11.12.16

roTopo

Peza L do Blockout?

Non sei como se me pasara este xogo, roTopo, que xa foi publicado en marzo deste ano. Trátase dun xogo de puzzles topolóxicos, a priori dun tipo ben coñecido: tes que pasar por todas as baldosas dunha figura para pasar a pantalla, e as celas polas que pasas desaparecen(como o cliché das películas de aventuras). Mais, ao contrario que por exemplo o Tilox, non se trata dun xogo de puzzles estrito, pois podes modificar a túa estratexia a medida que o teu personaxe vai andando. O Tilox, en troques, é un xogo no que cada pantalla queda determinada desde a presentación. Podemos afirmar en consecuencia que o roTopo está a medio camiño entre o puzzle e o xogo de habilidade.

En roTopo, ademais, os puzzles non se constrinxen ao plano como no Tilox, o que incrementa a dificultade e tamén mellora a estética, aínda minimalista. Rexistrándovos con google ou Facebook poderedes xogar máis niveis cós da demo e tamén gardar o voso progreso.

Un nivel do grupo de aneis
E un nos que tes que moverte por dentro da figura

Outro bo xogo para a longa lista dos que amosan moitas Matemáticas das que non caben no curriculum.

3.12.16

Por que resultan tan complicados os logaritmos?


Boromir tamén lle preguntou ao seu profesor cando ía usar os logaritmos

Lamento confesar que, aínda que coido que sei por que resultan difíciles en 4º de ESO (e tamén en bacharelato), non teño ningunha idea que vaia solucionar este problema, alén de simplemente non traballalos ao nivel axeitado(estratexia habitual en certos ámbitos: se é difícil, omíteo...)

Nos anos que levo traballando non adoptei conscientemente moitas crenzas, porén podo recoñecer as seguintes:
  1. Calquera definición matemática que introduza unha frase subordinada resulta difícil.
  2. Calquera notación na que apareza máis dunha variable resulta difícil.
  3. Calquera concepto que utilice conceptos anteriores que non quedasen transparentes resulta difícil
 Agora observade o deostado logaritmo:

$\log_a b$ é o expoñente ao que hai que elevar a base a para obter o número b

É dicir: 
$\log_a b=n \iff a^n=b $

Velaí:
  1. Frase subordinada $\checkmark$
  2. Máis dunha variable $\checkmark$
  3. Conceptos anteriores escuros $\checkmark$
Queda claro que ten que resultar difícil, non si?

A secuencia típica inspirada pola estrutura matemática do concepto leva a que, despois de definir o concepto e ver exemplos, ás veces certamente complicados como
$$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{81}$$
, vexamos as propiedades básicas, que son as que fan interesante o logaritmo, pero que se converten nunha táboa de receitas a seguir en cálculos intricados.

Inciso: que fai realmente interesante ao logaritmo? Na miña opinión, dúas cousas: o seu uso imprescindible posterior dentro das propias Matemáticas e a súa aparición noutras ciencias. O problema coas aplicacións(de novo na miña opinión) radica en que a modelización das situacións é demasiado complicada e que o seu ámbito natural é o das relacións funcionais, xeralmente posterior no curso,e para máis inri, adoitan usar a función exponencial de base o esotérico número e.

Volvendo ao tema, un dos exercicios puramente técnicos que poño habitualmente nas clases de 4º é o seguinte:
  1. Calcula $\log_a a^x$
  2. Calcula $a^{log_a x}$
Mentres que o primeiro é inmediato para a maioría dos alumnos, aínda que pola razón equivocada, o segundo é para moitos virtualmente imposible de desenlear, nin cambiando as letras por números(truco que funciona parcialmente).

Curiosamente, a mellor estratexia que atopei para facer ver o segundo coincide coa que utilizaba o coñecido profesor Ricardo Moreno segundo expón Cibrán en Problemas de Alcuíno: repetir o dito.

Nas clases insisto moito en que diante do cálculo dun logaritmo sempre temos que facernos unha pregunta que comeza por "a canto hai que elevar a base para obter o número?" (ante calquera cálculo hai que facerse unha pregunta, tampouco é a gran cousa). Na primeira das cuestións que propoño, os alumnos xa teñen esquecido o concepto e argallan coa importante propiedade de que os expoñentes "saen fóra multiplicando". Pero facerse a pregunta, en voz alta mellor, é esclarecedor: "A canto hai que elevar a para obter $a^n$?"(facepalm dos alumnos). Unha vez entendido isto, vén a repetición de preguntas para a segunda:

Profesor: "Quen/que é $log_a x$?"
CHORUS: "O número ao que hai que elevar a para obter x" (a resposta comeza sendo tímida)
Profesor: "Quen hai que elevar?"
CHORUS: "a"
Profesor: "Ou sexa, que se elevamos a a ese expoñente, obtemos...?"
CHORUS: "x"
Profesor: "..."
Repeat

A receita consiste en facer varias iteracións deste proceso, de tal xeito que os alumnos van caendo do burro(os que teñan a cabeza posta na clase, claro). E como apuntei antes, axuda que eles mesmos se fagan a pregunta en voz alta.


É incrible o pouco que sei do traballo que fago, e dáme que non son o único amateur no choio.

20.11.16

Cousas que só atoparás nun libro de texto-3


A tradición deste blogue obriga a que o título desta entrada continúe a serie "Cousas que só atoparás nun libro de texto" (previously 1 e 2), pero o título alternativo "Por que coido que o meu libro de texto me odia?" tamén lle acaía, veredes a razón. Pero antes, algo de contexto.

