22.4.17

Euclidea


Dáme que non son o primeiro profesor de Matemáticas que fala do xogo Euclidea, pois eu mesmo xa lin comentarios en twitter hai tempo, calculo que haberá ano e medio. Cando souben por primeira vez del, coido que só había versión para dispositivos móbiles, agora hai tamén versión web. As capturas serán desta última versión.

Que podemos esperar dun xogo chamado Euclidea? Obviamente que sexa un xogo de Xeometría, e tamén é de supoñer que as construcións elementares estean implicadas. E así é: a dinámica do xogo é a da construción con regra e compás das figuras planas, de xeito crecente na dificultade e a sofisticación das ferramentas e dos obxectivos. Pasamos do triángulo equilátero inicial dos Elementos:

  
... a retos máis interesantes nun anaco:

  
Unha característica que mellora a idea esencial do xogo é que en cada figura hai que acadar dous obxectivos: construír a figura co menor número de liñas implicadas e construír a figura co menor número de construcións elementares(rectas e circunferencias). Dous obxectivos que apuntan a dous tipos distintos e complementarios de elegancia matemática.

Para os que estudamos baixo a mal chamada Matemática Moderna, aínda as figuras aparentemente máis sinxelas poden supoñer unha dificultade inusitada, pois a pouca xeometría non analítica que estudamos tiña como único leitmotiv a medida de magnitudes, principalmente lonxitudes. Se houbese un xogo semellante dirixido a facer diagramas de Venn ou aplicacións bixectivas, a miña xeración tería certamente máis facilidade que coas construcións de Euclidea.

Ah, e como o xogo xa é vello se consideramos a cronoloxía en tempos de internet, podedes pedir papas e esculcar os distintos walkthroughs que hai dispoñibles en youtube.

2.4.17

Ambigüidades


O outro día estiven a pensar na notación funcional, na que se presenta certa confusión entre:
  • O xeito que temos de expresar a composición dunha función consigo mesma, $f^2(x)=(f\circ f)(x), f^n(x)=(f\circ f \circ \dotsc \circ f)(x)$
  • A potencia dunha función como produto repetido, $(f \cdot f \cdot f \dotsc \cdot f)(x)$
  • A derivada n-ésima da función, $f^{(n)}(x)$, que en valores constantes de n adoita aparecer en números romanos, $f^{IV}(x)$
Por se fose pouco, a convención de que o índice $^n$ representa a composición e non a potencia non se conserva no contexto da trigonometría, onde:

$sen^2(x)=sen(x) \cdot sen(x)$ 

e a composición simplemente non ten abreviatura e escribimos, por exemplo:

$sen(sen(sen(x)))$

Pois ben, isto levoume a considerar os casos nos que a notación que utilizamos é ambigua, no sentido seguinte:

Que notación, utilizada de xeito estándar a nivel 4º de ESO, supón que se a escribimos no encerado da aula, os alumnos non poden estar seguros de como a deben ler?

Eu teño en mente a coincidencia de dous conceptos concretos, mais estou certo de que vós coñeceredes máis.

26.3.17

LIII Olimpiada Matemática Española



Esta fin de semana celebrouse en Alcalá de Henares a LIII Olimpíada Matemática Española para alumnos de bacharelato. Souben dos problemas que caeron nun grupo de profesores de Matemáticas no que participo en Facebook, e non puiden evitar roerlle ao primeiro, que adoita ser o máis sinxelo, e que este ano tiña que ver con números naturais. Observade:

Determina o número de valores distintos da expresión
$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$$
onde $n \in \{1,2,3,\dots,100\}$

Por variar un pouco, vou compartir a solución que atopei; e para que non vexades a miña solución antes de terdes oportunidade de pensar unha vós mesmos, déixovos unha interesante figura que vin en xaneiro en futility closet:


Ide a Futility Closet por máis información

Eis a solución:

A estratexia vai consistir en calcular os valores distintos do 1 ao 100 que teñen a mesma imaxe pola función $f(n)=\frac{n^2-2}{n^2-n+2}$

