11.2.17

Reflexionemos, pois


A penúltima entrada nos Retallos de Matemáticas trouxo á memoria un vello problema que utiliza a mesma poderosa idea. Xulgade vós mesmos:


Imaxinade que temos unha bóla de billar colocada no punto de coordenadas (10,3). Dámoslle co taco sen efecto e a bóla, despois de rebotar en dúas bandas, chega ao punto (5,5). Cal foi a lonxitude do percorrido total da bóla?


Poño os ángulos por se alguén non lembra a propiedade fundamental


O que máis me presta deste problema é que pode resolverse por "forza bruta", dominando un chisco de Trigonometría. Mais non é necesario...

7 comentarios:

  1. Eu este xa o coñecía. Se puxen a entrada foi porque, aparte de non decatarme nun principio da solución, era unha novidade para min.
    Aínda máis, recordo unha presentación deste problema feita por Felipe Gago na que enmarcaba o problema nun rectángulo que representaban as catro bandas da mesa nunha partida de billar. O mellor do conto era que para explicalo nomeaba as catro esquinas coas letras: O (a orixe), X (no eixo correspondente), I (soa igual que Y) e H (non soa, e polo tanto non molesta). Vai aquí un problema: por que escollía precisamente estas letras?

    ReplyDelete
  2. Teño curiosidade por saber a resposta...

    ReplyDelete
    Replies
    1. Da pregunta de Cibrán máis arriba ou do problema do post?

      Delete
    2. Realmente dos dous, porque aínda que penso que a solución ao problema orixinal de Cibrán é o triángulo órtico, non me dou conta da relación co problema do billar (eu a priori tamén o resolvería por "forza bruta"). A respeito das letras usadas para nomear as esquinas, supoño que I vén de incentro e H de ortocentro, pero non alcanzo a ver a relación.

      Delete
    3. Si, no meu problema a solución é o triángulo órtico, pero podes obtelo se tomas r e s como rectas de reflexión do punto Q, obtendo así dous puntos Q' e Q''. O segmento Q'Q'' corta as rectas r e s nos vértices que nos faltan do triángulo de perímetro mínimo.
      O problema de JJ resólvese igual, tomando primeiro o eixo Y como recta de reflexión e despois facendo a reflexión respecto do eixo X.
      A cuestión da denominación dos vértices é algo máis perversa. As letras X, I, H e O son as únicas cunha grafía o suficientemente simétrica como para que se conserven polos movementos realizados na resolución dada. Pensa que, por exemplo, o simétrico de "A" respecto do eixo X sería $$\forall$$ Neste punto estamos no momento ideal de facer unha reflexión sobre a importancia da escolla dunha boa notación ;)

      Delete
    4. O que di Cibrán deste problema queda máis ou menos deste xeito

      Delete
  3. Unha solución realmente elegante. Hai que ver o sinxelos que se volven algúns problemas só con ter na cabeza a simetría. Grazas aos dous!

    ReplyDelete