28.9.15

5 horas semanais


A introdución da LOMCE nos cursos impares provocou, entre outras cousas, que teñamos en 1º de ESO clase de Matemáticas todos os días da semana. Deixando á marxe que se de min dependese non engadiría unha hora ás catro que xa tiñamos, senón que recolocaría os contidos de 1º e 2º para non repetir unidades enteiras, neste contexto pensei que podía facer coa hora extra. Descartando dedicala a facer cálculos máis longos, aplicar algoritmos máis enleados ou chantar máis decimais(en fin), a alternativa obvia para min foi utilizar a hora para resolver problemas. Isto non quere dicir que non vaiamos traballar problemas as outras catro horas, simplemente significa que esa hora vai ter ese uso exclusivo. Ademais teño pensado que ataquemos problemas máis inusuais, diferentes dos típicos "enunciados con moitas palabras" que enchen os libros de texto; nisto inclúo problemas con máis dunha solución, problemas abertos, e desde logo, problemas para os que non proporcione eu con anterioridade a ferramenta axeitada. Por último pretendo que a resolución sexa cooperativa sempre que a esencia dos propios problemas non o impida.

A primeira dúbida xa a tiven cando argallaba a primeira hora de problemas: tendo en conta que practicamente non empezáramos o curso, que tarefa podía ocupar esa clase?


Por sorte sigo unha manchea de blogues de profesores no feedly (tristemente a maioría anglosaxóns) que amablemente comparten moitas das actividades que levan ás súas aulas. Non só sigo profesores de high school, o equivalente ao noso rango de 3º de ESO ata 2º de Bacharelato, senón tamén de middle school, i.e., 6º de EP e 1º e 2º de ESO. A fin de contas son os dous cursos que máis veces teño traballado nos 12 anos que levo propagando o mal desde o meu posto. Entre estes blogues de middle school, un dos que comparten actividades elementais pero moi interesantes é Finding Ways, o blogue da profesora californiana Fawn Nguyen. E de aló tirei a idea para a actividade do 1º día.

Como o único do que faláramos era a notación decimal posicional, e os exercicios típicos son ben mecánicos, propuxen o seguinte aos alumnos:


  1. Coas cifras 2, 5 , 7 e 3 construímos números de catro cifras.
    1. Cal é o maior número que podes construír?
    2. E o menor?
Nota: é claro que isto é quecemento para que os alumnos collan seguridade. Perversamente tamén funciona como efecto áncora para o que vén despois
  1. Coas cifras 5, 3, 8 e 6 construímos dous números de dúas cifras.
    1. Como haberá que colocar as cifras para que a suma dos dous números sexa a maior posible?
    2. _ _ + _ _ =
    3. E para que sexa a menor posible?
    4. Como haberá que colocalas para que a resta dos dous números sexa máxima?
    5. _ _-_ _ =
    6. E para que sexa mínima?
    7. Como haberá que colocalas para que o produto dos dous números sexa máximo?
    8. _ _ · _ _ =
    9. E para que o produto sexa mínimo?

    Finalmente, como bonus, engadín o problema orixinal de Finding Ways:

    1. Coas cifras 8, 4, 5, 7 e 2 forma dous números, un de tres cifras e o outro de dúas cifras. Como haberá que colocalas para que o produto sexa máximo?
       
    Recoméndovos que pensedes do 2)d) en diante, sobre todo o bonus, que algunha sorpresa aínda podedes levar... E despois quizais dea lugar a pensar se nisto hai unha regularidade (como colocar números a>b>c>d>e...) ou a colocación depende das cifras concretas que un utilice.

20.9.15

Un problema de optimización de Princeton


Aínda non sei a razón, mais este tipo de problemas, sendo ben sinxelos, son dos que máis me prestan. Non hai máis que revisar o historial deste blogue para atopar unha chea de exemplos.
No problema de hoxe non vos queda outra que pensalo para saberdes que ten de interesante.

Como vemos na figura, os cadrados ABCD e CEFG están colocados xuntos (i.e., C está entre B e E e G está entre C e D). Se CE=14, AB>14, calcula a área mínima do triángulo AEG.


   


Se queredes atopar outros problemas deste tipo, ide aos arquivos da web da competición, PUMaC2015 Archives

17.9.15

A Escaleira do Monte Meru


...ou como dicimos por acó, o triángulo de Pascal (ou Tartaglia). Onte vin por varios sites esta animación TED que conta as características básicas do devandito triángulo para aqueles que non tiveran a sorte de ver Combinatoria no antigo 1º de BUP. Botádelle unha ollada:


12.9.15

Have you tried turning it off and on again?


Are you from the past?


Algunha vez teño comentado por acó que eu levaba a coordinación Abalar do meu centro. E digo ben levaba, pois despois de catro anos, este curso por fin deixarei de preocuparme polos malditos netbooks. Anécdotas, como é lóxico e previsible, gardo centos, mais do tipo das que non se poden contar. Só hei comentar unha axeitada aos temas habituais deste blogue: os problemas.


