Un problema de Álxebra da Olimpíada Española

Coido que foi grazas a Daniel Ruiz Aguilera, presidente da Societat Balear de Matemàtiques, que cheguei aos problemas da Fase Local a les Illes Balears da Olimpíada Matemática Española, dirixida a estudantes de bacharelato. Xa coñecía os do zonal galego, polo que tiven que comparar as temáticas dos problemas.

• Na galega, por orde, os temas foron: 1)Progresións/divisibilidade,2)Reloxos, 3)Triángulos rectángulos, cadrados e construcións con regra e compás,4)Raíces de polinomios que son as lonxitudes dos lados dun triángulo rectángulo,5) Triángulos e concorrencias de cevianas, 6) Combinatoria xeométrica.
• Na balear:1)O problema clásico das amigas que bailan nunha festa, cada unha cun mozo máis,2) Raíces de polinomios, 3) Un triángulo cun punto interior do que sabemos certos ángulos formados cos vértices,4) Aritgrama cunha división da que só sabemos unha cifra,5) Desigualdade xeométrica no contexto dun rectángulo, 6)Números primos.

Obsérvase certa sobrerrepresentación dos triángulos, mais isto é habitual neste tipo de olimpíadas, sendo como é un tema clásico das matemáticas elementares. Por outra banda, en moitos centros educativos adoitan preparar especificamente aos alumnos que amosan talento, e a preparación céntrase en aspectos certamente básicos mais que non entran no ámbito curricular. Este ano podemos ver exemplos extracurriculares no 2º problema galego cando piden que se constrúa o cadrado con regra e compás, no 6º galego(a Combinatoria está algo illada no curriculum) ou no 5º balear, que é case un alieníxena comparado co traballado nas aulas.

Hoxe vou compartir (e resolver, para variar) un dos problemas máis relacionados co traballo na ESO e no Bacharelato, o segundo problema das Illes Baleares:

Sabem que els polinomis $x^2+ax+b$ i $x^2+mx+n$ tenen una arrel comuna. Escriviu l'equació de segon grau les solucions de la qual siguin les respectives altes arrels d'aquests polinomis.

Nunca vira nin pensara nesta situación, polo que a curiosidade provocou que tivese que resolvelo. Collamos un exemplo de dous polinomios cuadráticos que compartan unha raíz, a ver se vemos pistas:

$x^2-5x+6$ e $ x^2-7x+10$  comparten a raíz $x=2$, as outras raíces son, respectivamente, $x=3$ e $x=5$, polo que o polinomio cuadrático buscado é $x^2-8x+15$. Hai que ter moita vista matemática aínda para albiscar a relación entre os coeficientes -5, 6, -7, 10 e -8 e 15(si, vense cousas, pero teñen que ser casuais, pois son pouco "naturais")

Como agora vai a miña supertécnica solución, recoméndovos deixar de ler e coller lapis e papel se queredes fedellar vós tamén coa Álxebra:

Vou utilizar a eito o Teorema de Cardano-Viète para o caso de polinomios cuadráticos mónicos, que afirma que se as raíces dun polinomio $x^2+px+q$ son $\alpha$ e $\beta$, entón $\alpha+\beta=-p$ e $\alpha \cdot \beta=q$.

Con isto, se chamamos ás raíces dos dous polinomios $x_0, x_1$ e $x_0, x_2$ temos que

$$\begin{cases}x_0+x_1=-a \\ x_0\cdot x_1=b \\ x_0+x_2=-m \\ x_0\cdot x_2=n \end{cases}$$

O noso obxectivo vai ser atopar a suma e o produto das outras dúas raíces dos dous polinomios, $x_1$ e $x_2$, en función dos coeficientes a, b, m e n. Vexamos:

• Comezamos por restar as dúas igualdades coas sumas das raíces, obtemos:

$$x_2-x_1=a-m$$ (1)

• Dividimos as dúas igualdades cos produtos das raíces:

$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{n}{b}\rightarrow bx_2=nx_1$$ (2)

• Despexamos unha das raíces en (1)

$$x_2=x_1+a-m$$

• Multiplicando os dous membros por b e utilizando (2):

$$bx_2=bx_1+ba-bm$$

$$nx_1=bx_1+ba-bm$$

$$(n-b)x_1=b(a-m)\rightarrow x_1=\frac{b(a-m)}{n-b}$$

• Utilizando (2) outra vez obtemos a igualdade equivalente para $x_2$:

 $$x_2=\frac{n(a-m)}{n-b}$$

• Tendo expresións para cada unha das raíces $x_1$ e $x_2$ en función dos coeficientes deixa pouco choio por facer:

$$\begin{cases} x_1+x_2=\frac{(b+n)(a-m)}{n-b} \\ x_1 \cdot x_2= bn \cdot (\frac{a-m}{n-b})^2\end{cases}$$

Só hai que cambiarlle o signo á primeira expresión e xa temos o coeficiente linear do polinomio.
Para que a solución sexa rigorosa tería que considerar uns casos illados nos que incurrín na "división por cero". Como os detalles son sinxelos mais aburridos, déixollos ao lector.

No exemplo de máis arriba, onde a=-5, b=6, m=-7, n=10, comprobemos o resultado:

$$-\frac{(b+n)(a-m)}{n-b}=-\frac{16 \cdot 2 }{4}=-8$$

e

$$bn \cdot (\frac{a-m}{n-b})^2=6 \cdot 10\cdot (\frac{2}{4})^2 =\frac{60}{4}=15$$

como xa sabíamos.