Despois de 6 anos no mesmo centro, este curso estou de volta no meu instituto de toda a vida: está no barrio no que nacín, estudei nel con amigos que sigo tendo con algún profesor que aínda traballa aló,e por se fose pouco, é o centro no que fixen o ano de prácticas cando aprobei a oposición. Ademais de ser o primeiro curso nun centro "novo", é tamén a miña primeira vez nun equipo directivo, pois os únicos cargos que tivera foran os de titor e a coordinación Abalar/TIC. Como ocupo a xefatura de estudos, en troques de dar clase, teño unha chea de horas para as funcións específicas do cargo (imaxino que queda claro ao ler este blogue que esta situación non é voluntaria). En conclusión: só dou unha materia nun grupo, Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas de 4º de ESO. Os alumnos desta materia teñen un libro de texto da editorial Santillana prescrito antes de chegar eu. Xa teño usado libros desta editorial, neste propio centro e no da Rúa no que estiven dous cursos hai oito anos. Teño memorias pouco nítidas dos libros que usei en Oleiros, lembro algún de Xerais e de Algaida(este unha edición especial de Anaya, aquel a tradución ao galego); en Cedeira tiñamos libros de Anaya ata o último ano que cambiamos a SM na ESO, non así no Bacharelato porque a editorial non tiña libros de Matemáticas en galego e aló tiñamos Matemáticas I na nosa lingua. O rango da calidade dos libros que coñezo vai desde o pésimo ata o regular, sendo o deste ano malo con avaricia. Axiña estaredes de acordo comigo.

Comecemos vendo como un libro de texto pode boicotear a estratexia do profesor para que os alumnos entendan un concepto:
Receitas, receitas everywhere

Continuemos cun exemplo no que comprobamos que o autor do libro utiliza certas calculadoras Casio que implementan unha xerarquía de operacións modificada:

Falta algo no c e d do 102?


Isto require explicación, supoño: nas calculadoras científicas hai un botón rotulado EXP(nas últimas ·10^x ou algo semellante) que serve para adosarlle á mantisa a súa orde de magnitude. Sucede que se na calculadora facemos 8,3 EXP 6 : 5,37 EXP 2, o resultado é o axeitado para dividir eses dous números en notación científica, e obtés algo de orde 10^4. Pero se un é rigoroso, o apartado c dá un resultado de orde 10^8.

Prosigamos cun malabarismo na marxe(menos mal que só lemos os que deixa Fermat):

Recuerda?

Agora, na unidade de Álxebra, vén algo que tampouco axuda moito:

O feito de que os tenistas falen en Comic Sans só incrementa o pánico

Fagamos un inciso para amosar unha figura absurda no medio duns exercicios mecánicos:

Figura ilustrativa dos métodos utilizados(ains)

 E finalicemos coa voráxine final, na folla dobre á que, imaxino, menos caso se lle fará nas aulas:

 
En la vida cotidiana...
Primeiro, meten moito texto nun exercicio que se pode facer moito antes deste curso(lembremos:Matemáticas Académicas de 4º de ESO), para, ademais, introducir dun xeito puramente artificial o contido máis básico da unidade(xa nin considero como erro que o exercicio 94 só sirva para valores de x maiores que -2)



En que anel do Inferno de Dante estaban os autores de libros de texto?


E, finalmente, a apoteose: como proxecto de traballo cooperativo non deberon de dar atopado nada relacionado coa Álxebra, así que chantaron o primeiro que lles veu á cabeza. Embaixo, unha actividade PISA que non se pode considerar un problema matemático, pois a única dificultade que tería xa está resolta no enunciado.

Dáme que esta non vai ser a derradeira entrada dedicada a este libro de texto...

Editado ás 12:38: Esquecera que Dan Meyer mantén un xogo os sábados con exemplos de pseudocontexto atopados en libros de texto. Ide aló se queredes botar unhas risas: Pseudocontext Saturdays

23.10.16

Unha adiviña cun chisco de movemento

Que está a suceder aquí?




Agardando que algún día teña máis tempo para a docencia, deixo esta pequena adiviña como primeira idea cara unha versión 3D do xogo Z-Rox do que falei brevemente na xornada de Matemática Recreativa de Agapema do ano pasado.

12.10.16

Avaliar é sinxelo, non si?


O bloque de contidos que comeza o curriculum de Matemáticas na ESO é o de Números e Álxebra. Aínda que cada novo curso incrementa o nivel de profundidade ao introducir novos conxuntos numéricos, a sensación nos alumnos é de que están a dar outra vez o mesmo.
Observando os estándares de aprendizaxe dos distintos cursos:
  • En 1º e 2º:
MAB2.1.1. Identifica os tipos de números (naturais, enteiros, fraccionarios e decimais) e utilízaos para representar, ordenar e interpretar axeitadamente a información cuantitativa.
  • En Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas de 3º:
MACB2.1.1. Recoñece distintos tipos de números (naturais, enteiros e racionais), indica o criterio utilizado para a súa distinción e utilízaos para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.
  • En Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas de 3º, por contra, non hai un estándar de "recoñecemento":
MAPB2.1.2. Distingue, ao achar o decimal equivalente a unha fracción, entre decimais finitos e decimais infinitos periódicos, e indica, nese caso, o grupo de decimais que se repiten ou forman período.
  • Nas dúas materias de 4º:
MACB2.1.1. Recoñece os tipos de números reais (naturais, enteiros, racionais e irracionais), indicando o criterio seguido, e utilízaos para representar e interpretar axeitadamente información cuantitativa.
(o nome do estándar cambia a MAPB2.1.1 na outra materia, detalle fundamental...)

Ademais, o carácter fortemente abstracto dos números irracionais e reais fai que sexa case imposible a comprensión dos conceptos no momento no que se traballan. Isto provoca, por exemplo, que tratemos os números irracionais dun xeito pouco rigoroso, identificándoos de xeito máxico cos números decimais infinitos e non periódicos. Tamén, máis adiante, leva a que o concepto de continuidade estea apoiado soamente en
cuestións intuitivas, pois as propiedades topolóxicas da recta real mantéñense ocultas. Como xa compartín a visión do matemático de Berkeley Hung-Hsi Wu sobre estes aspectos e outros relacionados do ensino das Matemáticas nos institutos noutras entradas, remítovos a elas:

Pois ben, o habitual é que os profesores avaliemos este recoñecemento dos tipos de números mediante un exercicio máis ou menos semellante a este que puxen eu a semana pasada en 4º:

Clasifica os seguintes oito números segundo os conxuntos numéricos aos que pertenzan:
$$\sqrt{1000}, \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}, 3+\sqrt{2}, \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$
$$0'313113111 \dots, 4'0\overline{72}, -(\sqrt{7})^4, |-3^2|$$

Obviando que este exercicio non está a avaliar unicamente o recoñecemento dos números, senón tamén o cálculo elemental, o que vai interferir co anterior(isto hai que telo en conta ao avaliar), que opcións temos os profesores ao calificar as respostas dos alumnos? E previamente a iso: que opcións temos respecto á estrutura da resposta?