Estaba eu nun departamento de FP do meu centro argallando cunha impresora, ou fedellando nun navegador, ou remexendo nos programas instalados dun PC... Para os que non o imaxinen, a estratexia habitual é a seguinte:
1) ler con coidado a información que tes diante
2) buscar en google a solución

Pola miña experiencia estimo que hai máis xente que non fai 1) ca 2), co cal atopan solucións para problemas que non teñen.

Pero ao que ía, que tampouco é cuestión de arranxar contas onde ninguén o vai ler:

Na bandexa dunha impresora do departamento, seica de xeito casual mais certamente semellaba destinada para min, había unha folla coa impresión dun triángulo con puntos nos lados, cun texto embaixo que, tiña que ser, o enunciado dun problema xeométrico:

Imposible de confundir

O problema tiña un estilo algo alleo ao habitual:

Dúas rectas concorrentes en A. Damos puntadas AB, BC, CD,... UV da mesma lonxitude entre as dúas liñas concorrentes. A primeira, AB, sobre unha das rectas, que chamaremos horizontal, as demais comezan alternativamente nunha das rectas e rematan na outra.
A puntada 20ª UV resulta ser vertical.
Sempre no mesmo sentido(p.ex. cara á dereita), non se pode retroceder.
A distancia AU é 25 cm.
a) Canto mide o ángulo A?
b) Cal ten que ser a lonxitude da puntada ?

O termo "puntada" e o debuxo que queda, fan pensar efectivamente nun fío.

Para axudar un chisco, deixo a imaxe coas puntadas ben dadas, para os incautos lectores:

Non hai K, e iso que o problema estaba en castelán...



Nota mental: cando esteas a destruír documentos de cursos pasados non lles botes ningunha ollada. Lume con todo.





7.9.15

Problemas matemáticos da Lusofonía-2


Despois de moito pescudar pola rede os problemas da V Olimpíada Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa (previamente por acó) acabei atopando os documentos nun lugar que nin contemplara, nas novas da Organización de Estados Iberoamericanos, que vén de asinar en xullo un convenio de colaboración coa devandita CPLP:


Na ligazón anterior podedes atopar os dous documentos ao remate da páxina, xunto con fotos do evento.

Dos seis problemas propostos querería salientar o 5º e o 6º:

5. Dúas circunferências de raios R e r, com R>r, são tangentes entre si exteriormente. Os lados adjacentes à base de um triãngulo isósceles são tangentes comuns a essas circunferências. A base do triãngulo é tangente à circunferência de raio maior. Determine o comprimento da base do triãngulo.


6. Considere a sequência $(a_n)$ dada por $a_1=2$ e $a_{n+1}=a_n^3-a_n+1$ para todo $n \geq 1$ Assim, por exemplo, $a_2=2^3-2+1=7$ e $a_3=7^3-7+1=337$. Prove que se p é um divisor primo de $a_n$, então p>n


Agora sei que tamén podería ter atopado os problemas na páxina en Facebook das Olimpíadas Portuguesas de Matemática, agardemos que a CPLP manteña unha web estable cos problemas dos vindeiros anos.

2.9.15

Todo é linear


Non todo tempo pasado foi mellor, porén...

Tiña pensado volver ao blogue cunha entrada memorable coa miña opinión con respecto a un procedemento que vén no curriculum desde a LOXSE. Por sorte para vós, collín o último libro de problemas que merquei nunha feira do libro de ocasión, Desafíos Matemáticos de Angela Dunn, e atopei este problemiña:


Dous pilotos compiten nunha carreira de aceleración. Ambos os dous aceleran de xeito uniforme desde que arrancan no punto de partida. Alberto cobre o último cuarto da distancia en 3 segundos; Roberto cobre o último terzo en 4 segundos. Quen gaña?



O problema pareceume interesante porque ilustra perfectamente o que sucede acotío nas aulas: a suposición tácita de que todas as magnitudes que aparecen nos problemas son directamente proporcionais. Como neste caso os alumnos poden intuir que a solución linear é absurda, véxoo axeitado como starter. Tamén é susceptible dunha discusión das gráficas usuais no movemento acelerado.


Atopei a fermosa visualización da cabeceira en The most timeless songs of all-time. Na imaxe vemos as cancións dos 90 máis reproducidas en Spotify, mais na web recollen, alén dos datos globais, outras curiosidades: os datos referentes só a cancións de rap, os dos billboards dos últimos 50 anos, as gañadoras dos Grammy, ... Aínda por riba, a base permite pescudar por canción ou artista, o que pode destruír a vosa produtividade como fixo coa miña (claro que eu teño Procrastinating Level: God).

Aínda non argallei unha maneira, mais vexo factible e interesante traballar cos datos na unidade de Estatística. Veremos o xeito.