O certo é que resulta máis sinxelo do que vaticinei ao ver a expresión. Supoñamos que n e m son valores distintos entre 1 e 100 que cumpren que $f(n)=f(m)$. Entón:

$$\frac{n^2-2}{n^2-n+2}=\frac{m^2-2}{m^2-m+2}$$
$$(n^2-2)(m^2-m+2)=(n^2-n+2)(m^2-2)  $$
$$n^2m^2-n^2m+2n^2-2m^2+2m-4=n^2m^2-2n^2-nm^2+2n+2m^2-4 $$
$$nm^2-n^2m+4n^2-4m^2+2m-2n=0 $$
$$nm(m-n)+4(n+m)(n-m)+2(m-n)=0 $$
$$ (m-n)[nm-4(n+m)+2]=0 $$ 
Como n e m son distintos, o segundo factor ten que anularse:
$$nm-4n-4m+2=0$$
Esta ecuación pode resolverse de varios xeitos, por exemplo despexando unha das incógnitas e impoñendo posteriormente que tome valores naturais, mais observando a simetría do polinomio é máis limpo así:
$$(n-4)(m-4)-14=0 \rightarrow (n-4)(m-4)=14 $$
$$\Longrightarrow \begin{cases} \begin{cases}n-4=14 \\ m-4=1 \end{cases} \\ \ \ \ ou \\ \begin{cases}n-4=7 \\ m-4=2 \end{cases} \end{cases} $$
A priori podería haber divisores negativos de 14, p.ex. $n-4=-2$, pero provocaría que o outro factor fose $m-4=-7$ e por tanto m non sería natural.
En conclusión, só temos as solucións $$(n,m)=(18,5) \ e  \ (n,m)=(11,6)$$
Isto implica que todos os números do 1 ao 100 dan valores distintos da función f(n) agás estas dúas parellas, polo que hai 98 valores distintos

11.3.17

Divertimento xeométrico(7)


Revisando o fantástico libro de Ross Honsberger Mathematical Gems II (táboa de contidos en Cut the Knot) atopei esta propiedade dos triángulos.
Como é usual nos divertimentos, non vou explicar nada; tócavos a vós adiviñar que sucede na figura:



9.3.17

A voltas co octógono


Na anterior entrada propoñía a seguinte figura, na que aparece un octógono que tiña algo de curioso:

  

Non obtiven resposta no blogue, mais si en twitter:

Efectivamente o curioso do octógono, polo menos para min, é que tendo todos os lados iguais, non é regular debido a que os seus ángulos non son iguais, senón que hai dous tipos: os dos vértices N-O-S-L son menores cós dos vértices NO-SO-SE-NE.

Na seguinte figura podedes comparar a situación dos vértices do noso octógono(·) coa dos vértices(x) do octógono regular que comparte co noso o centro e a medida do lado:

  
Como actividade para levar á aula da ESO, o interesante sería pedir aos alumnos que atopasen distintos xeitos de amosar que o octógono non é regular. Ademais de adestrar a 'vista' xeométrica, a idea serviría tamén para practicar as demostracións informais: 'se fose regular, a propiedade ___ tería que cumprirse, mais non se cumpre, por tanto...'

Aínda no bacharelato, se houbese tempo, podería ampliarse a lista de métodos para demostrar que non é regular, co cálculo explícito das coordenadas das interseccións, o produto escalar, etc.

3.3.17

Un octógono calquera


No capítulo 3, Espacio y forma, do libro Aprender a enseñar matemáticas en la educación secundaria obligatoria, de Cecilia Calvo et al. dei con esta situación. Aínda sendo elementar, como eu non sabía dela, compártoa aquí.


 
  

Partimos dun cadrado, unimos cada vértice cos puntos medios dos dous lados nos que non está, obtendo 8 segmentos. Consideramos os puntos de intersección, violetas na figura, que forman un octógono.

Pois ben:

Que ten de curioso este octógono?

11.2.17

Reflexionemos, pois


A penúltima entrada nos Retallos de Matemáticas trouxo á memoria un vello problema que utiliza a mesma poderosa idea. Xulgade vós mesmos:


Imaxinade que temos unha bóla de billar colocada no punto de coordenadas (10,3). Dámoslle co taco sen efecto e a bóla, despois de rebotar en dúas bandas, chega ao punto (5,5). Cal foi a lonxitude do percorrido total da bóla?


Poño os ángulos por se alguén non lembra a propiedade fundamental


O que máis me presta deste problema é que pode resolverse por "forza bruta", dominando un chisco de Trigonometría. Mais non é necesario...

