28.3.16

Divertimento xeométrico(6)


  
Velaí un paralelogramo cunha recta transversal. Vedes o que sucede?


Se a resposta é negativa, aínda podedes fedellar na seguinte figura, movendo os puntos P e Q que determinan a transversal, ou ben modificando o paralelogramo (todo agás o punto C, que está determinado polos outros 3). Non utilicedes o botón de animación, que non fai o desexable, pois move os puntos P e Q do mesmo xeito en troques de facelo de xeito independente:



Se aínda non vedes nada, ide á fonte de onde tirei o problema, a enorme Go Geometry de Antonio Gutiérrez. Por aló atoparedes centos de problemas xeométricos coma este, e moito máis difíciles.

24.3.16

Oposicións a Profesor de Secundaria de Galicia 2014


Saíndo dos temas habituais do blogue, vou responder a unha petición e compartir a solución dun dos problemas da Oposición de Profesorado de Secundaria de Matemáticas do ano 2014. Imos aló:

Sexa para $p\geq0, K_n(p):$

$$K_n(p)=\int_0^1{\frac{x^n}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx$$

  1. Calcular $K_0(p)$ e $K_1(p)$
  2. Atopar unha relación de recorrencia entre $K_{n-1}(p)$, $K_n(p)$ e $K_{n+1}(p)$. Utilizar dita relación para calcular $K_n(0)$ e $K_n(1)$

Pola cantidade de manipulacións alxébricas que vai levar, só vou incluír neste post a solución do apartado a)

En primeiro lugar, a integral é impropia, pois o integrando non está definido no extremo superior. Por isto imos ter que considerar o paso ao límite da expresión que obteñamos como primitiva. É dicir,
$$K_0(p)=\int_0^1{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=lim_{\epsilon \to 1}{\int_0^\epsilon{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx}$$

Como a expresión non ten unha simetría obvia e útil, non queda máis remedio que atopar unha primitiva. E o aspecto do radicando do denominador, xa factorizado, amola máis que axuda. Imos aló(aviso: non vou levar contas das constantes de integración):

Comezamos por facer o cambio de variable $y=1-x$, basicamente para ver mellor o que hai que facer despois:
$$\int{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\int{\frac{-1}{\sqrt{y(1+py-py^2)}}}dy=$$
$$\int{\frac{-1}{\sqrt{(p+1)y-py^2}}}dy$$
Agora o radicando ten un aspecto máis claro para o seguinte paso, escribilo como diferenza do cadrado dunha constante e unha variable, mediante o cambio:
$z=\sqrt{p}y-\frac{p+1}{2\sqrt{p}}$
Chegamos a:
$$\int{\frac{-1}{\sqrt{(p+1)y-py^2}}}dy=\int{\frac{\frac{-1}{\sqrt{p}}}{\sqrt{(\frac{p+1}{2\sqrt{p}})^2-z^2}}}dz=$$

Para non seguir a facer cambios, dou por suposto que a primitiva $\int{\frac{dt}{\sqrt{a^2-t^2}}}=arcsen(\frac{t}{a})+C$ é ben coñecida(o cambio é o trigonométrico standard), para rematar con:
$$\int{\frac{\frac{-1}{\sqrt{p}}}{\sqrt{(\frac{p+1}{2\sqrt{p}})^2-z^2}}}dz=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg(\frac{2\sqrt{p}}{(p+1)}z\bigg)$$
Desfacendo os (malditos) cambios:
$$\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg(\frac{2\sqrt{p}}{(p+1)}z\bigg)=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( \frac{2p}{p+1} y-1\bigg)$$
E outro máis:
$$\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( \frac{2p}{p+1} y-1\bigg)=\frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( -\frac{2p}{p+1} x+\frac{p-1}{p+1}\bigg)$$
Só queda avaliar a última expresión, chamémola $f(x)$ para abreviar, nos límites de integración:
$$K_0(p)=\int_0^1{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\lim_{\epsilon \to 1} {f(\epsilon})-f(0)= \\ \frac{-1}{\sqrt{p}} \Big( arcsen \Big(-\frac{p-1}{p+1}\Big)-\frac{\pi}{2}\Big)= \\ \frac{1}{\sqrt{p}} \Big( arcsen \Big(\frac{p-1}{p+1}\Big)+\frac{\pi}{2}\Big)$$

Que, como quedou o corpo ao resolver a metade dun dos dous apartados dun dos tres exercicios desa sesión?

