31.12.17

Nadal 2017- Problema 9


Imos co derradeiro problema deste ano, un lugar xeométrico que apareceu nunha competición Putnam cando comecei eu a carreira:


Temos dúas circunferencias, $C_1$ e $C_2$ de radios 1 e 3, respectivamente, con centros a 10 unidades de distancia. Atopar o lugar xeométrico dos puntos M do plano para os que existe un punto $X\in C_1$ e un punto $Y\in C_2$ tales que M é o punto medio do segmento XY.

Non inclúo applet por razóns obvias.   


Remato aquí a serie  de problemas. A actividade do blog volverá no seu estado actual intermitente o ano que vén, despois do 30 de xuño pode que recupere certa afouteza do pasado. Veremos.

30.12.17

Nadal 2017- Problema 8


Cando este blogueiro tiña que preparar as oposicións a profesor de secundaria, en troques de resolver os exercicios de oposicións anteriores ou o que é o mesmo, os exercicios dos libros da editorial Deimos dos ínclitos Braulio de Diego e Elías Gordillo, concentrei o miolo en resolver problemas de olimpíadas matemáticas do mundo. Nun xiro de guión, na oposición que pasei, no 2004, caeron polo menos dous problemas de olimpíada, que aínda que non resolvera ningún previamente, fun quen de resolvelos naquel corredor no que fixen o exame.

Como non tiña mellor cousa que facer, os problemas que me resultaban interesantes quedaban recollidos nun arquivo en papel, xunto coa solución ou solucións que dera atopado. O oitavo problema vén dese arquivo, orixinalmente da olimpíada británica:


A sucesión real $x_1,x_2, x_3, \dots$ é definida mediante $x_0=1$, $$x_{n+1}=\frac{3x_n+\sqrt{5x_n^2-4}}{2}$$

Amosar que todos os termos da sucesión son enteiros.


29.12.17

Nadal 2017- Problema 7


Atopei este problema nunha olimpíada matemática da India, onde o habitual é ver grandes problemas de números. Sorte con el:

Os lados dun triángulo ABC miden a, b e c. Consideramos outro triángulo $A_1B_1C_1$ de lados $a+\frac{b}{2},b+\frac{c}{2},c+\frac{a}{2}$. Amosar que

$$[A_1B_1C_1] \geq \frac{9}{4}[ABC]$$

onde $[XYZ]$ denota a área do triángulo XYZ.


Coido que neste blog nunca aparecera unha desigualdade xeométrica, talvez algún lector da lexión de seguidores teña mellor memoria ca min...

28.12.17

Nadal 2017- Problema 6


Un rápido para a media ducia:

Amosar que o número natural inmediatamente superior a $(\sqrt{3}+1)^{2n}$ é divisible entre $2^{n+1}$


Xa está. Sinxelo, non si?

Editado o 29/12/2017: o factor ten expoñente n+1. Non sei se o día que era me afectou...

27.12.17

Nadal 2017- Problema 5


Para o quinto problema, unha das construcións recorrentes neste blog: a dobradura de papeis.


Collamos un anaco calquera de papel rectangular. Dobrémolo por unha diagonal, e consideremos o anaco solapado e a súa área. Se calculamos a razón entre a área do solapamento e a área do rectángulo orixinal, cal é o valor máximo que podemos obter? E o mínimo? Que porcentaxes enteiras pode alcanzar esa razón?

    

26.12.17

Nadal 2017- Problema 4


Outro problema clásico para o cuarto da xeira:



Dividimos os lados dun triángulo calquera en 4 anacos iguais, e unimos cada vértice do triángulo co punto que marca a 1ª división do lado oposto. Os tres segmentos trazados determinan un triángulo interior.
Atopa a razón entre a área do triángulo interior e a área do triángulo orixinal.
E se en troques de 4 anacos, fixésemos a división dos lados en n anacos iguais?

    

25.12.17

Nadal 2017- Problema 3


Imos co 3º problema desta xeira. O de hoxe, xeométrico, é clásico e non lembro a primeira fonte onde o atopei, mais si a última: nunha colección compilada polo experto en educación matemática John Mason.

Unha cabra está amarrada no bordo dunha leira circular. Que lonxitude ten a corda se a cabra pode pastar a metade exacta da leira?

 
      

Só un...
AVISO
A solución non é elemental de todo como parece suxerir o enunciado. Se queredes buscar o problema pola rede, o nome tradicional é The Tethered Goat.

24.12.17

Nadal 2017- Problema 2


O problema de hoxe, tirado da Olimpíada Matemática Alemá de 1996, vai de pedras:


Comezando no punto (1,1), unha pedra é movida no plano seguindo estas regras:


  • Desde un punto (a,b), a pedra pode moverse aos puntos (2a,b) ou (a, 2b).
  • Desde un punto (a,b), a pedra pode moverse ao punto (a-b,b) se a>b ou ao punto (a,b-a) se b>a

Atopa todos os puntos (x,y) aos que pode chegar a nosa pedra.


23.12.17

Nadal 2017- Problema 1


Para compensar a última reflexión sobre educación matemática, velaquí o comezo dunha serie de problemas interesantes para as vacacións.

O primeiro, da Olimpíada Matemática de Colorado:


Un xastre con afección por cortar tecido ten dez pezas de material. Decide cortar algunhas destas pezas en dez pezas cada unha. Despois corta algunhas das pezas resultantes en dez pezas cada unha, continuando deste xeito ata que cansa e para. Procede a contar o número total de pezas de tecido que ten, despois duns minutos determina que o número é 1984.
Amosa que tivo que contar mal as pezas.



Só un comentario: o que máis me presta do enunciado é o uso de "algunhas". Xa veredes.

15.12.17

Ensinamos ben as Matemáticas?


... non sei se o fago ben eu, como para pronunciarme en xeral. Ten toda a razón no seu chío Pedro Ramos:


Para entender do que vou falar, tedes que ver antes este vídeo:





Vin este vídeo hoxe á mañá, antes de ir ao choio. Atopei a referencia en twitter, como tantas outras veces, entre as contas persoais e corporativas que sigo que se preocupan pola educación matemática. Case foi unha obriga velo.

Comencemos por presentar os participantes: o primeiro, Eduardo Sáenz de Cabezón, é profesor da Universidad de La Rioja e na súa canle, Derivando, fai vídeos lúdicos sobre temas relativamente alternativos; o outro, David Calle é enxeñeiro de telecomunicacións e mantén unha academia on line, unicoos, con máis dun millón de subscritores, que sen dúbida axudou a moitos alumnos de secundaria a pasar os seus exames. Teño visto algúns vídeos de Eduardo Sáenz de Cabezón e sempre tentan ser didácticos e divertidos. Iso queda garantido. Do outro profesor do vídeo, David Calle, oíra falar cando transcendeu o seu nomeamento no Global Teacher Prize, o mesmo premio no que participara César Bona dous anos antes; mais non atopara un oco para verlle un vídeo ata hoxe(e o que vin, sobre extracción de factores dun radical, certamente non me gustou, claro que o vídeo do mesmo procedemento de lasmatematicas.es tampouco, outro día talvez fale disto).


