28.2.16

3·5 = 5·3, disque


 A Álxebra non é máis que Xeometría escrita, a Xeometría non é máis que a Álxebra figurada

Desde que Descartes introduciu o dicionario Álxebra-Xeometría que supuxeron as coordenadas, é un lugar común imaxinar os resultados alxébricos en termos xeométricos e viceversa. En realidade, xa os Elementos de Euclides incorporan unha boa colección de feitos xeométricos que coñecemos hoxe en día como Álxebra Xeométrica(algúns, como a propiedade distributiva ou o desenvolvemento de (a+b)², ata aparecen nas clases da ESO). Imos ver un dos lugares onde Xeometría e Álxebra teñen un contacto máis abraiante. Pero primeiro hai que ver un par de puntos en dúas semirrectas:



O Teorema de Pappus, ilustrado enriba, afirma que se collemos 6 puntos A, B, C, D, E e F en dúas semirrectas que parten dunha orixe O de xeito alternativo(A, C, E nunha e B, D e F na outra), e chamamos L, M, N ás interseccións das rectas AB, CD, EF coas rectas DE, FA e BC, respectivamente, sucede que L, M e N están na mesma liña recta.
Se alguén está a pensar que ocorre cando eses puntos L, M e N non están definidos, por mor do paralelismo das rectas, si, iso tamén está contemplado no teorema. Ide a Cut The Knot para aprender máis, aquí chéganos con observar que se AB é paralela a DE e CD é paralela a FA, entón EF tamén ten que ser paralela a BC.

Imos ver como atopar o produto de dous números a e b cunhas liñas familiares:

     



Do mesmo xeito atoparemos o produto de b e a:


    


Pois aquí chega o obxectivo desta entrada: como sospeitaredes, ab e ba coinciden. Como demostralo?


Na folla anterior vemos que efectivamente ab e ba coinciden. Podemos dicir que o temos comprobado mecanicamente. Mais iso non abonda.
Precisamente o Teorema de Pappus vai facer o choio: como as liñas laranxas son paralelas e as liñas grises son paralelas, a recta verde que une 1 con b ten que ser paralela á liña que une a con ab. Como a liña paralela á verde 1b é a a-ba, vemos que ab e ba efectivamente son o mesmo punto. Q.e.d. 

Se queredes ver os detalles técnicos que deixei a un lado, en The Four Pillars of Geometry de John Stillwell atoparédelos, xunto con moitas máis ideas.

19.2.16

Unha ferramenta



O máis preto que estaremos de seguir a un Arne Saknussemm na era dixital

Quizais porque entendo o método gráfico de resolución de sistemas de ecuacións máis como unha característica que como un método de resolución auténtico, nunca vira que o geogebra puxese as coordenadas en forma decimal por defecto como unha eiva. Ata hoxe, cando dúas compañeiras observaron que sería útil dispoñer das coordenadas en forma fraccionaria. Tras unha breve investigación na rede (= un par de buscas en google concatenando palabras en inglés) atopei un comando, TextoFracción[], que permite escribir do xeito requerido as coordenadas utilizando o intérprete de LATEX incluído no geogebra.

Se argallades na folla, veredes que en realidade geogebra non está a calcular de xeito simbólico as interseccións, pois tecleando un sistema cun punto de corte con coordenadas irracionais, tamén vai aparecer unha fracción no texto asociado ao punto. Imaxino que o que sucede é que o punto é aproximado de xeito racional, e esta aproximación é a que aparece como punto de corte, e consecuentemente na caixa de texto.



13.2.16

"Escrito en 5 anos, pode durar milenios"


Cardano, who plagiarised before it was cool

O asunto de hoxe ten case 500 anos de historia, e comenza no Renacemento italiano. Sigamos a Girolamo Cardano cando resolveu a ecuación cúbica simplificada, $x^3+px=q$, ou se preferides, cando colleu prestada de Tartaglia a súa solución:

Collamos dous números $u$ e $v$ que cumpran $u-v=x$ e $u \cdot v=\frac{p}{3}$

Traballando con estas dúas novas variables:

$$(u-v)^3+p(u-v)=q$$
$$(u-v)[(u-v)^2+p]=q$$
$$(u-v)(u^2-2uv+v^2+3uv)=q$$
$$(u-v)(u^2+uv+v^2)=q$$
$$u^3-v^3=q$$
$$u^3-\Big(\frac{p}{3u}\Big)^3=q$$
$$u^6-qu^3-\Big(\frac{p}{3}\Big)^2=0$$
Resolvendo esta ecuación cuadrática en $u^3$:
$$u^3=\frac{q+-\sqrt{q^2+4\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}{2}$$
$$u^3=\frac{q}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}$$
Obtendo finalmente u e v como as dúas solucións da ecuación cuadrática, e desfacendo o cambio, a solución da ecuación orixinal:
$$x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^2}}$$

