30.4.15

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Local-5


Chegamos ao último problema da fase local da Olimpíada Galega deste ano. Achastes algo de menos nos anteriores problemas? Efectivamente, hoxe imos con probabilidade:

Problema 5:

Iván e Sabela son dous amigos que se xuntan para cear. Deciden que paga aquel que perda ao seguinte xogo:

Lanzan dous dados e suman as puntuacións obtidas. Gaña aquel que acerte o resultado.

Responde razoadamente a estas preguntas:


  1. Cal che parece que sería a mellor aposta?
  2. Se Iván di 9 e Sabela di 5, quen che parece que ten máis posibilidades de gañar o xogo?
  3. Agora deciden xogar ao mellor de 2 tiradas. Teñen que apostar antes os 2 posibles resultados e despois contar cantos acertaron cada un. Cal che parece a mellor estratexia?


Non é un pouco redundante o problema? Hai que facer razoamentos distintos en cada apartado? O feito de que a pregunta c admita varias respostas foi intencionado?

Deste xeito remata a xeira de problemas da Fase Local da XVII Olimpíada Matemática Galega. Se teño acceso á fase final tamén os hei compartir por acó.

29.4.15

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Local-4


Hoxe imos co 4º problema da Olimpíada Galega:

Problema 4:
Encontra un número de 4 cifras que verifique as seguintes condicións:

  • É múltiplo de 5.
  • 1680 non posúe díxitos en común con dito número.
  • O terceiro díxito é divisor de 8.
  • 2748 ten dous díxitos en común co número e están situados na posición correcta.
  • 3596 ten dous díxitos en común co número mais non na posición correcta.
  • Os dous primeiros díxitos son primos e forman outro número primo.
  • As súas catro cifras suman 14.


Non teño ningunha crítica que facer a este problema, seguramente o máis sinxelo dos 5, ademais do que ten o enunciado máis claro.

28.4.15

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Local-3


O terceiro problema da Olimpíada volveu aos números:


Problema 3:
Unha ONG dispón de 1000 € para mercar xoguetes. A directiva ten dúbidas sobre lanzar dúas campañas:

Campaña 1: Regala un xoguete, na que se pretende que ningún rapaz/a quede sen xoguete.
Campaña 2: Xoguetes de Calidade, na que se buscaría mellorar a calidade dos xoguetes aínda que non se chegara a todos os nenos e nenas.
A directiva pode mercar dous tipos de xoguetes de baixa calidade a 11 € e xoguetes de maior calidade a 17 € e precisan gastar todos os cartos.


  1. Cantos xoguetes de cada tipo comprarían no caso de decidiren lanzar a Campaña 1?
  2. Cantos xoguetes de cada tipo comprarían no caso de decidiren lanzar a Campaña 2?
  3. Indica outra combinación de xoguetes para outra posible campaña.


Para o connoisseur: o problema implica a resolución dunha ecuación diofántica linear. Obviamente non se espera dos alumnos que o fagan explicitamente cousa tal, mais simplemente entender o enunciado supón ver que hai que mercar un número enteiro de xoguetes de cada tipo de tal xeito que se gasten todos os cartos. En cada apartado as condicións varían: no a haberá que mercar o máximo posible de xoguetes baratos, no b o máximo de xoguetes caros e no c calquera outra das solucións intermedias. Hai que salientar que os cativos podían usar calculadora, que para as divisións deste problema resulta especialmente útil.

27.4.15

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Local-2


Sigamos cos problemas da fase local da Olimpíada Galega deste ano.
Despois dun problema aritmético, ou se queredes, alxébrico-aritmético (que estou certo que case todos os profesores chantarían unhas cantas incógnitas no cadrado), veu un problema xeométrico:

Problema 2:
Supoñamos que temos un cubo ao que facemos dous cortes en sentido vertical e dous cortes en sentido horizontal de xeito que os poliedros obtidos tras ambos os cortes sexan cubos iguais.


  1. Representa, no cubo que tes a continuación, a situación descrita no enunciado.
   

  1. Determina o número de cubiños que obtemos. Razoa e explica detalladamente a resposta.
  2. Agora eliminamos a fila de cubos que temos na parte central de cada cara. Representa graficamente esta situación e explica cantos cubos obteríamos.
  3. Supoñamos agora que lle facemos ao cubo inicial un túnel que percorra o poliedro polo cubiño central de cada cara ata o cubiño que ten xusto enfrente. Cantos cubos quedan?


Algún de vós, ao ler rapidamente o problema, non pensou automaticamente na típica división do cubo en 27 cubiños "unitarios"? Dades feito esa disección con dous cortes verticais e dous horizontais? A frase "tras ambos os cortes" significa o mesmo que "tras os dous cortes"? Poñédevos na mente de alumnos de 2º de ESO que non ten a práctica en resolución de problemas dun profesor de Matemáticas e volvede a responder as preguntas...