Hai que observar que o vídeo ten un ton agradable e desenfadado, o que é de agradecer despois de tantas críticas desaforadas á docencia das Matemáticas. Non esperaba outra cousa deles, tamén é certo.

Vaiamos debullando o que me resultou relevante do vídeo:

  • Basicamente comenza por dicir que hai consenso en que as Matemáticas non se ensinan ben. Mencionan o comentario de Conrad Wolfram sobre a inutilidade do 80% dos contidos traballados nas clases, obviamente coa intención de crear tensión narrativa.
  • Continúan dicindo que hai certos contidos que temos que estudar aínda que non lles vexamos utilidade inmediata. E que habería que introducir contidos máis lúdicos para motivar.
  • Despois Eduardo comenta que como a tecnoloxía xa inclúe algúns dos procedementos que se ensinan(derivadas, integrais, etc.), ten que ser unha ferramenta  útil para a ensinanza. Logo concreta David que o que hai que atopar é un termo medio entre insistir cos cálculos aburridos e utilizar a tecnoloxía para esquivar as operacións.
  • Tamén afirman que debemos incluír contidos máis motivadores, e de paso empatizar máis co alumnado. Eses contidos terían que ser como os que traballa Eduardo nos seus vídeos.
  • Conclúen culpando aos creadores do curriculum e descargando ao profesorado, que está obrigado polos contidos prescritos.
En conclusión, obvian o suposto tema do vídeo, seica o deixan por imposible, pois non falan en ningures de como ensinar as Matemáticas, senón de que ensinar. O problema principal que lle vexo a este enfoque vén da miña propia experiencia: cando introduzo un tema algo alternativo non mellora a motivación posterior, cando teño que traballar contidos máis estándar, nin por suposto a comprensión. O alternativo funciona... mentres dura.

Acho de menos, e é unha teima desde que comecei na profesión, que digan como ensinar os contidos máis áridos. David Calle xa fai vídeos deses contidos, na miña opinión pouco fundamentada totalmente tradicionais. A Eduardo Sáenz non lle vin nunca explicar un contido estándar, con procedementos, só divulgar curiosidades(non o digo de xeito despectivo). Eu non son moi afeccionado ás operacións e procedementos longos e complicados porque si, porén asumo que hai que acadar certa familiaridade con eses contidos, pois gran parte da comprensión dos conceptos se constrúe ao mancharmos as mans cos cálculos previos. Se por exemplo non traballásemos en ningures a racionalización de expresións radicais(un dos cálculos que as calculadoras actuais executan), a resolución de certos problemas xeométricos e trigonométricos dependería dun número sen significado que aparecería nunha calculadora. E ben sei que moitos alumnos, aínda dominando os procedementos de racionalización, non serían quen de contestar preguntas elementais sobre as expresións radicais.

Cando a Xunta aínda ofrecía algúns cursos relacionados coa didáctica das Matemáticas, chamábame a atención que case ningún se cinguise ao curricular: trataban de contidos alternativos, lúdicos, etc. que usualmente xa coñecía de lecturas paralelas ao transcurso da carreira. E sempre pensei: "se non houbese un curriculum, iso tamén o faría eu todos os días, mira que espelidos".
E sigo pensándoo.

10.12.17

O novo temario das oposicións


Os temarios oficiais das oposicións a profesor de secundaria datan de 1993, cando a LOXSE aínda non entrara nos institutos, A lista de Schindler gañou o Oscar á mellor película, Radiohead debutou con Pablo Honey, e moito máis importante, este blogueiro estudaba derivadas e raíces de números complexos en 3º de BUP.

Como unha teima recorrente neste blog vén sendo a formación dos profesores de Matemáticas de secundaria, fun botarlle unha ollada ao borrador de novos temarios que publicou o Ministerio de Educación, que podedes atopar aquí. Vexamos por riba que cambiou e que quedou igual:





Á esquerda tedes os temas do borrador do MECD: sombreados en verde os que son practicamente iguais a temas vixentes, en vermello os que introduciron novos e en amarelo os que ou ben son parte de temas previos ou ben inclúen varios temas previos. Nos temas vixentes, á dereita, veredes en fonte verde os que se manteñen (sexa íntegros, en cachos ou xunto con outros) e en fonte vermella os que desaparecen. Obviamente puiden cometer erros puntuais observando o borrador, porén non variará moito o que tiro de conclusión.

Globalmente vese que cada un dos bloques tradicionais de contidos, Aritmética e Álxebra, Análise, Xeometría, Estatística e Probabilidade, varía un chisco: engaden algunha unidade como a de 15-Autovalores e Autovectores, eliminan algunha como a vixente 15-Ecuacións Diofánticas(a miña preferida de todo o temario, curiosamente), xuntan algunhas unidades como as de Matrices(18) e Determinantes(19) nunha soa, e dividen algunha unidade como a vixente 49 nas propostas 40-Corpos de Revolución e 46-Cuádricas.

Con respecto ás unidades novas deses bloques:
  • A de Autovalores e Autovectores(15) é material de 1º curso de calquera grao de Ciencias e Enxeñerías, e non se ve/utiliza no bacharelato, non falemos da ESO.
  • As novas de Análise(20-Series numéricas, 29-Diferencial dunha función de varias variables reais, 30-Ecuacións diferenciais ordinarias e 33-Funcións de 2 variables reais) forman parte do curriculum de 1º ou 2º de calquera grao dos mencionados. E tampouco pertencen ao de bacharelato e secundaria.
  • As novas de Xeometría(47-Xeometría diferencial de curvas, 48-Xeometría diferencial de superficies, 51-Espazos topolóxicos) non son comúns a todos os graos de Ciencias e Enxeñerías, os espazos topolóxicos abstractos, por exemplo, só se estudan de xeito obrigatorio en Matemáticas e en Física(aínda que a noción conxuntista de topoloxía é habitual dentro do estudo da topoloxía da recta real). Utilidade en bacharelato e secundaria? $e^{\pi i}+1$
  • A única nova que vin no bloque de Estatística e Probabilidade, 56-Series temporais, é propia do grao de Matemáticas(especialidade Estatística e Investigación Operativa) e loxicamente do de Estatística. A mesma utilidade en bacharelato cás anteriores novidades. 