Estas preguntas, sobre todo a segunda, só agroman cando un deseña as probas de avaliación. A priori debería ser sinxelo saber se un alumno recoñece os distintos tipos de números, non si?
Observade dous marcos posibles para a resposta:

Dáslles xa ti os conxuntos
Non lles dás nada máis que os números orixinais




Decatádesvos dos distintos resultados que podería obter un mesmo alumno segundo o marco utilizado?
Aínda máis: supoñamos que este exercicio supuxese un punto nunha proba, como valoraríades as respostas parciais? No 1º marco, se un alumno recoñece todos os naturais mais non os inclúe despois como enteiros ou racionais(o de que todos os números que coñecen son reais si é sinxelo de lembrar), como o calificaríades? No 2º marco, se un alumno clasifica correctamente os números naturais mais tamén inclúe nos naturais incorrectamente un número fraccionario e un (gasp!) irracional, daríades por boa a primeira clasificación?

Sei ben que esta avaliación é moi mellorable e que no tocante á clasificación de números, unha parola de 2 minutos cun alumno xa abonda para determinar o seu coñecemento(omitindo a parte que comentei arriba que interfire, pois o cálculo supón unha sobrecarga da memoria operativa para que se faga sen lapis). Mais coido que, co tempo que temos nas nosas mans e os alumnos nas aulas, a avaliación oral é case impracticable.

Pensastes algunha vez neste tipo de cuestións? Agardo que non sexa outra teima persoal máis...

26.9.16

De tres en tres


Revisando alertas de google no gmail pasei por riba dun problema do que eliminei a fonte. O voso traballo vai ter dúas partes: a primeira saber cal era a pregunta e a segunda, atopar unha solución mellor.

O primeiro:

Cal é a pregunta se

$$a_n=\frac{4 Re(\omega^n)-1}{3}$$

onde $\omega$ é unha raíz cúbica imaxinaria da unidade (i.e., $\omega^3=1, \omega \neq 1$)

é a solución?

A segunda:

Dás atopado unha solución máis sinxela?

18.9.16

Comezo de curso 2016/17


Como xa avisei con anterioridade, ían vir tempos de poucas publicacións neste blogue. Á razón principal insinuada nesta entrada hai que engadir outra: este curso e o seguinte vou ocupar o cargo de xefe de estudos no novo centro. Quizais cando se estabilice o centro, que baixo a implementación da LOMCE nos cursos pares está a vivir unha verdadeira crise(e teño coñecemento de moitos outros centros da bisbarra na mesma situación), poida publicar algunha entrada sobre Matemáticas; case seguro non hei publicar sobre as cousas que fago na aula, pois só vou dar unha clase de Matemáticas(orientadas ás ensinanzas)académicas de 4º de ESO. Quen sabe se non terei que preparar reválidas...

E como nesta mañá de domingo xa lle estou a roubar tempo ao novo traballo, non podo comentar un par de ideas matemáticas que tiña por aí agardando. Só hai espazo para a última ilusión viral, que vaticino que moitos xa veríades:


Para os que non a coñecérades aínda, o abraiante desta ilusión compartida hai unha semana polo profesor de Psicoloxía Akiyoshi Kitaoka na súa páxina de Facebook reside na imposibilidade de vermos os 12 puntos negros simultaneamente. Se queredes saber máis, tedes dispoñible a explicación do xornalista científico Antonio Martínez Ron en Next.


24.7.16

Outro feito curioso nos naturais


Atopei un anaco para actualizar cunha propiedade elemental ben curiosa, tamén dos números naturais como a desta entrada de hai uns anos. Sería recomendable que collérades lapis e papel para probar vós mesmos con outros casos. Observade:

Collamos todos os números naturais ata un número par calquera, eu de exemplo vou coller ata o 10.
$${1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$$
Dividide aleatoriamente en dúas metades o conxunto:
$${2,5,7,9,10}$$
e
$${1,3,4,6,8}$$
Agora arranxade a primeira de xeito crecente(xa está) e a segunda de xeito decrecente
$${2,5,7,9,10}$$
e
$${8,6,4,3,1}$$ 

Calculade a distancia(que sempre é positiva, vaia, falamos do valor absoluto da diferenza) entre os termos correspondentes de cada metade:
$${6,1,3,6,9}$$ 

E sumade esas distancias:
$$6+1+3+6+9=25$$

E ben?-Preguntará algún. Pois o abraiante é que ese mesmo resultado, 25, vai aparecer ao final do procedemento escollas como escollas as metades. Probemos con outra, ou mellor aínda, probade vós, agora que xa sabedes, ordenemos xa no primeiro paso:
$${2,4,7,8,9}$$
$${10,6,5,3,1}$$
$$8+2+2+5+8=25$$ 

O dito: sexa cal sexa a división en metades, o número vai ser sempre o mesmo, i.e., é un invariante, que só depende do número par escollido ao comezo do post.

Quédanvos dúas tarefas para o final de xullo:
1) Que número vai aparecer se seguimos este procedemento con, poñamos, o número 60?(pregunta que imaxino xa respondestes namentres líades o post)
2) Por que?

Non vou revelar o nome deste feito para que teñades que argallar vós un chisco, só o lugar onde eu o vin por primeira vez. Como noutras ocasións, foi nun libro do prolífico Titu Andreescu, Mathematical Miniatures, fonte dunha morea de xoias matemáticas.





2.7.16

Outro cambio máis, con ilusión


As hordas de seguidores deste blogue terán observado que levo un mes sen actualizalo(inciso: canto menos publico no blogue, menos vistas teño; canto menos publico en twitter, máis seguidores teño!?). Isto non se debeu á falta de ideas senón á falta de tempo para levalas ao HTML, e iso que pasei case un mes de permiso(botade contas). Co gallo do fin de curso sinto que é necesario facer un pequeno off-topic.

Este foi o meu último ano no destino no que levo 6 cursos. Segundo cambio de destino desde que abrín este blogue e segunda crise consecuente que vivirá, pois non sei aínda se poderei publicar a un ritmo que permita afirmar que segue aberto. Coa cadencia deste ano que remata, dunha entrada cada 5 ou 6 días, quedei satisfeito considerando que tiña que preparar 6 materias distintas.

