24.7.16

Outro feito curioso nos naturais


Atopei un anaco para actualizar cunha propiedade elemental ben curiosa, tamén dos números naturais como a desta entrada de hai uns anos. Sería recomendable que collérades lapis e papel para probar vós mesmos con outros casos. Observade:

Collamos todos os números naturais ata un número par calquera, eu de exemplo vou coller ata o 10.
$${1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$$
Dividide aleatoriamente en dúas metades o conxunto:
$${2,5,7,9,10}$$
e
$${1,3,4,6,8}$$
Agora arranxade a primeira de xeito crecente(xa está) e a segunda de xeito decrecente
$${2,5,7,9,10}$$
e
$${8,6,4,3,1}$$ 

Calculade a distancia(que sempre é positiva, vaia, falamos do valor absoluto da diferenza) entre os termos correspondentes de cada metade:
$${6,1,3,6,9}$$ 

E sumade esas distancias:
$$6+1+3+6+9=25$$

E ben?-Preguntará algún. Pois o abraiante é que ese mesmo resultado, 25, vai aparecer ao final do procedemento escollas como escollas as metades. Probemos con outra, ou mellor aínda, probade vós, agora que xa sabedes, ordenemos xa no primeiro paso:
$${2,4,7,8,9}$$
$${10,6,5,3,1}$$
$$8+2+2+5+8=25$$ 

O dito: sexa cal sexa a división en metades, o número vai ser sempre o mesmo, i.e., é un invariante, que só depende do número par escollido ao comezo do post.

Quédanvos dúas tarefas para o final de xullo:
1) Que número vai aparecer se seguimos este procedemento con, poñamos, o número 60?(pregunta que imaxino xa respondestes namentres líades o post)
2) Por que?

Non vou revelar o nome deste feito para que teñades que argallar vós un chisco, só o lugar onde eu o vin por primeira vez. Como noutras ocasións, foi nun libro do prolífico Titu Andreescu, Mathematical Miniatures, fonte dunha morea de xoias matemáticas.





4 comentarios:

  1. A primeira pregunta é fácil. Suposta a constancia do valor tomemos a partición máis simple:1,2,3,4,5 e 10,9,8,7,6. As diferenzas son os números impares 9,7,5,3,1 cuxa suma todos sabemos que é o cadrado de 5. O mesmo vale para 60
    É agora a segunda cuestión que a responda outro.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Presta bastante entender isto ao revés: sabendo este resultado, amosar deste xeito que os n primeiros impares suman o n-ésimo cadrado. Claro que o xeito no que demostrei eu esta propiedade usa cousas de progresións, así que... Hai demostracións pola rede nas que non se usa ;)

      Delete
  2. A pregunta 2 xa a respondeu tamén Cibrán, porque toda elección se pode reducir á que el propuxo. A chave está na ordenación, que fai que os números qe están da metade pra diante sempre se xuntan cos que están da metade para atrás. Así a suma final será a suma dos "maiores" menos a suma dos "peqenos", ou o qe é o mesmo, a suma dos impares, ou tamén o cadrado da metade do número par de partida. Xa teño un starter para o valor absoluto do curso qe vén 😍

    ReplyDelete
    Replies
    1. Pouco durou ;) Se non a vistes, a demostración/interpretación xeométrica que hai en Cut the Knot é ben fermosa:
      A Geometric Proof of Proizvolov's Identity
      Que conste que a demostración ten varios pequenos obstáculos, deses que xuntos poden marear.
      Por último, quédavos o algoritmo da outra entrada por se queredes xogar:
      Para quen lle gusten os números

      Delete