Ao final do temario lembraron actualizar con algún contido relacionado coa docencia das Matemáticas, o que non é mal síntoma a priori. Vexamos:
  • 69-A aprendizaxe matemática desde a neurociencia
  • 70-As Matemáticas no proceso de ensinanza das etapas de ESO e Bacharelato
  • 71-Do currículo básico á programación de aula en Matemáticas
  • 73-A demostración en Matemáticas
  • 74-Recursos e métodos para a aprendizaxe das Matemáticas

Agás a unidade 73, as demais non son exactamente contidos matemáticos, senón máis ben sobre a aprendizaxe das matemáticas. Na miña opinión, é axeitado que aparezan estas unidades na formación dos futuros profesores de Matemáticas, mais non estou seguro de se o lugar para incluílas é dentro dos temas do exame teórico. Quizais unha estrutura como a do proceso selectivo pre-2004, complementando a parte de lexislación educativa con didáctica da propia materia, sería a idónea. En calquera caso, xa vexo aos membros dos tribunais mirando temarios de editoriais para avaliar ese tema 69... e a probabilidade de incluír magufadas en troques das restricións da working memory está preto de 1.

Supón todo isto algún cambio importante? Pensando globalmente na preparación dos futuros profesores non, aínda que os opositores que xa prepararan algunha vez o temario van pensar o contrario, pois o cambio vailles supoñer non poucas tribulacións. Teño a sensación de que quen elaborase este borrador non tiña como principal obxectivo adecuar os temas ás necesidades do futuro profesor. Pode que pensase en incorporar novos temas á proba práctica da oposición, o cal é ridículo, pois problemas de xeometría diferencial, series, triangulación, ecuacións diferenciais, etc. xa teñen aparecido cos temas vixentes.

En conclusión, dá a impresión de que se actualizaron os temas polo mero feito de actualizalos. Unha perda de tempo e unha ocasión perdida máis.




25.11.17

Outro exame "incendiando" as redes


Cada certo tempo chegan aos medios novas dalgún exame estandarizado que deixa aos alumnos chorando. Habitualmente cóllennos de improviso, pois os ritmos doutros países difiren moito do español, e vemos como a finais de novembro alumnos doutros sistemas educativos están a pelexar con probas de certificación do bacharelato. Cando un ve estes exames desde a nosa perspectiva, custa entender o que está sucedendo, esencialmente por dúas razóns: por unha banda porque noutros sistemas non hai un só xeito de rematar os estudos (e non falo de modalidades como acó, senón dunha optatividade moito maior, e incluso de niveis distintos nas probas finais), e por outra porque as materias dentro da área de Matemáticas teñen moitas diferenzas coas nosas. O caso norteamericano é paradigmático neste senso, con materias específicas: Algebra I, Algebra II, Geometry, PreCalculus, Calculus, Statistics(nalgúns modelos), cando as nosas son, en contraposición, "Integradas", pois temos todos os bloques de contido todos os anos.


O exame-provoca-bágoas desta temporada vén de Nova Zelanda, o que ocorre por segundo ano consecutivo, e vai de Xeometría, mentres que o do ano pasado era de Álxebra. Corresponde á proba de grao 11 (polo que cheguei a entender, o noso 4º de ESO, pois rematan no grao 13 aos ~17 anos) do Nivel 1 de Matemáticas e Estatística, que é o nivel máis baixo, xa que os requerimentos aló para acceder á universidade inclúen varias materias ao nivel 3 e varias ao nivel 2. No Guardian subiron o exame a Scribd:



Probablemente a cuestión máis difícil sexa a 3 a), principalmente debido ao enleado do segundo diagrama, pero a min a que máis me gustou foi a 3 b), que reproduzo aquí:

     
Nun cadrado AFHC inscribimos unha cometa BDGE na que os segmentos GD, GE e GB miden o mesmo. Atopa a medida do ángulo x.


Non sei se é tan interesante como me parece a min, o certo é que teño tendencia a que me presten os problemas nos que aparecen cometas.

22.11.17

Traballos de Álxebra



O outro día colguei en twitter un problema que propuxera o ano pasado na miña clase de 4º de ESO. Como é habitual na rede entre profesores, o problema compartido non era dos habituais, senón certamente alternativo. Prometín subir algunhas tarefas propostas para traballo na casa, e velaquí esta entrada.

O ano pasado tiñamos na programación a entrega de traballos como método de avaliación. Traballos en sentido amplo, non tiñan por que ser os usuais nos que se indica un tema que o alumnado ten que poñer en google(investigación-fake ou low cost), senón que podían ser problemas matemáticos de certa dificultade. Ao ter unha única aula, puiden empregar máis tempo en propoñer tarefas individualizadas, polo que veredes exercicios rutineiros mais tamén problemas xenuínos, pois ían dirixidos a que todo o mundo tivese a oportunidade de resolver por si mesmo o que lle tocase. Aínda que hai algunha que outra ecuación nestas follas, tentei que aparecesen problemas de álxebra sen ecuacións, cuestión da que xa sabedes que son teimudo.


As fontes das tarefas son variadas, sendo a de todos os exercicios 1 de cada folla a web Visual Patterns. Das segundas actividades, tanto poden ser olimpíadas matemáticas de instituto como problemas tradicionais dos que perdín a pista da orixe, como problemas aparecidos neste blog, como algúns (os menos) problemas propios...

Obviamente se alguén vise algo de utilidade, pode usalo, faltaría máis, como sempre co que vexa neste blog.

Sempre podedes pasar un anaco divertido pensando algún difícil.

9.11.17

Cousas que só atoparás nun libro de texto-4



Este curso sigo a utilizar obrigado o libro de texto do ano pasado, pois dou outra vez as Matemáticas Académicas de 4º de ESO. A medida que miro o que pon, vou atopando barbaridades de distinto grao. Se no anterior episodio desta serie dedicada aos libros de texto os delitos xurdían cando os autores do libro pretendían dar receitas aos alumnos para que non tivesen que entender os conceptos, o de hoxe xa é un crime matemático. Déixovos que observedes a consabida folla de exercicios do final do tema, despois poño solucionario que proporciona a editorial:


Perdón pola calidade, nese despacho hai 3 fontes de luz

Para que pensedes un anaco, chanto no medio esta fermosa construción da bisectriz dun ángulo que compartira Ed Southall no seu fabuloso blog Solve my Maths:




Ben, xa adiviñastes onde vai aparecer o desastre?


   
Seica hai certo número racional, dos 2 que aparecen na fermosa Identidade de Euler, no que os autores do libro non repararon. Estou certo de que a editorial corrixirá este erro na seguinte edición, non si?