Vaiamos con $K_1(p)$, que poderemos relacionar con $K_0(p)$:

$$\int{\frac{x}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=\int{\frac{x}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx$$

A estratexia é clara: acadar que apareza a derivada do radicando no numerador:
$$\int{\frac{x}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=$$
$$\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px+p-1-(p-1)}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=$$
Dividamos o cálculo anterior en dous:
1) $$\frac{-1}{2p}\int{\frac{-2px+p-1}{\sqrt{1+(p-1)x-px^2}}}dx=\frac{-1}{p} \sqrt{(1-x)(1+px)}$$
2) $$\frac{p-1}{2p}\int{\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+px)}}}dx=$$
Esta primitiva é xusto a que atopamos antes polo medio de $K_0(p)$
$$\frac{p-1}{2p}\cdot \frac{-1}{\sqrt{p}}\cdot arcsen \bigg( -\frac{2p}{p+1} x+\frac{p-1}{p+1}\bigg)$$
Xuntando os dous resultados, e avaliando nos extremos de integración, obtemos:
$$K_1(p)=\frac{1}{p}+\frac{p-1}{2p}\cdot K_0(p)$$

É comprensible que restrinxa a solución ao apartado a), non si?

23.3.16

A cacarexada formación do profesorado(de Matemáticas)


Imaxina que es un profesor de Matemáticas average. É dicir, sabes manexar as ferramentas informáticas para a docencia, tes certa bibliografía didáctica á túa disposición e sabes navegar na rede na pescuda de novas ideas, actividades, enfoques...

Dás imaxinado iso?

Continúa entón:

Aproveitas as vacacións que celebran a sementeira para analizar a formación que che ofrece a túa administración educativa, neste caso a Consellería de Cultura, Educación e Ordenación Universitaria da Xunta de Galicia.

Ti tes as túas inquedanzas docentes, aspectos nos que non dás atopado un xeito satisfactorio de traballar: o fomento do pensamento alxébrico na primeira etapa da educación secundaria, a introdución do concepto de función na ESO, o pensamento multiplicativo/proporcional, as demostracións matemáticas, a utilización do razoamento deductivo e do inductivo na aula, ...
E tamén sabes de certas iniciativas e polémicas lonxe do teu ámbito físico, máis ou menos novidosas: o productive failure de Manu Kapur, o growth mindset de Jo Boaler(que a primeira vista soa a homeopatía didáctica), o Problem Based Learning, o Inquiry Based Learning, o uso de problemas abertos na aula, a dicotomía entre o uso de exemplos abstractos e concretos no ensino, a minimal guidance na aprendizaxe,etc.



Agora tócache adiviñar: que pon á túa disposición a túa Consellería para que mellores a túa formación?



Comecemos por poñer como requisito que a formación sexa en Ferrol(o meu CFR, Centro de Formación e Recursos) e dirixida a profesorado de secundaria de Matemáticas:

 


Será que hai máis para o Bacharelato? 

Pois non

Quizais pido moito? Restrinxamos só que a formación estea dirixida a profesores de Matemáticas da ESO, e que poida ser realizada en calquera CFR, de xeito presencial ou virtual, pero que estea en prazo:


O das tribus é dunha empresa privada, para máis inri




Queda algunha dúbida de por que non me fío da administración educativa da que dependo? Imaxinade que tipo de avaliación do meu traballo docente poden facer os responsables deste deseño de formación do profesorado.

20.3.16

Bingo con dúas bólas


Nun bingo americano hai 75 bólas. Collemos unha bóla, e sen devolvela ao bombo, collemos unha segunda bóla. Se gañamos un premio igual ao número maior que collemos, cal é o noso premio esperado?


Vin este problema no moi recomendable blogue Data Genetics, e a solución alí presentada (que tardei un chisco en entender por completo) animoume a argallar eu unha menos sofisticada. Se non queredes que vos escaralle a diversión, ide por papel e lapis, que a miña solución vén xusto despois desta sorpresa nas táboas de multiplicar que nos amosa Mathologer:



Quizais non debería poñer vídeos máis interesantes cós meus posts...