(Aviso: O que vén pode soar un pouco pretensioso)

Cando lin a 1ª revista Gamma da nova xeración, o número 13, lin con ansia varios artigos, entre eles Blogosfera Matemática. Non só polas razóns obvias senón tamén porque o seu autor é unha referencia para min no ensino das Matemáticas en Galiza (ademais dun amigo). Cinguíndonos aos blogues de Matemáticas en galego, podemos constatar unha realidade decepcionante: Dous Ferrados leva sen actualizar dous anos, Dúbidas de Mates tres anos; Mathesis mantén un ritmo envexable, mais non é propiamente un blogue senón un boletín creado polo traballo dos alumnos do IES Otero Pedrayo; Tetractis leva catro anos inactivo... Vaia, que os únicos dous activos son os Retallos de Matemáticas do compañeiro Cibrán (o que ten moito mérito dado que leva paralelamente o moi activo Carta Xeométrica) e, agora menos, este Matemáticas na Rúa.
Se pescudamos un chisco pola rede(ou polas ligazóns dos Retallos, e acabamos antes), veremos máis casos semellantes: DdMatemáticas actualizou a semana pasada, mais en todo o ano publicaría 6 veces máis(cando o ano pasado tivo un bo ritmo cos seus crebacabezas), o Mateblog Agra de Raíces leva desde novembro sen novas publicacións, Matemáticas a bocados(que descubrín tristemente tarde) desde o 2012, etc.
En conclusión, ocorre que a blogosfera matemática galega presenta unha paisaxe post-apocalíptica, só falta que o protagonista a cabalo vexa a Catedral de Santiago medio derruída ao final da película... E aquí vén o anaco pretensioso anunciado: en certo sentido sinto algo de responsabilidade no mantemento desa cativa blogosfera, aínda sabendo que nin o 1% dos profesores de Matemáticas galegos coñecerán este blogue, e que dese 1% prefiro nin estimar a cantos lles podería interesar. Lamentablemente, pola mesma razón que pedín o permiso que comentei antes, este ano coido que non hei actualizar con frecuencia este blogue, que a fin de contas segue a ser un pasatempo do seu autor. Estades perdoados por tanto se non vos pasades moito por acó.

Aproveitando a entrada, velaquí a ilusión máis abraiante dos últimos tempos, que xa fixo o seu percorrido polas redes a semana pasada, e que pode servir como escusa para falar na aula das propiedades análogas de prismas e cilindros:


Se non detectades o quid do vídeo á primeira, poñédeo en HD ;) 

Un saúdo, pois non sei cando nos veremos...

26.5.16

Cala un chisco, J


...e deixa que ollen, a ver en que reparan:


19.5.16

Xogos hiperbólicos


Estamos afeitos inconscientemente a asumir que os xogos se desenvolvan en terreos que cumpren as leis da Xeometría Euclidiana. Por iso é unha agradable sorpresa atopar exemplos que nos fan reparar noutras xeometrías. Xa non sei nin como cheguei (igual a navegación por internet segue unha métrica do bosque) á presentación deste xogo, HyperRogue, no que manexas a un heroe solitario nun mundo... hiperbólico. Para os non iniciados no mundo dos xogos, haberá que explicar que un Rogue Game, grosso modo, é un xogo no que a acción sucede en alxubes creados de xeito procedural, a dinámica transcorre mediante un sistema de quendas, e o protagonista ten como obxectivo saquear ao máximo as estancias, chegar a certo nivel final e regresar con vida(habitualmente a dificultade é moi alta e non hai puntos de carga, se morres, morriches).

Ollade o vídeo de presentación:




É inevitable pensar nos discos de Poincaré que debuxara Escher, non si?

    





Se queredes saber máis sobre a anómala xeometría do xogo, ide a Hyperbolic Geometry in Hyperbolic Rogue e veredes como o autor utilizou de xeito maxistral as súas propiedades para artellar diferentes mundos no xogo.

E como dunha ligazón vas a outra(sempre que o teu navegador dea feito con corenta separadores), acabei na web Geometry Games, que aínda non sei como non coñecía xa. Nela non só podes descargar xogos desenvolvidos en mundos hiperbólicos como o anterior, senón tamén na superficie dun toro.

10.5.16

Que pregunta che vén á cabeza?



Vendo a intervención de Dan Meyer no Congreso Anual do NCTM, chamoume a atención unha animación que utilizou para ilustrar unha das súas teimas: fomentar as preguntas dos alumnos máis cás súas respostas. Tanto que fixen unha versión barateira no geogebra:



Que preguntas che inspira esta animación? E aos teus alumnos? Dependerá do nivel no que estean? Irán enfocadas máis ao plano matemático ou ao da creación da figura? Etc.

Deixo isto por acó por se outro ano resulta útil, pois neste xa creo que non teño moita marxe dado o atraso acumulado no curriculum...

1.5.16

Area Maze

En efecto, amigos: outro xogo máis.

Obviamente, as figuras non están a escala

Hai máis dun ano que lemos un artigo na sección de Alex Bellos no Guardian(e despois nos microsiervos), no que, co estilo contemporáneo de apelar á nosa intelixencia para que sigamos lendo, introducía o xogo Area Maze, creado polo inventor de xogos e puzzles Naoki Inaba:


(Invocando a Lei de Betteridge, coido que a resposta seguramente sexa non)

Hoxe veño de atopar a versión interactiva na web deste xoguiño:


Lémbrovos a dinámica do xogo: en cada figura aparecen uns rectángulos cuns números, uns referidos ás lonxitudes dos lados e outros ás áreas dos rectángulos; e unha interrogación no canto dunha dimensión descoñecida. Para atopar o valor desa incógnita, temos que razoar sen utilizarmos explicitamente ecuacións nin fraccións. Como avisa a propia web, as figuras non están feitas a escala, co cal non serve de nada coller unha regra.

24.4.16

SolveMe Mobiles


A motivación da entrada Catro xogos foi a aparición do xogo Guess the Correlation xunto cun xogo que tiña gardado na memoria do navegador. Mais o rastro deste último xogo desapareceu cando fixen unha limpeza do ordenador, o que provocou que incluíse outros tres xogos para resarcirme. Por sorte na súa única entrada deste mes, os amigos de Math Munch trouxeron do limbo o xogo que quixera compartir eu, SolveMe Mobiles.