4.11.17

Un problema da Purple Comet 2013


Revisando arquivos no disco duro que substituíu hai dous meses o meu vello PC (caído en combate, never forget), atopei a competición High School Purple Comet, onde vin este problema:

Enunciado totalmente estándar


Os puntos azuis dividen en 3 partes iguais cada lado, como parece a simple vista. O problema non é especialmente difícil, mais ten un aquel, probablemente debido a que certos segmentos non son paralelos. Cousa que un podería adiviñar observando que foi o penúltimo problema proposto no ano 2013. O último problema, por compararmos, foi o seguinte:

A representación decimal da fracción $\frac{m}{n}$ comeza por 0,711 e segue con outros díxitos. Cal é o menor valor posible para o denominador, n?

Ah, se preferides traballar con números arábigos, digamos que o cadrado do primeiro problema é 90x90.

20.10.17

Unha sorpresa elemental



Na penúltima folla de problemas que utilicei en 4º de ESO (este ano comezamos por unha unidade propia de 3º, pois non deu tempo a traballala no seu curso) introducín estes dous:


8) Encuentra la longitud de $\overline{EF}$ si $\overline{AB}, \overline{CD}$ y $\overline{EF}$ son perpendiculares a $\overline{AC}$ y la longitud de $\overline{AC}$ es 31.
   
8 bis) Dos postes de p y q metros de altura y perpendiculares al suelo están a una distancia de x metros. Dibujamos dos segmentos rectilíneos del extremo superior de cada poste al pie del otro poste. Calcula la altura a la que se encuentra el punto de intersección de los dos segmentos.


Estou case convencido que a idea interesante baixo estes dous problemas xa apareceu neste blogue, mais non a dou atopado. Tentade resolvelos e atopar a idea antes de ver o seguinte applet:



Para resolvelos hai que observar a semellanza de dúas parellas de triángulos rectángulos, nada máis. Porén, explicar nunha aula por que non varía a altura do punto de intersección conforme a distancia aumenta non é tan sinxelo. No feito de que non sexa intuitivo que a altura non varíe, lembra lixeiramente ao problema do cinto arredor do ecuador que xa trouxen hai 7 anos(!). Coido que é moi formativo que os alumnos tenten explicar, alén das contas alxébricas, por que sucede. Resultoume moi interesante o diálogo na aula.


Poderíamos dicir, dun xeito máis abstracto, que a función altura do punto de intersección coa variable independente distancia entre os pés é constante. Sobre todo se queremos que ninguén saiba de que falamos, e que se note en que facultade estudamos.

13.10.17

Fragments of Euclid



Hai cousa de medio ano vin nos microsiervos a reseña dun xogo, Fragments of Euclid, do cal coa miniatura do tráiler xa captamos a idea e a razón de que o traia a este blogue:




Por se non fose obvio, o creador, Antoine Zanuttini, confirma que este xogo de exploración e resolución de puzzles está baseado na obra de M.C. Escher, e que tivo un prototipo no transcurso do Ludum Dare 37, Non Euclidean Room, do cal recupero as escaleiras de Penrose do in-game:


Penrose Stairs
Penrose Stairs


Se tedes unha hora libre, mergulládevos neste pequeno xogo onde non hai un sistema de referencia estable.

4.10.17

Conferencia de Claudi Alsina no CIBEM 2017


Saio da escuridade do limbo dos blogues que non se actualizan para...

criticar, obviamente.



A raíz dun rechouchío da conta IberMatemática, vin o vídeo publicado pola OEI da conferencia plenaria de Claudi Alsina. Como vou criticar un chisco a súa conferencia, tedes que vela antes para comprender esta entrada:





"Adiós a la cabra, a la col y a la barca"


De todos é sabido que Alsina sabe como entreter a un auditorio de profesores de Matemáticas, como escoller os exemplos, e, por suposto, que ten sentido do humor.

Nesta conferencia mestura comentarios cos que concordo no esencial(só faltaría, é cuestión de probabilidade) con outros que me parecen pouco axeitados. Estes últimos son os que vou debullar.


  • En primeiro lugar, non máis importante, o título da conferencia.
Xa falei dos problemas lúdicos clásicos, algúns milenarios, na entrada De que me soa a min isto?
E aló xa comentei que eses problemas seguen a ser interesantes. Polo menos na miña experiencia. Ademais, non estou certo de que se usen moito nas aulas.

  • O que menciona sobre as cousas que non se usan fóra de clase.
Se a educación ata os 18 anos só tivese que ensinar cousas que se usan fóra de clase, non se trata de que en Matemáticas tivésemos que mutilar os contidos(asunto que non me quita o sono), senón que habería que eliminar a maior parte de materias que transmiten "meramente" o acervo cultural.

  • Do que podemos prescindir.
Comenta algunhas cousas que xa non son habituais nas aulas e apunta outras das que creo que non hai que prescindir.
    • As que xa non son tan habituais: o algoritmo da raíz cadrada baseado en $(a+b)^2$ xa non se emprega para facer raíces como $\sqrt{75920495}$ (eu fíxenas como alumno na EXB), as táboas de logaritmos(!?), que xa non nin usei eu nos 90(si usei as táboas trigonométricas).

    • As non prescindibles: as operacións aritméticas elementares, ata certo punto. Aquí Alsina parece descoñecer un feito básico: aprendemos as propiedades dos números cando traballamos con eles de xeito concreto. Do mesmo xeito que os que estudamos baixo a New Math non aprendemos Xeometría Euclidiana automaticamente ao estudarmos as estruturas alxébricas comúns, os alumnos de agora non van poder resolver problemas interesantes se non teñen un coñecemento concreto previo dos números cos que terán que traballar. Tampouco creo que poidamos prescindir sen máis dos símbolos formais.

  • As actualizacións dos temas que propón.
Algúns exemplos parecen tirados de libros de texto reais da actualidade(forenses, claves secretas, apostas, política electoral, recollida de datos, enquisas, etc.). Noutros parece gustar de fórmulas que non poderíamos facer entender aos alumnos, como o de $x^{\frac{3}{4}}$ que xorde no modelo depredador-presa ou o da data ideal da voda.
  • En ocasións non sei se fala de Primaria ou de Secundaria.
Isto pode que sexa a miña responsabilidade.
  • As frases grandilocuentes dos expertos educativos.
José Antonio Marina. Non hai máis preguntas, señoría.

  • A inevitable mención aos profesores que odian a súa materia.
Aí non é orixinal. Cada vez que se xuntan 3 profesores falan mal dun cuarto profesor-modelo abstracto, exemplo de inútiles e espello de malvados. Vén sendo como o comentario do taxista dos monologuistas ou os aforismos-'cuñao' en twitter.

Porén, non me desgusta toda a conferencia, aínda coa súa cadencia fatigosa. Se algún xentil lector chegou ata aquí, pode deixar a súa opinión nos comentarios, prometo non mandar raíces cadradas para casa.