Se lestes a solución de Data Genetics, veredes que comeza por analizar o bingo xeralizado, onde hai N bólas, e os casos que aparecen cando tiras a 1ª bóla, que ten un número f calquera. Claramente, a 2ª bóla terá un número menor en f-1 casos e un número maior en N-f casos. Ata aquí chega a parte sinxela, mais en diante comeza a utilizar propiedades da esperanza matemática, ben coñecidas para estudantes do primeiro ciclo do grao pero non para os de instituto. Por iso pensei eu no seguinte:

Se tiramos dúas bólas sucesivamente do bombo, o número de casos posibles coincide co de parellas, é dicir, $\binom{75}{2}$. Agora, en cantas desas parellas é o maior número o número f? Pois en f-1 parellas, i.e., en todas as parellas do tipo {1,f}, {2,f}, {3,f},...,{f-1,f}

Polo tanto, o número esperado vai ser $$\frac{2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74 }{\binom{75}{2}}$$
ou utilizando o símbolo de sumatorio,
$$\frac{\sum_{n=2}^{75}{n(n-1)}}{\binom{75}{2}}=\frac{\sum_{n=1}^{74}{(n-1)n}}{\binom{75}{2}}$$
Só queda entón calcular a suma do numerador, que admite varias achegas:
  • Podemos decatarnos de que está relacionada coa suma dos cadrados deste xeito:
$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74+2 +3 +4+ \dots + 74+ 75=$$
$$2^2+3^2+4^2+\dots+74^2+75^2$$

Como a suma dos naturais e a suma dos cadrados son ítems recorrentes, podemos supoñer o seu coñecemento, e obter:
$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74=$$
$$2^2+3^2+\dots75^2-(2+3+\dots+75)=$$
$$\frac{75 \cdot 76 \cdot151 }{6}-1-(\frac{75 \cdot76}{2}-1)=$$ 
$$\frac{75 \cdot76}{6}[2\cdot 75+1-3]=\frac{75 \cdot 76 \cdot 148}{6}=25 \cdot 76 \cdot 74 $$
Finalmente, a esperanza matemática é
$$\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\binom{75}{2}}=\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\frac{75 \cdot 74}{2}}=$$
$$\frac{152}{3}$$

  • Tamén poderíamos observar os primeiros valores da sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ...
Os valores das diferenzas sucesivas, 6, 12, 20, 30, 42, ...
Outra vez: 6, 8, 10, 12, ...
E finalmente: 2, 2, 2, 2, ...
Que as diferenzas de orde 3 sexan constantes amosa que a expresión orixinal é un polinomio cúbico. Coñecendo 4 valores da sucesión atopamos cun sistema 4x4 os seus coeficientes (por certo, este mecanismo aprendino en 2º de BUP)

  • Sinceramente, eu non calculei esa suma con ningún dos dous métodos anteriores, polo menos a primeira vez. Que foi o que fixen? Observar e ter sorte, basicamente:
$$2=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 }{3}$$ 
$$8=\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 }{3}$$ 
$$20=\frac{3 \cdot 4 \cdot 5 }{3}$$ 
$$40=\frac{4 \cdot 5 \cdot 6 }{3}$$ 
...
Para calcular a suma ata o final, atopamos a expresión análoga á anterior:
$$\frac{74 \cdot 75 \cdot 76 }{3}=74 \cdot25 \cdot 76$$  


Sabedes o mellor de todo? Que despois de moito cavilar, botar contas, argallar modelos,etc., ata que fun ao post orixinal e vin que tamén obtiña o valor $\frac{152}{3}=50+ \frac{2}{3}$ non estiven totalmente certo do meu...


12.3.16

Cousas que só atoparás nun libro de texto-2


Van case tres anos da primeira vez que trouxen un exemplo de estupidez manifesta nun libro de texto. A entrada, Cousas que só atoparás nun libro de texto, colleitou certo éxito en visitas desde aquela, chegando ao modesto top ten deste blogue.