A idea non é nova: utilizar a idea intuitiva de equilibrio dos pesos como tradución da igualdade. Tradicionalmente os profesores de Matemáticas utilizamos a metáfora das balanzas para traballar as igualdades alxébricas. Este xogo en troques de balanzas, utiliza móbiles, do tipo dos que se lles poñen aos bebés nos berces.
Observade unha pantalla:

  
Resulta obvio o que hai que facer, non si?
Pois ademais da transparencia do obxectivo didáctico e da nitidez do xogo, hai varias características adicionais que o melloran:

  • Podemos rexistrarnos para gardar a nosa evolución no xogo e tamén para crear os nosos propios móbiles.
  • A pantalla de xogo ten un par de ferramentas, como o lapis, que nos permite escribir sobre unha capa. E se hai lapis, hai goma, claro.
  
  • Mais a cualidade que máis me gustou foi esta última: a posibilidade de arrastrar o colgante e traducir automaticamente a unha ecuación o equilibrio do móbil:
No proceso de arrastrar...


Velaquí a ecuación

Non sei vós, que seguramente a estas alturas do curso xa pasaríades da ecuacións, pero eu vou xogar un anaco mañá cos alumnos de 1º de ESO. A ver se notan que estamos a facer ecuacións sen dicilo.

21.4.16

Este problema vaite sorprender


Utilizo o estilo moderno dos xornalistas on line para introducir un problema que, aínda elementar, vaticino que non vas dar resolto:

Cores escollidas para mellorar a experiencia...


Observa a figura de enriba, cun triángulo rectángulo no que inscribimos un cadrado, para despois inscribir outros dous cadrados nos triángulos rectángulos que van quedando nos ocos e inscribir circunferencias en tres dos triángulos rectángulos que asoman.

Cal é a relación que gardan os radios das tres circunferencias?

Abraiante: as medidas do triángulo orixinal son irrelevantes. E simplemente debuxar a figura xa é un reto, sempre que non tires unha instantánea do pdf na colección de problemas Sangaku onde o collín.


Agora odiádeme: este problema é o primeiro dunha folla de problemas que utilicei hoxe en 4º de ESO. Pero non, non conta para a calificación.

14.4.16

Como multiplicar cunha parábola


Se algún día tedes que improvisar unha pseudoclase dun día de folga de estudantes, pode que vos veña ben ter un feito como este a man:





Introducide os números que vos peten nas caixas. Dádelle a "Amosar Recta" e "Amosar Punto". Algo salientable no punto do eixe de ordenadas?

6.4.16

Catro xogos


Levo un tempo escribindo de xeito tan solemne que calquera día comparten o meu blogue os economistas do Ministerio de Educación, polo que haberá que baixar o nivel de seriedade. Que mellor que compartir uns xogos?

  • O primeiro, Ocus Puzzle, é unha especie de Puzzle Quest con figuras máis irregulares, o que provoca, de xeito contraintuitivo, que sexa máis sinxelo. O mellor é que podes escoller a dificultade, o peor que resulta repetitivo(quizais motivado pola xeración procedural dos niveis).Na imaxe queda claro o obxectivo e a mecánica:
  

  • No segundo, Overspill, temos que encher a pantalla de xogo colocando bloques numéricos. O número que figura en cada bloque amosa cantas celas quedan activadas arredor do bloque ata chegar a un obstáculo negro:
  

  •  O terceiro, Is This Prime, máis que un xogo é un quiz onde hai que amosar reflexos áxiles:
  
  • Finalmente, Guess the Correlation é exactamente o que parece, i.e., un xogo no que tes que adiviñar o coeficiente de correlación(sempre positivo) á vista dunha nube de puntos. Hai que rexistrarse para xogar:
  


Veña, insensatos, a xogar!

4.4.16

Da técnica ás ideas


A breve unidade de Lugares Xeométricos e Cónicas de Matemáticas I comeza, como é lóxico, co estudo da circunferencia como curva. Da definición intuitiva como lugar xeométrico, apoiada pola experiencia desde pequenos dos alumnos co compás, chegamos á ecuación xeral. Esencialmente é un paso alxébrico, desde isto:
$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$

ata isto:

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$


Os lectores habituais saberán que o meu achegamento a ensinar novos conceptos non pasa por enumerar todas as definicións, condicións, feitos, etc. senón porque os alumnos vaian vendo exemplos e de aí tiren eles o esencial(con máis dunha década ás costas, aínda con escaso éxito pola miña parte, teño que recoñecer). Por isto, para vermos que configuracións poden aparecer cando consideramos dúas circunferencias, simplemente chantei un par de circunferencias no encerado e no ordenador, ocultando un intre a vista gráfica do Geogebra, e deixeilles que visen eles o que estaba a suceder.

Para sabermos a posición relativa de dúas circunferencias non é necesario argallar coa Álxebra, pero se queremos saber en que puntos se cortan, non queda outra que facer un sistema de ecuacións. Collamos un par de circunferencias:

$$\begin{cases}x^2+y^2-2x+4y+2=0 \\ x^2+y^2+4x+2y+1=0 \end{cases}$$
É habitual facer:
$$\begin{cases}-6x+2y+1=0 \\ x^2+y^2+4x+2y+1=0 \end{cases}$$

Como vemos no applet:


Cun par de exemplos, os alumnos detectaron que a ecuación que aparece ao restarmos as das circunferencias é a da recta que pasa polos puntos de corte. Pero aínda foi máis interesante a pregunta dun deles: E se non se cortan, que representa esa ecuación?


Comentario final autobiográfico:
Cando eu dei a circunferencia na Xeometría analítica de 3º de BUP, si que aparecía no curriculum a potencia dun punto respecto dunha circunferencia, o eixe radical de dúas circunferencias e o centro radical de tres circunferencias. Curiosamente, non se comentaba absolutamente nada dos problemas que pretendían resolver eses conceptos.

28.3.16

Divertimento xeométrico(6)


  
Velaí un paralelogramo cunha recta transversal. Vedes o que sucede?


Se a resposta é negativa, aínda podedes fedellar na seguinte figura, movendo os puntos P e Q que determinan a transversal, ou ben modificando o paralelogramo (todo agás o punto C, que está determinado polos outros 3). Non utilicedes o botón de animación, que non fai o desexable, pois move os puntos P e Q do mesmo xeito en troques de facelo de xeito independente:



Se aínda non vedes nada, ide á fonte de onde tirei o problema, a enorme Go Geometry de Antonio Gutiérrez. Por aló atoparedes centos de problemas xeométricos coma este, e moito máis difíciles.