26.8.17

Como sumar cunha parábola



Navegando ao chou na web da descontinua(?) web da Universidade de Cambridge Underground Mathematics atopei este feito, tan elemental que case dá vergonza recoñecer que non o coñecía xa.

Despois de ver esta entrada ide á de Underground Mathematics, que ten feixes de recursos interesantes. Pero antes, fedellade con este pequeno applet.

Do mesmo xeito que na entrada Como multiplicar cunha parábola, só tedes que introducir os números que queirades(case: restrinxidos ao intervalo [-10,10]) e ver como agroma a súa suma na construción.
Mentres que no applet da multiplicación, para multiplicar os números a e b había que introducir -a e b, aquí non hai que utilizar o oposto.

Analizando a elemental construción e como varía en función do tamaño relativo dos números, observamos, unha vez máis, como a álxebra pensa por nós en ocasións.



24.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3 RELOADED


Esta entrada é obrigada pois, para unha vez que comparto a solución dun problema, fun resolvelo mal. E non me decatei ata que Efe o apuntou nun comentario: x e y teñen que ser impares. Na miña solución non só non eran impares, senón que utilizaba potencias de dous(o colmo do non impar). Como a nobreza obriga, e tiven sorte axiña, veño escribir unha solución correcta(a saber).

Lembremos que o problema pedía demostrar que para calquera potencia de 2 con expoñente positivo, $2^n$, podíamos atopar x e y impares positivos tales que $$2^n=5xy-x^2-2y^2$$

Que fixen para subsanar o erro cometido? Seguir fedellando, número 1 no meu decálogo, como xa comentara.

Desta volta tentei atopar números impares para os primeiros casos, e tampouco foi moi difícil:
$$2^1=f(1,1)$$
$$2^2=f(3,1)$$
$$2^3=f(13,3)$$
$$2^4=f(59,13)$$

Despois de rematar a solución, atopei moitas parellas que non cumpren o patrón que se albisca nestas, supoño que tiven sorte.

Que se ve nas que puxen?
Obviamente, que a abscisa do par ordenado que representa a $2^n$ aparece como ordenada no par que representa a $2^{n+1}$. Para atopar a relación coa abscisa do par seguinte hai que ter algo de ollo, tampouco moito:
$$5 \cdot 1-2 \cdot 1=3$$
$$5 \cdot 3-2 \cdot 1=13$$
$$5 \cdot 13-2 \cdot 3=59 \dots $$

Para quen non o vise a simple vista, o coeficiente 5 vén da expresión alxébrica da función.

Xa tiña unha hipótese para traballar, só faltaba comprobala:
Se $(x,y)$ representa a $2^n$, entón $(5x-2y,x)$ representa a $2^{n+1}$

O difícil era chegar aí, o resto é Álxebra na peor das súas acepcións:

Demostración: Supoñamos que $2^n=5xy-x^2-2y^2$, e vexamos que sucede con $f(5x-2y,x)$

$$f(5x-2y,x)=5 \cdot(5x-2y) \cdot x-(5x-2y)^2-2x^2=$$
$$25x^2-10xy-25x^2+20xy-4y^2-2x^2$$
$$=10xy-2x^2-4y^2=2(5xy-x^2-2y^2)=2f(x,y)=2\cdot 2^n=2^{n+1}$$
,q.e.d.

E só falta axustar o detalle técnico que podería ter esquecido perfectamente: eses valores de x e y son impares?
Pois si, pois partindo dun par (x,y) onde x e y sexan impares, a transformación $5x-2y$ conserva a paridade. Como comezamos co par (1,1), todos os pares así obtidos cumprirán que as dúas coordenadas serán impares.


22.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3


Editado o 24/07/2017: Esta entrada non resolve o problema proposto, como ben apunta Efe nos comentarios. Na entrada seguinte aparece unha solución de verdade. Déixovos que atopedes vós o erro.


Da Olimpíada de Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa xa falei por acó, e tamén da ausencia dunha web en condicións para consultala. Por sorte o ano 2016 foi celebrada no Brasil, onde xa teñen unha infraestrutura formidable arredor das olimpíadas, envexa de moitos outros países.

6ª Olimpíada de Matemática da CPLP


Na olimpíada do 2016 houbo varios problemas interesantes, por exemplo o 4º, sobre unha competición de futebol, que non reproduzo por ter un aire semellante ao da entrada previa. Mais o problema no que reparei foi o último, o 6º, que trataba de números:

Considere as potências de 2 com expoente inteiro positivo, ou seja, os números da forma $2^n$ em que n é um inteiro positivo: 2,4,8,16,... Prove que toda potência de 2 com expoente inteiro positivo pode ser escrita na forma

$$5xy-x^2-2y^2$$

com x e y ímpares positivos.

Vou compartir a secuencia que me levou a resolver o problema, pero antes, para non subtraer a diversión de resolvelo aos amables lectores, velaquí unha adiviña sinxela. A ver se descubrides que cuestión matemática representa a seguinte imaxe minimalista:

A solución, nesta páxina, e o resto de obras de Crockett Johnson aquí

Onde estabamos? Ah, si, con

$$5xy-x^2-2y^2$$

Outra persoa con máis intuición ca min seguramente poderá ver xa con claridade o asunto. Como eu non teño tanta vista, cando tento resolver un problema destes o primeiro que fago é, vaia,... fedellar, termo non recollido literalmente nas recomendacións de Polya mais que recolle o seu espírito.

Neste caso fedellar significa probar con casos pequenos das potencias de 2 e ver se observamos un patrón:
A primeira sae rápido:
$$2^1=5 \cdot 1 \cdot1-1^2-2\cdot1^2$$
Para escribir menos LATEX, vou chamar
$$f(x,y)=5xy-x^2-2y^2$$
A segunda(xa coa nova notación), tamén:
$$2^2=f(2,1)$$
As sucesivas:
$$2^3=f(2,3)$$
$$2^4=f(3,5)$$

Chegado a este punto, que foi o que vin? Pois si, números de Fibonacci. Neste momento pensei que tiña solucionado o conto, pois xa ía elucubrando como obter a representación dunha potencia de 2 desde a representación da anterior, ou das dúas anteriores...
Se lembrades a sucesión de Fibonacci,
$$1,1,2,3,5,8,13,21,...$$
E comparades coas primeiras representacións que obtiven,
$$(1,1),(2,1),(2,3),(3,5),...$$
Parece razoable pensar que os pares van aparecendo de xeito consecutivo na sucesión de Fibonacci.
Pasei uns minutos dándolle voltas porque non vía a zoca que metera, ao crer que o patrón dos pares ordenados era
$$(F_{n},F_{n-1})\rightarrow (F_{n+1},F_{n})$$
Pero os pares non cumpren nin ese patrón nin nada semellante. Se avanzamos na sucesión, vemos que o par $(5,8)$ falla:
$$f(5,8)=47$$
$$f(8,5)=86$$
Se temos en conta que a paridade dos números de Fibonacci é impar-impar-par-impar-impar-par-... veremos que o par impar-par nunca vai funcionar  nesa orde, pois  f(impar,par) é claramente impar.