Cardano só traballaba con valores positivos dos coeficientes, mais o método pode ser replicado sen problemas para casos como $x^3=15x+4$ (collendo x=u+v). Aínda que hoxe en día usamos exactamente o mesmo método e traballamos con $p=-15, q=4$.
Observamos ademais a ecuación do exemplo ten a solución x=4.
Aplicando o método adaptado, obtemos:
$$x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$$
O que, en nomenclatura contemporánea, ten o aspecto
$$x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$$

Como xa sabíamos que $x=4$ era unha solución da ecuación, significa isto que $\small{4=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}}$?

Polo visto Cardano xa atopara estes números esvaradizos estudando as solucións de problemas como o seguinte:

"Divide 10 en dúas partes que multiplicadas dean 40"

Este ten o aspecto típico dos primeiros problemas non lineares que propoñemos aló por 2º de ESO. Resolto cunha soa ecuación, chegamos a:
$$x(10-x)=40 \rightarrow x^2-10x+40=0 \rightarrow x=\frac{10 \pm \sqrt{100-160}}{2}=$$ 
$$\frac{10 \pm \sqrt{-60}}{2}= 5 \pm \sqrt{-15}$$

Que escribimos hoxe $$x=5 \pm i\sqrt{15}$$

Imaxinarios, chamaríadelos agora?


P.D.: levaba uns anos querendo falar un anaco da ecuación cúbica. Que sexa a primeira vez en 12 anos de choio que dou os números complexos é a escusa perfecta para esta entrada. Cardano escribiu o seu libro en 5 anos, estimou que o seu contido duraría milenios, e agora en 1º de Bacharelato miniaturizamos estas ideas en 5 ou 6 sesións. Dalgún xeito tiña que resarcirme.



6.2.16

Dous problemas de áreas


Revisando vellas ligazóns da época na que resolvía problemas de olimpíadas matemáticas, dei cos meus ósos no arquivo de enunciados da Olimpíada Matemática Argentina. E nel, coas dúas únicas probas do Torneo del Mercosur que atopei na rede. Confeso que nunca parara a mirar as probas, seguramente porque a primeira ollada a problemas de Xeometría sen figuras deixa sen ganas de máis. Desta volta tería máis azos, pois achei este problema:

Temos dous rectángulos iguais, ABCD e APQR, tales que P está no interior do rectángulo ABCD e o lado PQ do rectángulo APQR interseca ao lado DC do rectángulo ABCD no punto E. Se sabemos que:
  • AB=CD=AP=QR=8
  • AD=BC=AR=PQ=12
  • DE=1
Achar a área da figura ABCEP


Esta é a tradución do problema orixinal, conviredes comigo que dá algo de cansazo. Sorte que xa vos fixen eu o debuxo:

Colocando as etiquetas na orde contraria ás agullas do reloxo, obtemos o mesmo problema?


E esta semana tamén descubrín estoutro, que aínda que fala de áreas, é totalmente distinto do anterior. Unha das cousas boas que ten dar catro niveis de Matemáticas é que vas atopar problemas axeitados en calquera sitio que mires. Este problema foi proposto na XXI Olimpiada Matemática Asturiana, en 2014, e eu vino no blogue Matemáticas JMMM, onde coido que cheguei desde twitter, mais non lembro desde que conta.

Na figura hai dous cadrados, un de lado 7 cm. e o outro de lado 2 cm. Os lados do cadrado pequeno son paralelos aos do grande. Atopa a área da zona sombreada.

  

Unha pregunta para os profesores: por que sería mala idea converter este exercicio nun ítem con varias opcións?

1.2.16

Da aula


Comparto uns exercicios que utilicei a semana pasada en 1º de ESO como avaliación formativa, por se lle interesan a alguén.

  1.  O ano pasado en Cedeira houbo vento $\frac{2}{3}$ dos días, mentres que choveu $\frac{2}{5}$ dos días. É posible que ningún día ventoso chovese? É posible que algún día nin chovese nin fixese vento? Razoa a resposta.
  2.  Completa a igualdade:  $\frac{3}{4}+\frac{3}{}=1$
  3.  Escribe a fracción irredutible que representa a frecha dentro do cadrado:

 
  
  1.  Calcula e simplifica:

    1. $\frac{5}{6}-\frac{1}{2}:\frac{10}{6}=$
    2. $\frac{6}{9}\cdot \Big(\frac{3}{4}+\frac{3}{5} \Big)=$


Seguimos pelexando...