26.4.15

Olimpíada Matemática Galega 2015-Fase Local


O xoves 23, ademais de coincidir o Día do Libro e a Feira de Moeche (polo norte este último evento é tan salientable coma o outro), celebramos a primeira fase da Olimpíada Galega, organizada pola Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática(AGAPEMA). Esta fase local desenvólvese simultaneamente en varias zonas por toda Galiza: Ferrol, A Coruña, Lugo, Santiago, Pontevedra,Ourense, Vigo. Os alumnos de Cedeira uníronse no I.E.S. Carvalho Calero de Ferrol a outros cativos de 1º ou 2º de ESO da zona (polo sur había de Monfero e Ares, os meus eran os máis setentrionais) traballando 5 problemas matemáticos. Unha estupenda experiencia para os cativos e tamén para o profesor, que hai que agradecer a Agapema e á compañeira do Carvalho Calero.

Nos vindeiros días irei compartindo en orde os problemas cos que se escornaron os rapaces. A solución, como é habitual neste blogue, déixollela aos amables lectores.


Problema 1:
Completa o seguinte cadrado máxico sen que se repita ningún número e de tal xeito que o produto dos números de cada fila, columna e diagonal sexa o mesmo.


Chega soamente con eses dous números?



Só unha pequena nota: o problema ten infinitas solucións, debido a que falta unha hipótese que, por habitual, esqueceron engadir. Coa hipótese adicional, as solucións redúcense a dúas, esencialmente a mesma pola simetría. Sen esa hipótese, as infinitas solucións forman unha familia uniparamétrica.



19.4.15

X+Y

Se supuxestes que esta ía ser unha entrada sobre Álxebra, ides levar unha sorpresa.


Esta entrada vai de cine, dunha película que aínda non vin, ao estilo da que escribín en outubro sobre The Imitation Game. Nesta ocasión a película é X+Y, estreada maioritariamente en festivais fóra de España, polo que o único material dispoñible é un trailer e o que podemos atopar na rede, por exemplo na páxina da película en IMDb ou no blogue de Alex Bellos en The Guardian.




Brevemente, a película xira arredor dun adolescente británico cun xenio especial para as Matemáticas que participa na olimpíada do Reino Unido, nos campamentos de preparación e posteriormente na Olimpíada Internacional para estudantes de bacharelato. Con esa contorna determinada, na película veremos os problemas do mozo coas Matemáticas, a comunicación e o amor adolescente.

Xa un clixé na cultura popular na representación dos matemáticos, a personalidade do rapaz está preto do trastorno autista. Neste caso, por unha vez, está xustificado, pois a película está baseada (daquela maneira) en feitos reais. O propio director da película, Morgan Matthews, realizara no 2007 un documental para a televisión sobre os olímpicos británicos, Beautiful Young Minds, na que un dos rapaces protagonistas, Daniel Lightwing, tiña o síndrome de Asperger (as miñas desculpas aos expertos, teño unha lea importante co tema dos cambios no DSM-5 no referente ao espectro autista).

Cando estea dispoñible por estas latitudes comprobarei se a película dá unha visión veraz das competicións matemáticas e os seus participantes. Polo de agora só queda a oportunidade de pelexar cun problema matemático que o protagonista resolve no clip que compartiron no Guardian:




20 cartas son colocadas en ringleira de xeito aleatorio, todas do revés. Un movemento consiste en coller unha das cartas que están do revés e darlle a volta a ela e á súa veciña da dereita. Demostrar que, independentemente da escolla das cartas, esta secuencia de movementos ten que rematar.

O problema non posúe a dificultade típica dos escollidos para a IMO, como afirma o membro do equipo británico na IMO en 2011 Adam Goucher. A resolución dun problema dunha olimpíada internacional seguramente sería pouco cinematográfica, primeiro polo que levaría atacalo e segundo porque sería tan técnica que o director vería naufragar a película diante dos seus ollos. Porén, este problema serve como escusa para albiscar algo da película, alén do mozo de ollada inquietante, Asa Butterfield, que xa coñecemos de The boy in the striped pyjamas ou máis recentemente, Ender's Game. Na escena vemos tamén a Eddie Marsan, habitual en series británicas e secundario en moitas películas mainstream(Jack the Giant Slayer,p.ex. é unha película dirixida a público xuvenil afastada do canon Disney). No trailer tamén achamos outro prolífico actor inglés, Rafe Spall, presente nas recentes Prometheus e Life of Pi, do que eu salientaría as súas actuacións nas series The Shadow Line e Black Mirror.