A sensación de que unha idea que un cre exitosa resulta un fracaso é tremenda, e moitas veces é aí cando se deixan de lados os problemas, polo menos a min xa me ten pasado un feixe de veces.

Que fixen ante este fracaso (parcial)? Seguir fedellando.

Entón, for no particular reason, escribín a función en forma matricial:
$$f(x,y)=\left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc}
-1 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) $$

Tiven unha epifanía cando vin a matriz? Non. Aí quedou. A resolución de problemas non é como as TV movies, unha mágoa.

Mais, de súpeto, mirando para a expresión alxébrica $f(x,y)$ obviei as variables e fixeime só nos números, e vin...
$$5-1-2=2$$

O que provocou, agora si, a iluminación: se considero pares cos dous números iguais,obterei o dobre dun cadrado. Vedes por que isto é útil?
$$f(x,x)=5x \cdot x-x^2-2x^2=2x^2 $$
Collendo $x=2^n$, obtemos $f(2^n,2^n)=2(2^n)^2=2\cdot 2^{2n}=2^{2n+1}$

Que case, case, resolve o problema: xa o temos resolto para potencias impares de 2.

O que veu despois para resolver o caso de potencias pares, supoño que é inmediato, pero non sei como se me ocorreu:

Collendo pares ordenados nos que o primeiro número é o dobre do segundo, vemos o camiño:
$$f(2x,x)=5 \cdot 2x \cdot x-(2x)^2-2\cdot x^2=4x^2$$
Só temos que considerar $x=2^{n-1}$ para obter $f(2^n,2^{n-1})=4(2^{n-1})^2=(2^n)^2=2^{2n}$

E así representamos as potencias pares de 2. Xunto ao anterior, queda demostrado que todas as potencias de 2 de expoñente positivo poden ser escritas dese xeito, agás erratas. Se alguén atopa unha solución distinta, pode deixala nos comentarios.

16.7.17

Outro problema elemental e interesante


Remexendo polas páxinas de competicións dei na web da Olimpíada de Maio, e atopei esta fermosura de problema na proba de 2016:


Nunha competición deportiva na que se realizan varias probas, só participan os tres atletas A, B e C. En cada proba, o gañador recibe x puntos, o segundo y puntos e o terceiro z puntos. Non hai empates, e os números x, y, z son enteiros positivos que cumpren x>y>z.
Ao rematar a competición resulta que A acumulou 20 puntos, B acumulou 10 puntos e C acumulou 9 puntos. Sabemos que A foi segundo na proba de 100 metros. Determinar cal dos 3 atletas quedou segundo na proba de salto.



Coido que este problema cualifica dentro da categoría "faltan datos ou estou parvo?". Para sentirdes o momento de iluminación, non vos queda outra opción que poñervos a resolvelo. Ánimo.

2.7.17

Georg Mohr 2017


Agora que teño algo de tempo, estou a revisar ligazóns que deixara sen ler. Entre elas, a web dunha olimpíada matemática de instituto na que sempre atopo ideas interesantes, a danesa Georg Mohr.
Nun primeiro momento quedei prendado por varios problemas da 1ª rolda, probablemente pola miña tendencia a buscar cuestións arredor do comezo da Álxebra, en suspenso este ano por dar só 4º de ESO.

Observade uns poucos:

  • Na área dunha exposición de dimensións n x n metros, a audiencia é conducida por un camiño de ancho 1 metro desde a esquina A ata a esquina B. Cantos metros cadrados quedan dispoñibles para a exposición descontando a área do corredor?
 
O problema dá 5 opcións, non recomendo propoñelo dese xeito
  •  A figura amosa dous círculos de radio 1 e 2, respectivamente. A área de cada área gris é a. A área do círculo branco é b. Canto vale $\small{\frac{a}{b}}$?
É sinxelo, mais colleume de improviso
  • Un guindastre ten un pé triangular plano. A figura amosa o pé visto desde arriba. O pé pode rotar libremente arredor un eixe vertical montado no punto indicado. A rexión do firme que pode cubrir o pé e pintada de amarelo. Cal é a área desa rexión amarela?
    Gústame porque imaxino a inseguridade que teñen que afrontar os alumnos
Nesa primeira rolda hai moitos máis problemas interesantes, algúns máis axeitados para 3º-4º de ESO. Mais o que me chamou realmente a atención foi este da 2ª rolda:

  • A figura amosa un arco l na circunferencia unidade e dúas rexións A e B. Demostrar que a suma das áreas A e B coincide coa lonxitude do arco l.


 
Deixei abertas varias características no applet, como arrastrar obxectos, pois dependendo
da pantalla pode que non se vexa todo.


Unha pista: hai solución elementar, deixade por hoxe as integrais. Aínda que, por sorte, os arcos da circunferencia unidade non se calculan con integrais de arco...

18.6.17

Un problema viral


Rematando o curso o traballo burocrático increméntase de xeito notable, o que provocou que non vise ata hoxe un problema dos que lles prestan aos editores dos xornais (dos anglosaxóns, polo menos) que fixo a súa rolda hai un mes.

Sabendo que o seguinte problema foi proposto a cativos de Singapur de menos de 7 anos, cal é a solución?

    


Aínda que non vexades o que pon en inglés, todos adiviñades que hai que encher os círculos de tal xeito que se manteña certo patrón descoñecido. A ver se dades feito.


Para tapar o que vai vir, mirade que cousa máis bonita:









E agora o plot twist.

E se vos digo que o problema ten un erro, atopades agora a solución?

29.5.17

Outro problema da Friendly Competition


Se os puntos P, Q e R poden moverse libremente nos lados BC, AD e CD, respectivamente, observades algún invariante nesta figura?

É mellor que movades vós os puntos, se utilizades o botón de geogebra, o movemento estará sincronizado.Tamén podedes mover os vértices libres do paralelogramo.




En realidade a pista é xa practicamente a solución.


Vin este problema no libro A Friendly Mathematics Competition. 35 years of teamwork in Indiana. A primeira vez que souben desta competición, pensei que 'friendly' faría referencia á dificultade dos problemas. Estaba trabucado: hainos ben complicados. O termo refírese ao ambiente de compañeirismo que se tentou desde o comezo, en 1966, que se vivise entre os participantes das distintas facultades de Indiana.