31.1.17

Outro problema de dobrar cousas


Os problemas nos que dobramos figuras xeométricas son habituais nos concursos matemáticos, probablememente porque adoitan incorporar a xeometría euclidiana elementar: congruencia, semellanza e Teorema de Pitágoras. Cunha situación sinxela de base podemos chegar a complicar moito as cousas. Eu mesmo compartín un problema dese estilos hai ano e medio:


Hoxe quería compartir un problema dese tipo, aínda que non tan enleado:


Temos unha faixa rectangular de papel de 4 decímetros de ancho. Dobrámola arredor da liña AX, de tal xeito que a esquina C cae no punto C', que forma con outra esquina A e co punto de solapamento B un triángulo rectángulo 3-4-5. A que distancia está X de C?

   


20.1.17

Matemáticas para Profesorado de Educación Secundaria


Tal é o nome dunha materia impartida na Universidade de Santiago de Compostela polo actual departamento de Matemáticas(Álxebra, Xeometría e Topoloxía, Análise, NEVER FORGET) no Máster de Profesorado de Secundaria. Cando vin que profesores da facultade onde estudei impartían unha materia dirixida a futuros profesores coma min, non puiden evitar analizar os contidos. E isto é o que atopei.

O primeiro que pode ver un da materia é que o seu obxectivo é "Coñecer e reflexionar sobre os contidos máis relevantes das Matemáticas, obxecto do ensino nos distintos niveis da educación secundaria." Nada que obxectar ante ese obxectivo, só que quizais nunha materia de 5 créditos non dea tempo. Vexamos.

Os contidos da materia están organizados en 3 bloques, que aínda que oficialmente non teñen título, poderíamos denominar respectivamente Xeometría, Análise, Resolución de Problemas.
O bloque 1 ten dous apartados, 1.1 A curvatura e  1.2 Xeometría Analítica versus Xeometría Sintética no ensino secundario. O apartado da curvatura fai referencia ao tema 43 da oposición, no que se tratan as proxeccións no plano e os distintos mapas da Terra. Un tema que eu tiven a sorte de estudar na materia Teoría Global de Superficies, en 3º de carreira. Na unidade na que se traballan tales contidos no instituto, en 3º de ESO, faise dun xeito case divulgativo e despois de moitas conversas con compañeiros diría que se tende a minimizar o tempo dedicado a eses contidos por non seren rigorosos nin seren necesarios para o desenvolvemento posterior.
No apartado sobre as perspectivas no estudo da Xeometría, o programa parece obviar dúas cuestións: o feito de que as coordenadas xa se introducen en 1º de ESO, e o estudo elementar de rectas no plano con coordenadas en 2º; e que desde a LOXSE algo(pouco) de xeometría sintética hai no curriculum, non como sucedía na época post-New Math da EXB-BUP.

O segundo bloque ten os contidos Números Reais. Sucesións de números reais. Funcións reais de variable real. Cálculo Diferencial e Integral. Sen saber máis do trato que se lle dá a eses contidos na materia, é difícil valorar se é axeitado. O número real no instituto debe de ser un dos conceptos peor tratados(non se pode facer ben, probablemente), os profesores simplemente agardamos que os alumnos se vaian afacendo ás propiedades que maxicamente van herdando dos números racionais(e que estes previamente herdaron dos enteiros). Como di Hung-Hsi Wu, este é un dos postulados das Matemáticas do instituto(que eu xa mencionara nesta entrada). En xeral estes contidos son máis propios do bacharelato que da ESO(e como os profesores novatos tenden a dar clase só no 1º ciclo da ESO, de moito non lles vai valer ata que se fagan vellos). Quizais quen escolleu estes contidos estaba pensando máis no antigo BUP que na secundaria actual.

O último bloque estuda a resolución de problemas, e ten un feixe de contidos:

3.1 Os problemas en matemáticas. Tipos de problemas. Estratexias e técnicas de solución de problemas.
• Problemas versus exercicios. Tipos de problemas: Problemas recreativos, de concurso e abertos.
• Estratexias na solución de problemas: debuxar figuras e diagramas, examinar casos especiais, formular problemas equivalentes, modificar o problema, cambiar o método de razoamento (contradición).
• Técnicas de solución de problemas: simetría (simetría xeométrica, simetría alxébrica), o principio do extremo, principio do pombal, transformacións e invariantes (paridade, aritmética modular e coloración, monovariantes).
• Uso de software matemático libre na resolución de problemas: GeoGebra, Maxima.