Polo menos non terei tan altas expectativas como con The Imitation Game, de xeito que non poderei sentirme defraudado como co biopic sobre Turing. Sempre hai que ver o vaso medio cheo...


12.4.15

Atopa o erro

Collamos unha función calquera dunha clase de cálculo de asíntotas de 1º de Bacharelato:

$$f(x)=\sqrt{x^2+x-2}-x$$

Unha función inocente


Como é usual, calculamos o límite no infinito da función. Neste momento o profesor xa sabe que vai dar un número real, pois "no infinito" a raíz dun polinomio de 2º grao compórtase como unha recta; neste caso con pendente 1. Ao choio:

$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=$$
Agora vén o ubicuo truco de multiplicar por 1, pero un 1 camuflado na expresión
$$\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{\sqrt{x^2+x-2}+x}$$
Este truco ten o obxectivo de evitar a indeterminación $\small{\infty-\infty}$
As contas:
$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=\lim_{x \to \infty}{\frac{[\sqrt{x^2+x-2}-x][\sqrt{x^2+x-2}+x]}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
Agora atacamos a indeterminación $\small{\frac{\infty}{\infty}}$, tamén cun truco recorrente, multiplicar por 1, camuflado desta volta en
$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$
Entón:
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{x^2+x-2-x^2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{x}}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}+1}}=\frac{1}{2}$$

Ben, por fin: a función ten a asíntota horizontal $\small{y=\frac{1}{2}}$

Pero que sucede en $\small{-\infty}?$

Pois algo totalmente diferente:

O límite da función xa non é un número real senón:

$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=+\infty$$
por mor do $-x$ da dereita.

O proceso continúa do xeito común: comparando a función con $x$ en "menos infinito". E sucede o seguinte:
$$\lim_{x \to -\infty}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}-x}{x}}=\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{\frac{x^2+x-2}{x^2}}-1]}=$$
$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}-1]}=0$$

0? De verdade? Pero a nosa función non tendía a $\small{\infty}?$

Editado o 13 de abril: En realidade hai funcións que tenden a infinito no infinito que comparadas coa función identidade teñen límite 0, a primeira que vén á cabeza é $\small{f(x)=logx}$. No contexto do post si tiña sentido a sorpresa.

Déixovos que expliquedes o erro. Porque erro hai, como vemos na gráfica da función:

Que pinta esa recta oblicua?

Afastemos a gráfica:


E esa rama?

Temos un anaco da gráfica por explicar. É factible explicar o fallo técnico do cálculo previo nunha aula de 1º de Bacharelato? 





7.4.15

Que proba esta imaxe?


Non vai de dominós


Que proba a imaxe inicial?

Nada?

Vexamos. Se a anterior figura é a primeira dunha sucesión infinita, a segunda sería esta:

   
 A terceira:
   
 E a cuarta:
   

Agora si: O que vistes é a demostración sen palabras de que feito?


2.4.15

Un problema de optimización

Estaba a ler artigos sobre o que se deu en chamar "mathematical knowledge for teaching" (o que saben os profesores que dan Matemáticas sobre a súa ciencia), cando atopei un artigo sobre representación na resolución de problemas no que uns investigadores da universidade propoñían un test a futuros profesores, alumnos naquel intre de 5º da Licenciatura en Matemáticas. O test incluía tres problemas de optimización, axeitados para a materia Matemáticas I do bacharelato. A tipoloxía dos tres problemas era a estándar: un problema de cruzar un río con velocidades distintas na auga e na terra; un de maximizar a área dunha figura formada por un semicírculo e un rectángulo cando o perímetro está fixado; un de maximizar a área dun cadrado cando os seus vértices están no perímetro dunha figura anteriormente trazada.

Os tres problemas podían ter aparecido na miña experiencia como alumno do antigo 3º de BUP, dentro da rutina "atopa a función de dúas variables a optimizar-relaciona as dúas variables-despexa unha en función da outra-aplica o proceso de optimización á función dunha  variable obtida-interpreta a solución ou solucións obtidas", porén o último dos problemas resultou máis interesante. Observade:

Un espello rectangular de dimensións 80 e 90 cm. rompe por unha esquina en liña recta. Dos dous anacos que quedan, o menor ten forma de triángulo rectángulo de catetos 10 e 12 cm., correspondentes, respectivamente, ás dimensións menor e maior do espello. Cal é o espello rectangular máis grande que se pode obter do anaco maior?

Para ilustrar a situación, elaborei aceleradamente un applet. Antes de fedellar nel ou cos datos do problema, cal é a vosa intuición sobre a solución?




É a mesma que despois? Poríades este problema na materia Matemáticas I da actualidade?