E atopei de novo o problema cando estaba a remexer no disco duro para a entrada Libros. Haberá unha solución vía o Teorema das Alfombras?

13.5.17

Un problema distinto


Imaxe obrigada dun puzzle, de xkcd

Na última fonte que engadín en feedly, Puzzle Critic, que coñecín vía Solve my Maths, hai unha chea de problemas interesantes, cun rango de dificultade tan amplo como para incluír desde pequenos puzzles ata retos de olimpíadas nacionais.

Fedellando no arquivo do blogue, atopei este pequeno problema da Olimpíada Surafricana Junior do 2011 que captou a miña atención automaticamente. Espero que vos preste:

Varias persoas esperan en ringleira. Chega unha persoa máis á ringleira. Amosar que sempre é posible colocala na ringleira de tal xeito que o número de homes que lle queden diante coincida co número de mulleres que lle queden detrás.


Resulta interesante observar que o autor de Puzzle Critic e eu resolvemos o problema exactamente do mesmo xeito, mentres que un alumno seu utilizou unha estratexia totalmente distinta. Se queredes ver as solucións, ide á entrada orixinal.

1.5.17

Libros

Buscade abaixo o libro de David Wells para ver a relación coa Olimpíada do xoves

Esta entrada leva sendo posposta varios anos, máis por esquecemento que por outra razón. Aproveitando que un xentil anónimo (aka ML) me lembrou este propósito, é hora de que comparta unha pequena listaxe de libros que, dun xeito ou outro, me teñen marcado como profesor. Nos tempos que vivimos é obvio que non son os libros os únicos referentes de formación que temos os docentes, mais nesta listaxe vou deixar fóra as webs, blogues, etc., referencias das que xa teño falado noutras entradas.
Por se alguén non está atento, hoxe toca falar de libros no sentido clásico do termo.

O labor docente na secundaria ten varios planos: por unha banda o profesor estudou na universidade unha carreira que lle proporcionou os coñecementos esenciais da súa disciplina, despois recibiu unhas directrices sobre pedagoxía (no extinto CAP ou no actual Máster de Secundaria). A estes planos é probable que de xeito autodidacta e paralelamente á práctica da súa profesión, sumase o coñecemento da didáctica da materia. Isto ten como consecuencia que nesta lista haxa varios apartados, aínda que omitín adrede os volumes sobre aspectos técnicos do ensino e a aprendizaxe.
Tentei engadir ligazóns aos textos completos onde foi posible, i.e., onde o big brother google deixa que aparezan. En calquera caso, Library Genesis is your friend (este sería o meu lema se algún tarado me encomendase un curso de formación do profesorado novel).

Un último aviso: non podo asegurar que lese por completo todos os libros que van aparecer, sobre todo cos libros de consulta é difícil lembrar se un foi exhaustivo, ao non telos lido de xeito linear.



Antes de comezar, xa me estou a arrepentir dos que esquecín.

Matemáticas
Lino enteiro despois de rematar a carreira, cos meus prexuízos sobre o Cálculo Elemental xa asentados. Este volume ten dúas características positivas: fai reformular o que se sabe, e faino cun estilo moi elegante.
Este libro, xa demodé na disciplina, contén o que consideraban esencial desa disciplina dous dos mellores teóricos de números do momento. Ten un estilo por momentos austero.
Aínda que os dous libros son ben distintos en contidos e propósito, xúntoos acó porque grazas aos dous son un pouco menos ignorante en Xeometría. Coxeter foi un xeómetra formidable, e o seu dominio sobre a súa materia tradúcese ao seu estilo como autor.

O matemático que se pon sempre como exemplo de que se pode continuar traballando ata a senectude, Sierpinski fixo esta compilación de problemas, que na miña opinión forman parte da cultura matemática.
Este volume ten pouco que ver cos anteriores. Póñoo aquí porque pasei un verán resolvendo os problemas que contén, desde como calcular datas usando congruencias ata como resolver ecuacións diofánticas utilizando extensións cuadráticas dos números racionais. Cousas da xuventude.
Reflexión arredor das Matemáticas
Unha xoia de libro en todos os aspectos. Por poñer un exemplo, a análise que fai do Teorema Chinés dos Restos desde a súa orixe ata a formulación moderna abriume os ollos (btw, outro problema que podería ter aparecido na entrada De que me soa a min isto?) Daquela vin mellor onde estaban algunhas ideas por embaixo da forma provisional que se lles dea. Algo semellante experimentei cando vin que a xeneralización de Euler do Teorema Pequeno de Fermat anunciaba punto por punto a demostración moderna do Teorema de Lagrange da Teoría de Grupos.
Aínda que vendo os contidos un podería pensar que é un tour de force das Matemáticas que se estudan na facultade, o certo é que os autores van deixando a súa opinión sobre a necesidade dos conceptos matemáticos e a súa posición dentro das Matemáticas como disciplina interconectada. Non é unha obra para ler nunha tarde.

A peculiar visión dun matemático peculiar, xa forma parte do folklore matemático a súa postura sobre a imprescindible estética das Matemáticas.
Unha delicia de libro. Consta de artigos independentes sobre temas moi variados, desde como crear movemento rectilíneo utilizando engrenaxes ata curvas de ancho constante ou o Problema de Waring.

Reflexión arredor do Ensino das Matemáticas
A Sawyer mencioneino por acó de pasada. Ide á web enlazada se queredes saber do seu labor docente. Eu estou namorado da súa intuición como profesor.
Deste tamén falei xa.
Resolución de Problemas
Está pensado para o adestramento de olímpicos (Arthur Engel foi moitos anos o capitán do equipo alemán da IMO) polo que cobre todos os temas que poden aparecer nunha olimpíada de alto nivel. Tendo isto claro, évos un compendio de matemáticas fermosas.
Semellante ao anterior, aínda que sen os problemas de maior dificultade. Tamén inclúe rudimentos de cálculo infinitesimal, xa que está máis dirixido a un concurso tipo Putnam que á IMO.
 Tamén pensado como os anteriores, presenta os heurísticos tradicionais pero o rango de problemas cuberto é algo máis limitado.
Monos e cocos? Sombreiros que caen nun río? Calcetíns nun caixón? Unha viaxeira que colle un tren unha hora antes do habitual? Unha variedade inusitada de problemas é o que hai neste libro, polo que abrir unha páxina ao chou é un antídoto contra o aburrimento.
Fibonacci, Arquímedes, Euler, Gauss, Ramanujan, Steiner, Pascal,... atacaron problemas meramente lúdicos, polo menos na súa orixe. Petkovic fixo esta escolma milenaria.

