande Augustus de Morgan. En Cut the Knot hai unha demostración totalmente sintética, que utiliza circunferencias ex-inscritas e propiedades de circunferencias e cuadriláteros cíclicos, non vai ás elipses que debuxara no Spoiler: Urquhart's Theorem-An Elementary Synthetic Solution


Ás tesoiras:

Debuxade dúas rectas secantes (r e s, de abaixo a arriba) que non se corten no voso papel. Desde un punto máis ou menos centrado na liña inferior(chamémolo O), trazade 3 rectas que formen ángulos de 45º coa recta r. Nomeade A, B e C de esquerda a dereita os puntos de corte con s. Desde A e C trazade perpendiculares a s e marcade onde cortan a r. Deste xeito veredes 4 triángulos, con cadanseu ángulo de 45º. Algo así:


   
Onde collín a actividade, no blogue Numberplay do New York Times, comezan por indicar que a figura ten 1 grao de liberdade, o ángulo que se forma á dereita de B, $\small{\alpha}$. Incluíno na figura para suxerir outras actividades asociadas á que aquí traio, quizais unha achega analítica, por exemplo. 

Pois ben, feita a figura anterior, tedes que duplicala. Recortade os 8 triángulos con ángulos de 45º resultantes, que ides xogar con eles:

  1. Cos 8 devanditos triángulos tedes que formar un único cadrado.
  2. Cos 4 triángulos grandes (2 parellas de triángulos como os $\small{\triangle{DOA}}$ e $\small{\triangle{AOB}}$), tedes que construír un cadrado. O mesmo cos 4 triángulos pequenos (2 parellas como $\small{\triangle{BOC}}$ e $\small{\triangle{COE}}$).

En caso de forza maior, no blogue Sine of the Times colgaron as solucións modeladas en Sketchpad en A Double Dissection from the New York Times






8.7.15

Un teorema ben raro


Nestes primeiros días de repouso estiven aproveitando para ler libros e artigos que baixara durante o curso mais non tivera aínda tempo para revisar. Teño unha mestura boa no ordenador entre libros de Matemáticas, artigos sobre educación, documentos históricos... Esta sorte de Síndrome de Dióxenes dixital é só posible grazas aos proxectos de dixitalización de obras históricas e/ou descatalogadas, e no meu caso non é aleatorio, pois teño a intención de ordenalo no verán. Hoxe, por exemplo, quería presentarvos un teorema xeométrico do que acabo de ter noticia, e que non se parece a ningún feito que coñecese con anterioridade. Observade:

Imaxinade que tedes un ángulo $\widehat{AOD}$:
   

E un punto X no interior do ángulo de tal xeito que:
$$\overline{OA}+\overline{AX}=\overline{OD}+\overline{DX}$$


    


É evidente que hai infinitas escollas para ese punto X, por exemplo:

   


Quedemos coa da figura en verde e vermello. Prolongando os segmentos AX e DX ata que corten aos lados do ángulo, obtemos respectivamente os puntos B e C:

   




Imaxinades a tese que vén agora? Quizais coas cores axeitadas...

   

Pois si, nestas condicións, tamén é certo que

$$\overline{OC}+\overline{CX}=\overline{OB}+\overline{BX}$$

Poñamos o anterior na forma clásica de teorema:

Na situación

   

$$\overline{OA}+\overline{AX}=\overline{OD}+\overline{DX} \rightarrow \overline{OC}+\overline{CX}=\overline{OB}+\overline{BX}$$

Se queredes ver por onde vai a demostración, e pedides papas, premede no SPOILER

SPOILER