27.1.16

A Lei Forte dos Pequenos Números-3


Lembremos que A Lei Forte dos Pequnos Números é unha expresión que inventou o teórico de números e grande divulgador Richard K. Guy que se resume en:

"Non hai números pequenos abondo para cumprir todas as expectativas que temos postas neles"

Esta frase é un xeito humorístico de apuntar ao verdadeiro significado da "lei": que un patrón sexa certo nos primeiros casos non dá ningunha seguridade sobre a súa validez xeral. Xa van dúas entradas comentando algúns dos casos máis coñecidos(1, 2), polo que hoxe imos ver un caso ben curioso e menos coñecido, que eu veño de descubrir lendo o artigo Deceptive Patterns in Mathematics de V.G.Tikekar. Antes temos que lembrar os vellos amigos dos estudantes da EXB, os diagramas de Venn:

Xente á que lle importan os diagramas de Venn e xente á que non?

O diagrama de Venn é probablemente unha das representacións máis coñecidas dentro das Matemáticas: mediante unha circunferencia(ou unha figura topoloxicamente equivalente) dividimos o conxunto universal en dous anacos, o interior e o exterior, que representan loxicamente conxuntos disxuntos. É tradicional representar o complementario do conxunto $A$ como $\overline{A}$, como aparece na figura anterior, na que contamos 2 rexións nas que queda dividido o conxunto universal.

Pois ben, vexamos en cantas rexións dividiremos o conxunto universal se utilizamos diagramas circulares unicamente para representar os conxuntos:
  • Con 2 conxuntos
4 rexións
  • Con 3 conxuntos

8 rexións

O patrón queda ben claro: cando collemos $n$ conxuntos, obtemos $2^n$ rexións, polo que o seguinte paso vai ser determinar mediante circunferencias as 16 rexións nas que vai quedar dividido o conxunto universal. Non sei que sucede, que por moito que o intento, non dou pasado de 14 rexións. Xa conto eu por vós para que non vos perdades:

   
Que pensades, será que son pouco hábil ou será que é imposible mellorar esa marca de 14? Que sucederá con 5 conxuntos? E con n?


0 comentarios:

Post a Comment