A escolla de tres expertos problemistas. Non vou ser eu quen os emende.
Souben do termo "quicky" pasando pola sección de problemas do Mathematics Magazine que había na biblioteca da facultade, para min sempre estivo relacionado con Murray Klamkin, un dos autores do libro anterior. Máis tarde dei con este volume, do que teño tirado algún problemiña.
 Outra selección de problemas, que coa visión de Soifer, ten certa querenza á combinatoria e aos xogos(idiosincrática dos matemáticos da antiga URSS)
  • The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles- David Wells
Wells é outro divulgador de primeiro nivel da nosa ciencia. Por poñer un exemplo de problema deste libro, observade a imaxe da cabeceira desta entrada. Tedes que cortar esa figura en dous cachos de tal xeito que se poidan unir para formar un rectángulo normal.
Só ten 21 problemas probabilísticos, pero vaia problemas!
Miscelánea
Outro clásico imprescindible, tan imprescindible que a última versión foi editada por Coxeter. Contén todas as Matemáticas recreativas que se coñecían a finais do século XIX, e tamén unha disquisición histórica sobre o Mathematical Tripos de Cambridge, que o lector poderá saltar sen remorsos.
Orixinalmente un curso de Donald Knuth en Stanford, Concrete Mathematics é a edición completada e mellorada daquel curso. O estilo non é o dos matemáticos puros, senón que está máis enfocado cara a manipulación e o cálculo.
 Este libro pasoumo un amigo aínda estudando a carreira, que mercara a tradución ao castelán (lembranzas de antes dos tempos do pdf e o djvu). De lectura áxil, presenta a evolución da criptografía e da criptoloxía desde a antiga cifra César pasando pola máquina Enigma ata a actualidade.
Esta é unha elección obrigada. Se non o coñecedes aínda, correde, insensatos.
Un chisco de cultura popular, neste caso arredor dos xogos de azar, non vén mal entre tanta solemnidade. Haigh estuda o mundo das apostas, lotarías, xogos sinxelos,etc. desde o punto de vista da probabilidade.
Non é o único libro interesante do tristemente desaparecido Erickson, cuxo estilo é inconfundible. Neste volume presenta ao comezo de cada capítulo un feito rechamante. Por exemplo, no capítulo 8 atopamos:
"O número de triángulos non congruentes con lados enteiros e perímetro $10^{100}$ é 2083...3"(onde hai 196 treses)
Outro título enganoso: non esperedes unha colección de métodos da Matemática discreta, pois o que teredes entre mans recolle episodios históricos pasados pola peneira da intución e análise matemática. Entre eles, guerras, epidemias, Física,...
A referencia que temos todos ao saír da facultade. Ocupaba un lugar preeminente na bibliografía da materia optativa Historia das Matemáticas, que collín rematando a carreira. Quizais, para ampliar o inevitable eurocentrismo dunha obra como esta, sexa necesario complementar esta visión coa de The Crest of the Peacock. Non-European roots of Mathematics, de George Gheverghese.
  • Ancient Problems. Classic Brainteasers and other timeless mathematical games of the last 10 centuries- Dominic Olivastro
O título engana, pois en realidade é unha historia dos sistemas de numeración, comezando polo óso Ishango.

Seguro que achades de menos varios libros, non si? Moitos van agora:

Autores dos que tento(/tentei) ler todo o que atopo
  • Lewis Carroll
  • Henry Dudeney
  • Martin Gardner
  • Ron Honsberger
  • Howard Eves
  • Ian Stewart
  • Alfred Posamentier
  • George Polya
  • Anthony Gardiner
  • Claudi Alsina
  • Miguel de Guzmán
  • Richard K. Guy
  • Titu Andreescu
  • John Conway
  • Adrián Paenza
  • Edward Barbeau
Destes ides ter que buscar vós, que xa fartei de copiar links.


Nota mental: para todo o que lin, hai que ver o mal profesor que son.

22.4.17

Euclidea


Dáme que non son o primeiro profesor de Matemáticas que fala do xogo Euclidea, pois eu mesmo xa lin comentarios en twitter hai tempo, calculo que haberá ano e medio. Cando souben por primeira vez del, coido que só había versión para dispositivos móbiles, agora hai tamén versión web. As capturas serán desta última versión.

Que podemos esperar dun xogo chamado Euclidea? Obviamente que sexa un xogo de Xeometría, e tamén é de supoñer que as construcións elementares estean implicadas. E así é: a dinámica do xogo é a da construción con regra e compás das figuras planas, de xeito crecente na dificultade e a sofisticación das ferramentas e dos obxectivos. Pasamos do triángulo equilátero inicial dos Elementos:

  
... a retos máis interesantes nun anaco:

  
Unha característica que mellora a idea esencial do xogo é que en cada figura hai que acadar dous obxectivos: construír a figura co menor número de liñas implicadas e construír a figura co menor número de construcións elementares(rectas e circunferencias). Dous obxectivos que apuntan a dous tipos distintos e complementarios de elegancia matemática.

Para os que estudamos baixo a mal chamada Matemática Moderna, aínda as figuras aparentemente máis sinxelas poden supoñer unha dificultade inusitada, pois a pouca xeometría non analítica que estudamos tiña como único leitmotiv a medida de magnitudes, principalmente lonxitudes. Se houbese un xogo semellante dirixido a facer diagramas de Venn ou aplicacións bixectivas, a miña xeración tería certamente máis facilidade que coas construcións de Euclidea.

Ah, e como o xogo xa é vello se consideramos a cronoloxía en tempos de internet, podedes pedir papas e esculcar os distintos walkthroughs que hai dispoñibles en youtube.

2.4.17

Ambigüidades


O outro día estiven a pensar na notación funcional, na que se presenta certa confusión entre:
  • O xeito que temos de expresar a composición dunha función consigo mesma, $f^2(x)=(f\circ f)(x), f^n(x)=(f\circ f \circ \dotsc \circ f)(x)$
  • A potencia dunha función como produto repetido, $(f \cdot f \cdot f \dotsc \cdot f)(x)$
  • A derivada n-ésima da función, $f^{(n)}(x)$, que en valores constantes de n adoita aparecer en números romanos, $f^{IV}(x)$
Por se fose pouco, a convención de que o índice $^n$ representa a composición e non a potencia non se conserva no contexto da trigonometría, onde:

$sen^2(x)=sen(x) \cdot sen(x)$ 

e a composición simplemente non ten abreviatura e escribimos, por exemplo:

$sen(sen(sen(x)))$

Pois ben, isto levoume a considerar os casos nos que a notación que utilizamos é ambigua, no sentido seguinte:

Que notación, utilizada de xeito estándar a nivel 4º de ESO, supón que se a escribimos no encerado da aula, os alumnos non poden estar seguros de como a deben ler?

Eu teño en mente a coincidencia de dous conceptos concretos, mais estou certo de que vós coñeceredes máis.