24.3.16

Oposicións a Profesor de Secundaria de Galicia 2014


Saíndo dos temas habituais do blogue, vou responder a unha petición e compartir a solución dun dos problemas da Oposición de Profesorado de Secundaria de Matemáticas do ano 2014. Imos aló:

Sexa para $p\geq0, K_n(p):$

$$K_n(p)=\int_0^1{\frac{x^n}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx$$

  1. Calcular $K_0(p)$ e $K_1(p)$
  2. Atopar unha relación de recorrencia entre $K_{n-1}(p)$, $K_n(p)$ e $K_{n+1}(p)$. Utilizar dita relación para calcular $K_n(0)$ e $K_n(1)$

Pola cantidade de manipulacións alxébricas que vai levar, só vou incluír neste post a solución do apartado a)

En primeiro lugar, a integral é impropia, pois o integrando non está definido no extremo superior. Por isto imos ter que considerar o paso ao límite da expresión que obteñamos como primitiva. É dicir,
$$K_0(p)=\int_0^1{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=lim_{\epsilon \to 1}{\int_0^\epsilon{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx}$$

Como a expresión non ten unha simetría obvia e útil, non queda máis remedio que atopar unha primitiva. E o aspecto do radicando do denominador, xa factorizado, amola máis que axuda. Imos aló(aviso: non vou levar contas das constantes de integración):

Comezamos por facer o cambio de variable $y=1-x$, basicamente para ver mellor o que hai que facer despois:
$$\int{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\int{\frac{-1}{\sqrt{y(1+py-py^2)}}}dy=$$
$$\int{\frac{-1}{\sqrt{(p+1)y-py^2}}}dy$$
Agora o radicando ten un aspecto máis claro para o seguinte paso, escribilo como diferenza do cadrado dunha constante e unha variable, mediante o cambio:
$z=\sqrt{p}y-\frac{p+1}{2\sqrt{p}}$
Chegamos a:
$$\int{\frac{-1}{\sqrt{(p+1)y-py^2}}}dy=\int{\frac{\frac{-1}{\sqrt{p}}}{\sqrt{(\frac{p+1}{2\sqrt{p}})^2-z^2}}}dz=$$

Para non seguir a facer cambios, dou por suposto que a primitiva $\int{\frac{dt}{\sqrt{a^2-t^2}}}=arcsen(\frac{t}{a})+C$ é ben coñecida(o cambio é o trigonométrico standard), para rematar con:
$$\int{\frac{\frac{-1}{\sqrt{p}}}{\sqrt{(\frac{p+1}{2\sqrt{p}})^2-z^2}}}dz=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg(\frac{2\sqrt{p}}{(p+1)}z\bigg)$$
Desfacendo os (malditos) cambios:
$$\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg(\frac{2\sqrt{p}}{(p+1)}z\bigg)=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( \frac{2p}{p+1} y-1\bigg)$$
E outro máis:
$$\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( \frac{2p}{p+1} y-1\bigg)=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( -\frac{2p}{p+1} x+\frac{p-1}{p+1}\bigg)$$
Só queda avaliar a última expresión, chamémola $f(x)$ para abreviar, nos límites de integración:
$$K_0(p)=\int_0^1{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\lim_{\epsilon \to 1} {f(\epsilon})-f(0)= \\ \frac{-1}{\sqrt{p}} \Big( arcsen \Big(-\frac{p-1}{p+1}\Big)-\frac{\pi}{2}\Big)= \\ \frac{1}{\sqrt{p}} \Big( arcsen \Big(\frac{p-1}{p+1}\Big)+\frac{\pi}{2}\Big)$$

Que, como quedou o corpo ao resolver a metade dun dos dous apartados dun dos tres exercicios desa sesión?

Vaiamos con $K_1(p)$, que poderemos relacionar con $K_0(p)$:

$$\int{\frac{x}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\int{\frac{x}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx$$

A estratexia é clara: acadar que apareza a derivada do radicando no numerador:
$$\int{\frac{x}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=$$
$$\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px+p-1-(p-1)}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=$$
Dividamos o cálculo anterior en dous:
1) $$\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px+p-1}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=\frac{-1}{p} \sqrt{(1-x)(1+px)}$$
2) $$\frac{p-1}{2p}\int{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=$$
Esta primitiva é xusto a que atopamos antes polo medio de $K_0(p)$
$$\frac{p-1}{2p}\cdot \frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( -\frac{2p}{p+1} x+\frac{p-1}{p+1}\bigg)$$
Xuntando os dous resultados, e avaliando nos extremos de integración, obtemos:
$$K_1(p)=\frac{1}{p}+\frac{p-1}{2p}\cdot K_0(p)$$

É comprensible que restrinxa a solución ao apartado a), non si?

23.3.16

A cacarexada formación do profesorado(de Matemáticas)


Imaxina que es un profesor de Matemáticas average. É dicir, sabes manexar as ferramentas informáticas para a docencia, tes certa bibliografía didáctica á túa disposición e sabes navegar na rede na pescuda de novas ideas, actividades, enfoques...

Dás imaxinado iso?

Continúa entón:

Aproveitas as vacacións que celebran a sementeira para analizar a formación que che ofrece a túa administración educativa, neste caso a Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria da Xunta de Galicia.

Ti tes as túas inquedanzas docentes, aspectos nos que non dás atopado un xeito satisfactorio de traballar: o fomento do pensamento alxébrico na primeira etapa da educación secundaria, a introdución do concepto de función na ESO, o pensamento multiplicativo/proporcional, as demostracións matemáticas, a utilización do razoamento deductivo e do inductivo na aula, ...
E tamén sabes de certas iniciativas e polémicas lonxe do teu ámbito físico, máis ou menos novidosas: o productive failure de Manu Kapur, o growth mindset de Jo Boaler(que a primeira vista soa a homeopatía didáctica), o Problem Based Learning, o Inquiry Based Learning, o uso de problemas abertos na aula, a dicotomía entre o uso de exemplos abstractos e concretos no ensino, a minimal guidance na aprendizaxe,etc.



