6.10.15

Solución do problema de optimización de Princeton


Non é habitual que escriba solucións neste blogue, pero xa que unha lectora fixo un comentario ao problema aludido no título, o post de hoxe vai ser unha excepción.

Lembremos o problema:

Como vemos na figura, os cadrados ABCD e CEFG están colocados xuntos (i.e., C está entre B e E e G está entre C e D). Se CE=14, AB>14, calcula a área mínima do triángulo AEG.


 
Para axudar á intuición sempre temos dispoñible o Geogebra, que introduce movemento nas figuras dun xeito moi sinxelo:


Podedes facer scroll coa roda do rato e mover o esvarador 


O texto que aparece no applet é dinámico, aínda que non o pareza, pois sempre toma o valor 98. Se for deste xeito, a solución do problema é inmediata: o valor mínimo desa área é 98. Vexamos que este feito é case obvio, marcando un punto máis no debuxo:

   
A área do trapecio rectángulo ABCG coincide coa área do triángulo rectángulo ABE, pois a suma das bases do trapecio coincide coa base do triángulo (AB+GC=BC+CE) e as alturas tamén (BC=AB). De aquí deducimos que o triángulo AGH ten a mesma área que o triángulo HCE (pois sumando estas áreas á do trapecio ABCH obtemos, respectivamente, as áreas de ABCG e ABE). Finalmente deducimos que a área buscada do triángulo AEG coincide coa do triángulo CEG (que é a metade do cadrado fixo), pois as dúas proceden de sumarlle á área GHE os valores idénticos (AGH) e (HCE). Por tanto a área de AEG é sempre 14·14:2, independentemente do valor do lado AB, q.e.d.

2 comentarios:

  1. Cando vira o problema enseguida pensei: se hai que calcular a área do triángulo, como non se lle ve claramente ningunha altura, pois a fórmula de Herón. Pero pronto me decatei de que por aquí non chegaba a ningures.
    Buscando outra forma de abordar o problema fixeime na área exterior ao triángulo AGE. Así que a área do triángulo que nos piden é a da suma da dos cadrados menos a área dos tres rectángulos rectángulos: ABE, ADG e EFG.
    Chamémoslle x á lonxitude de AB, entón a suma da área dos cadrado é: ${ x }^{ 2 }+{ 14 }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+196$$
    A área que lle debemos restar é a dos tres triángulos, que suman:
    $$\frac { (x+14)\cdot x }{ 2 } +\frac { (x-14)\cdot x }{ 2 } +\frac { { 14 }^{ 2 } }{ 2 } ={ x }^{ 2 }-98$$
    Restando as dúas expresións anteriores obtemos a área do triángulo que nos piden: 98.
    Bonito problema, e sobre todo cunha solución con premio.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Hai que recoñecer que é ben curioso que a área non varíe. A simple vista non é evidente. Imaxina poñer isto en Matemáticas I: todos os cativos agardando pola función a optimizar XD

      Delete