28.7.15

Uns problemas axeitados...


Mentres agardaba a que publiquen os problemas da Olimpíada Matemática da Comunidade de Países de Lingua Portuguesa, estiven a fedellar pola rede na pescuda de pasatempos. Velaquí os tedes:


O primeiro, pura técnica alxébrica, é máis complicado do que parece. Atopeino na Olimpíada de Irlanda do ano pasado:
  • Se a, b, c son números distintos e non nulos que cumpren 
$$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}=p$$
amosar que $$abc+2p=0$$

O segundo é de optimización, mais non o habitual. Vino nun libro do que non gardei a referencia:
  • Se $\theta$ é un ángulo menor que un recto, atopar o rectángulo inscrito nun sector da circunferencia de radio 1 que teña amplitude $\theta$ coa maior área posible

   
Se queredes unha pista, ese máximo é

$$\frac{1-cos\theta}{2sen\theta}$$



E para o último, observade a seguinte figura:

   
Neste taboleiro 7x7 vemos 7 fichas postas de tal xeito que as 21 distancias existentes entre elas son todas distintas. A colocación destas 7 fichas apareceu suxerida por Erdös e Guy no seu artigo "Different Distances between Lattice Points" na revista Elemente der Mathematik(que está na rede); aínda que eu souben dela nun primeiro momento no espléndido Famous Puzzles of Great Mathematicians de Miodrag Petkovic Pois o problema que vos propoño eu é:
  • Colocar en taboleiros nxn n fichas de tal xeito que as distancias entre eles sexan todas distintas, sendo n=4,5,6

Sorte cos problemas.

0 comentarios:

Post a Comment