Agora tócache adiviñar: que pon á túa disposición a túa Consellería para que mellores a túa formación?



Comecemos por poñer como requisito que a formación sexa en Ferrol(o meu CFR, Centro de Formación e Recursos) e dirixida a profesorado de secundaria de Matemáticas:

 


Será que hai máis para o Bacharelato? 

Pois non

Quizais pido moito? Restrinxamos só que a formación estea dirixida a profesores de Matemáticas da ESO, e que poida ser realizada en calquera CFR, de xeito presencial ou virtual, pero que estea en prazo:


O das tribus é dunha empresa privada, para máis inri




Queda algunha dúbida de por que non me fío da administración educativa da que dependo? Imaxinade que tipo de avaliación do meu traballo docente poden facer os responsables deste deseño de formación do profesorado.

20.3.16

Bingo con dúas bólas


Nun bingo americano hai 75 bólas. Collemos unha bóla, e sen devolvela ao bombo, collemos unha segunda bóla. Se gañamos un premio igual ao número maior que collemos, cal é o noso premio esperado?


Vin este problema no moi recomendable blogue Data Genetics, e a solución alí presentada (que tardei un chisco en entender por completo) animoume a argallar eu unha menos sofisticada. Se non queredes que vos escaralle a diversión, ide por papel e lapis, que a miña solución vén xusto despois desta sorpresa nas táboas de multiplicar que nos amosa Mathologer:



Quizais non debería poñer vídeos máis interesantes cós meus posts...


Se lestes a solución de Data Genetics, veredes que comeza por analizar o bingo xeralizado, onde hai N bólas, e os casos que aparecen cando tiras a 1ª bóla, que ten un número f calquera. Claramente, a 2ª bóla terá un número menor en f-1 casos e un número maior en N-f casos. Ata aquí chega a parte sinxela, mais en diante comeza a utilizar propiedades da esperanza matemática, ben coñecidas para estudantes do primeiro ciclo do grao pero non para os de instituto. Por iso pensei eu no seguinte:

Se tiramos dúas bólas sucesivamente do bombo, o número de casos posibles coincide co de parellas, é dicir, $\binom{75}{2}$. Agora, en cantas desas parellas é o maior número o número f? Pois en f-1 parellas, i.e., en todas as parellas do tipo {1,f}, {2,f}, {3,f},...,{f-1,f}

Polo tanto, o número esperado vai ser $$\frac{2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74 }{\binom{75}{2}}$$
ou utilizando o símbolo de sumatorio,
$$\frac{\sum_{n=2}^{75}{n(n-1)}}{\binom{75}{2}}=\frac{\sum_{n=1}^{74}{(n-1)n}}{\binom{75}{2}}$$
Só queda entón calcular a suma do numerador, que admite varias achegas:
  • Podemos decatarnos de que está relacionada coa suma dos cadrados deste xeito:
$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74+2 +3 +4+ \dots + 74+ 75=$$
$$2^2+3^2+4^2+\dots+74^2+75^2$$

Como a suma dos naturais e a suma dos cadrados son ítems recorrentes, podemos supoñer o seu coñecemento, e obter:
$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74=$$
$$2^2+3^2+\dots75^2-(2+3+\dots+75)=$$
$$\frac{75 \cdot 76 \cdot151 }{6}-1-(\frac{75 \cdot76}{2}-1)=$$ 
$$\frac{75 \cdot76}{6}[2\cdot 75+1-3]=\frac{75 \cdot 76 \cdot 148}{6}=25 \cdot 76 \cdot 74 $$
Finalmente, a esperanza matemática é
$$\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\binom{75}{2}}=\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\frac{75 \cdot 74}{2}}=$$
$$\frac{152}{3}$$

  • Tamén poderíamos observar os primeiros valores da sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ...
Os valores das diferenzas sucesivas, 6, 12, 20, 30, 42, ...
Outra vez: 6, 8, 10, 12, ...
E finalmente: 2, 2, 2, 2, ...
Que as diferenzas de orde 3 sexan constantes amosa que a expresión orixinal é un polinomio cúbico. Coñecendo 4 valores da sucesión atopamos cun sistema 4x4 os seus coeficientes (por certo, este mecanismo aprendino en 2º de BUP)

  • Sinceramente, eu non calculei esa suma con ningún dos dous métodos anteriores, polo menos a primeira vez. Que foi o que fixen? Observar e ter sorte, basicamente:
$$2=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 }{3}$$ 
$$8=\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 }{3}$$ 
$$20=\frac{3 \cdot 4 \cdot 5 }{3}$$ 
$$40=\frac{4 \cdot 5 \cdot 6 }{3}$$ 
...
Para calcular a suma ata o final, atopamos a expresión análoga á anterior:
$$\frac{74 \cdot 75 \cdot 76 }{3}=74 \cdot25 \cdot 76$$  


Sabedes o mellor de todo? Que despois de moito cavilar, botar contas, argallar modelos,etc., ata que fun ao post orixinal e vin que tamén obtiña o valor $\frac{152}{3}=50+ \frac{2}{3}$ non estiven totalmente certo do meu...


12.3.16

Cousas que só atoparás nun libro de texto-2


Van case tres anos da primeira vez que trouxen un exemplo de estupidez manifesta nun libro de texto. A entrada, Cousas que só atoparás nun libro de texto, colleitou certo éxito en visitas desde aquela, chegando ao modesto top ten deste blogue.