Na miña opinión, parecen máis axeitados para unha preparación de olimpíadas matemáticas e outros concursos que para formar a futuros profesores de secundaria. Sen dúbida, e este blogue é proba abondo, coido que certa formación en resolución de problemas é necesaria, e que é positivo que se faga de xeito regrado, non baseándonos só no autodidactismo e voluntarismo dos profesores. Pero a secuencia invariantes, principio do pombal, principio do extremo, etc. semella o índice dun dos famosos libros que inclúen heurísticos, como Problem Solving Strategies de Arthur Engel, Problem-Solving through Problems de Loren C. Larsson ou o inevitable How to Solve It de George Pólya.
Con respecto ao uso de software, geogebra é seguramente o programa que máis utilizo na aula, tanto na Xeometría como no Análise, polo que vexo necesario que se introduza aos futuros profesores no seu manexo. De novo, o que se poida facer nesta materia será escaso claramente. En canto ao Maxima, é obvio que se tenta apoiar o uso de software libre tamén nos programas de cálculo simbólico, fronte aos comerciais Derive ou Mathematica. Como contrapartida, Maxima non ten a repercusión no ensino daqueles(polo mesmo que Libre Office non ten a de Microsoft Office ou mesmo Linux a de Windows). Eu adoito utilizar nas clases a demo do Wiris, que está dispoñible on line e depende de Java, aínda que non sexa software libre.

Para rematar, aínda que agradezo a existencia desta materia, coido que posúe certa tendencia ao anecdótico. Cando atope un anaco hei buscar as demais materias do Máster de Secundaria, xa que no programa de enriba acho en falta máis didáctica da materia. Tendo en conta que o coñecemento da disciplina queda máis que probado ao estudar a carreira e que as xeneralidades pedagóxicas están afastadas da práctica cotiá, probablemente a necesidade máis perentoria dun futuro profesor sexa o coñecemento da didáctica específica das Matemáticas (o que se deu en chamar Pedagogical Content Knowledge in Mathematics Education, PCK, que xa está discutido, como non). Quedades emprazados.

6.1.17

Matemáticas na Rúa: os primeiros 8 anos


Outro día 6 de xaneiro, outro día que lembro o aniversario deste blogue grazas a que o da Carta Xeométrica é un día antes. Este ano, en troques de revisar o rumbo do blogue, vou compartir unha escolma dos posts que agora mesmo vexo máis interesantes, a razón dunha entrada por ano e en orde cronolóxica inversa:

Hai entradas mellores neste ano, seguro, escollo esta porque coido que o simple feito que amosa non é moi coñecido.
Este post é o paradigma do que me gustaría ter atopado na miña formación como profesor novel: que facer na aula para facilitar a aprendizaxe? Por desgraza, dáme que segue a non ser o habitual.
Deste ano hai varias entradas que vexo recuperables, optei por esta porque resulta abraiante descubrir a longa historia de moitos problemas que seguimos a utilizar nas aulas.
 Esta entrada coido que non a leu ninguén(25 visitas, LOL), e nela presentei un problema orixinal, ou iso cría eu daquela.
Este problema atopou, de xeito excepcional, solución neste mesmo blogue, na entrada seguinte.
O primeiro divertimento dunha serie que non rematou, espero.
Realmente é unha parvada de animación no geogebra, mais unha parvada que fixen eu.
Non é tampouco a mellor entrada das non moi elaboradas 140 daquel ano, cando usaba o blogue para propoñer problemas aos alumnos da Rúa, pero ten un problema curioso e a ligazón a un xogo que mestura algunha idea matemática. É dicir: dúas das miñas principais afeccións.

Xa tedes para ler a fin de semana.

3.1.17

Outra idea para un xogo


...que non hei facer por falta de tempo. Aínda que, para sermos rigorosos, o seu contido non se axusta a ningún curso da ESO nin Bacharelato: para que se dean coordenadas en 3 dimensións temos que esperar a 2º de Bacharelato, pero nese curso non se chega a ver nada que non sexan puntos, rectas e planos. En realidade, un alumno pode aprobar a parte de Alxebra Linear e Xeometría en 2º de bacharelato sen imaxinar nin un só plano.