Hoxe, como xa compartira en twitter o primeiro exemplo que ides ver, non tiña pensado traelo tamén por acó. Foi a aparición do segundo o que me convenceu. Xulgade vós:


Polo menos intuíron que era máis obtuso que agudo

Este exemplo está tirado do libro de "Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas" de 3º de ESO da editorial SM, que foi o escollido este ano polo meu departamento. Imaxino aos autores do libro buscando números que fixesen obvio que non había proporcionalidade(24 e 6 son o dobre de 12 e 3, respectivamente, pero 12 non é o dobre de 7), e esquecendo que eses números tiñan que servir como lados dun triángulo, para o cal tiñan que cumprir a desigualdade triangular(surprise, surprise). Un pouco máis adiante, na mesma unidade, hai un exemplo de aplicación directa do Teorema de Tales na que non dan suficientes datos para atopar as lonxitudes(os triángulos non "pechan"), mais non teño foto do libro e na versión on line está corrixido, o cal amosa que é unha simple errata.
En contra do que parece, o libro de texto anterior non é especialmente malo, para ser un libro de texto quero dicir. Xa teño falado destes libros editados para a LOMCE, e o certo é que podían ser peores. Coido que o que máis noxo me dá deste libro é a linguaxe que utiliza, xa no libro de 1º de ESO:

Deberían poñer actividades onde se collese un avión fóra de España


En realidade, nos libros de texto adoita haber erros moito máis graves que o dos triángulos de Cheshire anteriores. Observade como un autor de libro de texto(Santillana, 1º de ESO) pode acabar coa estratexia do profesor en dúas liñas:

A materia da que están feitos os pesadelos dos profesores de Matemáticas


Claro que o libro continúa a súa razzia contra a didáctica das Matemáticas tres páxinas máis adiante, neste caso facendo revolver ao pobre George Polya na súa tumba:

Os alumnos aplauden agradecidos ao leren isto



Exemplos hai miles, se non traio máis é pola pouca atención que lles presto aos libros. E menos que lles prestaría se dependese de min...


5.3.16

Groundhog Day, teaching edition


Nunha entrada de Dan Meyer dei cunha conferencia do investigador Edward G. Begle, Research and Evaluation in Mathematics Education. Procedo a traducir o comezo da súa disertación, ide adiviñando de que datas estamos a falar:


  Investigación e Avaliación en Educación Matemática
E.G. Begle
Stanford University

En educación matemática afrontamos dous problemas: o problema de ensinar mellores matemáticas e o problema de ensinar matemáticas mellor. Eu afirmo que o fixemos moi ben no primeiro problema pero mal no segundo. Nas últimas dúas décadas, como apuntou o profesor Young, fixemos posible que os cativos das nosas escolas aprendesen matemáticas moito mellores que as matemáticas ás que nós estivemos expostos. Aínda que non acadamos o progreso que agardabamos, desde logo que fixemos melloras na calidade das matemáticas dos nosos programas; e temos probas poderosas e abundantes de que os estudantes poden aprender estas mellores matemáticas.

Aínda máis, aprendemos durante a última década como podemos continuar garantindo que os estudantes teñan acceso a mellores matemáticas. Aprendemos como artellar a colaboración entre os profesores de aula e os investigadores, como elaborar novos materiais e como avalialos. En breve: o problema de ensinar mellores matemáticas está baixo control.

Pola contra o problema de ensinar Matemáticas mellor non o está. Déixenme enumerar algunhas das tentativas que foron levadas a cabo nos últimos doce anos. A finais dos 50 houbo moitos esforzos para ensinar mediante películas e a televisión. Despois chegaron as máquinas de ensinar e a aprendizaxe programada, coa promesa de que farían viable que todos os estudantes aprendesen, aínda que quizais a diferentes ritmos. O ensino en grupo cobrou grande atención durante un tempo, e en certo sentido segue a colleitala. O método de ensino mediante descobremento foi considerada a resposta ao noso problema de ensinar matemáticas e outras materias mellor. Máis recentemente, foi proposta a instrución individual, e tamén a instrución asistida por ordenador. Tamén se nos propuxo a planificación modular e a planificación flexible. Hai ben pouco a nosa atención foi dirixida aos laboratorios matemáticos.
Porén, a situación actual amosa que para todas estas panaceas ou ben hai escasa verificación empírica de ningún tipo, ou ben que hai demostracións empíricas de que os novos xeitos de ensinar non son mellores, aínda que a míudo tampouco peores que os nosos vellos xeitos de ensinar.



Se vos resultou interesante, despois desta a conferencia continúa outras sete páxinas; na entrada de Dan Meyer tedes acceso a dúas versións en pdf. Coido que é unha lectura reveladora para os que estamos neste choio de atopar xeitos de ensinar mellor. Aínda máis cando descubrimos que a conferencia foi lida a finais de 1970.