Hoxe, como xa compartira en twitter o primeiro exemplo que ides ver, non tiña pensado traelo tamén por acó. Foi a aparición do segundo o que me convenceu. Xulgade vós:


Polo menos intuíron que era máis obtuso que agudo

Este exemplo está tirado do libro de "Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas" de 3º de ESO da editorial SM, que foi o escollido este ano polo meu departamento. Imaxino aos autores do libro buscando números que fixesen obvio que non había proporcionalidade(24 e 6 son o dobre de 12 e 3, respectivamente, pero 12 non é o dobre de 7), e esquecendo que eses números tiñan que servir como lados dun triángulo, para o cal tiñan que cumprir a desigualdade triangular(surprise, surprise). Un pouco máis adiante, na mesma unidade, hai un exemplo de aplicación directa do Teorema de Tales na que non dan suficientes datos para atopar as lonxitudes(os triángulos non "pechan"), mais non teño foto do libro e na versión on line está corrixido, o cal amosa que é unha simple errata.
En contra do que parece, o libro de texto anterior non é especialmente malo, para ser un libro de texto quero dicir. Xa teño falado destes libros editados para a LOMCE, e o certo é que podían ser peores. Coido que o que máis noxo me dá deste libro é a linguaxe que utiliza, xa no libro de 1º de ESO:

Deberían poñer actividades onde se collese un avión fóra de España


En realidade, nos libros de texto adoita haber erros moito máis graves que o dos triángulos de Cheshire anteriores. Observade como un autor de libro de texto(Santillana, 1º de ESO) pode acabar coa estratexia do profesor en dúas liñas:

A materia da que están feitos os pesadelos dos profesores de Matemáticas


Claro que o libro continúa a súa razzia contra a didáctica das Matemáticas tres páxinas máis adiante, neste caso facendo revolver ao pobre George Polya na súa tumba:

Os alumnos aplauden agradecidos ao leren isto



Exemplos hai miles, se non traio máis é pola pouca atención que lles presto aos libros. E menos que lles prestaría se dependese de min...


5.3.16

Groundhog Day, teaching edition


Nunha entrada de Dan Meyer dei cunha conferencia do investigador Edward G. Begle, Research and Evaluation in Mathematics Education. Procedo a traducir o comezo da súa disertación, ide adiviñando de que datas estamos a falar:


  Investigación e Avaliación en Educación Matemática
E.G. Begle
Stanford University

En educación matemática afrontamos dous problemas: o problema de ensinar mellores matemáticas e o problema de ensinar matemáticas mellor. Eu afirmo que o fixemos moi ben no primeiro problema pero mal no segundo. Nas últimas dúas décadas, como apuntou o profesor Young, fixemos posible que os cativos das nosas escolas aprendesen matemáticas moito mellores que as matemáticas ás que nós estivemos expostos. Aínda que non acadamos o progreso que agardabamos, desde logo que fixemos melloras na calidade das matemáticas dos nosos programas; e temos probas poderosas e abundantes de que os estudantes poden aprender estas mellores matemáticas.

Aínda máis, aprendemos durante a última década como podemos continuar garantindo que os estudantes teñan acceso a mellores matemáticas. Aprendemos como artellar a colaboración entre os profesores de aula e os investigadores, como elaborar novos materiais e como avalialos. En breve: o problema de ensinar mellores matemáticas está baixo control.

Pola contra o problema de ensinar Matemáticas mellor non o está. Déixenme enumerar algunhas das tentativas que foron levadas a cabo nos últimos doce anos. A finais dos 50 houbo moitos esforzos para ensinar mediante películas e a televisión. Despois chegaron as máquinas de ensinar e a aprendizaxe programada, coa promesa de que farían viable que todos os estudantes aprendesen, aínda que quizais a diferentes ritmos. O ensino en grupo cobrou grande atención durante un tempo, e en certo sentido segue a colleitala. O método de ensino mediante descobremento foi considerada a resposta ao noso problema de ensinar matemáticas e outras materias mellor. Máis recentemente, foi proposta a instrución individual, e tamén a instrución asistida por ordenador. Tamén se nos propuxo a planificación modular e a planificación flexible. Hai ben pouco a nosa atención foi dirixida aos laboratorios matemáticos.
Porén, a situación actual amosa que para todas estas panaceas ou ben hai escasa verificación empírica de ningún tipo, ou ben que hai demostracións empíricas de que os novos xeitos de ensinar non son mellores, aínda que a míudo tampouco peores que os nosos vellos xeitos de ensinar.



Se vos resultou interesante, despois desta a conferencia continúa outras sete páxinas; na entrada de Dan Meyer tedes acceso a dúas versións en pdf. Coido que é unha lectura reveladora para os que estamos neste choio de atopar xeitos de ensinar mellor. Aínda máis cando descubrimos que a conferencia foi lida a finais de 1970.




28.2.16

3·5 = 5·3, disque


 A Álxebra non é máis que Xeometría escrita, a Xeometría non é máis que a Álxebra figurada

Desde que Descartes introduciu o dicionario Álxebra-Xeometría que supuxeron as coordenadas, é un lugar común imaxinar os resultados alxébricos en termos xeométricos e viceversa. En realidade, xa os Elementos de Euclides incorporan unha boa colección de feitos xeométricos que coñecemos hoxe en día como Álxebra Xeométrica(algúns, como a propiedade distributiva ou o desenvolvemento de (a+b)², ata aparecen nas clases da ESO). Imos ver un dos lugares onde Xeometría e Álxebra teñen un contacto máis abraiante. Pero primeiro hai que ver un par de puntos en dúas semirrectas:



O Teorema de Pappus, ilustrado enriba, afirma que se collemos 6 puntos A, B, C, D, E e F en dúas semirrectas que parten dunha orixe O de xeito alternativo(A, C, E nunha e B, D e F na outra), e chamamos L, M, N ás interseccións das rectas AB, CD, EF coas rectas DE, FA e BC, respectivamente, sucede que L, M e N están na mesma liña recta.
Se alguén está a pensar que ocorre cando eses puntos L, M e N non están definidos, por mor do paralelismo das rectas, si, iso tamén está contemplado no teorema. Ide a Cut The Knot para aprender máis, aquí chéganos con observar que se AB é paralela a DE e CD é paralela a FA, entón EF tamén ten que ser paralela a BC.

Imos ver como atopar o produto de dous números a e b cunhas liñas familiares:

     



Do mesmo xeito atoparemos o produto de b e a:


    


Pois aquí chega o obxectivo desta entrada: como sospeitaredes, ab e ba coinciden. Como demostralo?


Na folla anterior vemos que efectivamente ab e ba coinciden. Podemos dicir que o temos comprobado mecanicamente. Mais iso non abonda.
Precisamente o Teorema de Pappus vai facer o choio: como as liñas laranxas son paralelas e as liñas grises son paralelas, a recta verde que une 1 con b ten que ser paralela á liña que une a con ab. Como a liña paralela á verde 1b é a a-ba, vemos que ab e ba efectivamente son o mesmo punto. Q.e.d. 

Se queredes ver os detalles técnicos que deixei a un lado, en The Four Pillars of Geometry de John Stillwell atoparédelos, xunto con moitas máis ideas.