20.10.15

O seno da suma (cunhas poucas palabras)


Lendo un manual sobre como ensinar Matemáticas, How to Teach Mathematics de Steven G. Krantz, atopei esta estratexia para demostrar a fórmula do seno da suma de ángulos. Como este ano estou a dar Matemáticas I, aproveito o blogue para ter a imaxe a man.

Imos ver que $$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

A idea é ben sinxela: creamos dous triángulos rectángulos cun cateto común e con ángulos $\alpha$ e $\beta$ (isto vai representar unha eiva na demostración, a que se adoita facer tampouco funciona para ángulos non agudos) e xuntámolos de tal xeito que formen un triángulo cun ángulo $\alpha + \beta$:

   


Agora razoamos sobre as áreas dos triángulos implicados:

A área do triángulo rectángulo superior é $\frac{a h sen\alpha}{2}$, a do triángulo rectángulo inferior é $\frac{b h sen\beta}{2}$, mentres que a área do triángulo grande é $\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}$
Igualando:

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a h sen\alpha}{2}+\frac{b h sen\beta}{2}$$ (1)

Traballando nos triángulos rectángulos obtemos:

$cos\alpha=\frac{h}{a}\rightarrow h=a cos\alpha$
e
$cos\beta=\frac{h}{b}\rightarrow h=b cos\beta$

Utilizando estas dúas igualdades en (1):

$$\frac{a b sen(\alpha+\beta)}{2}=\frac{a b \cdot sen\alpha cos\beta + b a \cdot  cos\alpha sen\beta }{2}= \frac{ab \cdot (sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta)}{2}$$

De onde obtemos a consabida igualdade:

$$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta+cos\alpha sen\beta$$

Esta estratexia non funciona directamente para probar a fórmula do coseno da suma, para isto teremos que argallar previamente co Teorema do Coseno.

5 comentarios:

  1. Teño o How to teach mathematics de Krantz no ereader esperando turno para a súa lectura. Que tal está, merece a pena?

    ReplyDelete
  2. Pois creo que non o lin enteiro entre todas as veces que o collín polo medio... Ten ideas interesantes, unha bibliografía fabulosa,... e creo que foi a 1ª vez que lin sobre o método Moore. Agora: dáme a min que lelo de principio a fin pode ser ben aburrido. Pero hai que recoñecerlle o esforzo por escribir un libro realmente práctico sobre o ensino das Matemáticas, que moitos non hai.

    ReplyDelete
  3. Fíxenme con el e aínda non lle botei un vistazo sequera, teño tanta lectura atrasada e tan pouco tempo... pero xa que me contas iso igual lle vou botando algunha ollada de cando en cando.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Ah, cadoi, que estiven a pensar nisto e lembrei que unha opción non tan formal como a do Krantz é Twenty Years before the Blackboard, de Michael Stueben. A segunda parte vai de humor e anécdotas matemáticas, e a estas alturas xa as coñecerás case todas, mais a primeira, sobre a súa experiencia como profesor, si que a vexo útil.

      Delete
  4. Apúntomo, moitas gracias.

    ReplyDelete