Matemáticas na Rúa

Mentiras que contamos os profesores de Matemáticas

2012-01-29T19:50:00.005+01:00

Quizais tería que dicir "Mentiras que conto eu como profesor de Matemáticas", pero supoño que moitos compañeiros farán o mesmo ca min.

Utilizo a palabra "mentiras" para resumir un conxunto de feitos incompletos, procedementos erróneos e concepcións trabucadas que aparecen nas Matemáticas de instituto. Nalgúns casos porque o concepto é demasiado complexo para ser explicado ao comezo da súa presentación aos alumnos, noutros porque omitimos conceptos previos necesarios para a súa comprensión cabal.

E noutras ocasións porque o salto que hai entre as Matemáticas que estudamos na carreira (no grao, na actualidade) e as que traballamos no instituto é tan sumamente enorme que ás veces non temos armas para facer comprender conceptos complicados a alumnos que están a comezar o estudo do alfabeto matemático (e non van saír de aí, apenas, ata a chegada do cálculo infinitesimal no bacharelato). Imaxinade o abismo que hai entre acabar de estudar os módulos planos e pasar a explicar o máximo común divisor. Ou aínda máis arrepiante: ensinar a distinguir entre a división e a multiplicación.

Sen intención de ser exhaustivo, e tendo en conta que é posible que outros compañeiros fagan mellor traballo ca min nestes temas, velaquí a listaxe:

A regra dos signos dos números enteiros.

Ou o famoso "menos por menos é máis". Hai varios xeitos de explicar este feito, pero polo que teño comprobado, ningún é efectivo. E desde logo, o camiño alxébrico que sabemos tódolos que estudamos Matemáticas é suicida.

Unha fracción dunha fracción coincide co produto das fraccións. E o produto de fraccións faise multiplicando numeradores entre si e denominadores entre si.

E por que?

O cociente de dúas fraccións faise multiplicando en cruz.

Intimamente relacionado co anterior.

O procedemento para atopar a fracción xeneratriz dun decimal periódico.

Resumindo: non podes restar infinitos decimais cando estes son distintos, pero maxicamente si podes cando son iguais. O mellor é que, na práctica, podes facelo, agás cando na resta "hai que levar"

Os "números reais do instituto".

Os números irracionais sonche unhas cousas raras que aparecen polo medio dos racionais, nunca vemos por que non os podemos escribir en forma de fracción (en 1º de B.U.P. o meu profesor explicounos por que a raíz de 2 non era racional). Ademais son "poucos" e "raros".

Na literatura sobre Didáctica das Matemáticas hai ata un nome, FASM (Fundamental Assumption of School Mathematics-O postulado fundamental das Matemáticas do Instituto + ou -), que fai referencia a que, sen explicación algunha, as propiedades da aritmética dos números racionais son traspasadas aos números irracionais e en conclusión a tódolos números reais.

Tódalas fórmulas dos volumes que utilizamos.

Agás as dos paralelepípedos, tódalas demais fórmulas son pura teoloxía.

O feito de definir π como o número 3'141592...

Isto teño que recoñecer que non o entendín con propiedade ata que estaba na carreira. E creo lembrar que foi lendo un libro de divulgación, obviamente non nunha asignatura de Xeometría Diferencial. Digamos que nos institutos a versión é esta: π é a razón entre o lonxitude dunha circunferencia e o seu diámetro, e punto. E a realidade (aínda a máis elemental) é moito máis enleada. Chamámoslle π á lonxitude da circunferencia que ten diámetro 1, e despois demostramos que en calquera outra circunferencia a razón entre a súa lonxitude e o seu diámetro é tamén π.

A continuidade das funcións trigonométricas.

Outro acto de fe.

O número e.

Hai anos os profesores falaban do límite que define e:

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^n

Hoxe en día é un número marabilloso, un arcano propio dun tratado de numeroloxía.

Se alguén fixa a súa mirada sobre as últimas ligazóns que compartín no delicious na barra lateral verá a páxina persoal de Hung-Hsi Wu, profesor da Universidade de Berkeley especialista en Educación Matemática. A lectura dos seus artigos, onde puiden atopar vellas teimas miñas sobre a introdución dos conceptos matemáticos, animoume a escribir este post. E como xa dixen máis enriba, non fun exhaustivo, así que pode que outro día continúe...

Un mareo de problema

2012-01-22T13:35:00.006+01:00

En primeiro lugar, a imaxe de enriba é a solución do problema anterior, que quizais non era tan evidente como supuxen eu.

Para compensar, un problema que non engana, tirado de "The colossal book of short puzzles and problems", de Martin Gardner (de quen ía ser?).

A figura do problema é realmente mareante, non só polo que me levou facelo no geogebra, senón pola sensación que provocan as liñas verdes. O feito de que sexan verdes (que empeora a visión) é consecuencia de ter usado o comando "secuencia" no geogebra para atallar no trazado.

Nesta ocasión trátase de atopar no debuxo da esquerda unha figura semellante á da dereita. E cando digo semellante, quero dicir o que significa de xeito rigoroso: unha figura coa mesma forma pero de distinto tamaño (de tal xeito que terá lonxitudes dos lados proporcionais á da dereita):

Un cadrado e un punto

2012-01-16T16:38:00.004+01:00

Hai tempo que non propoño un problema, así que aí vai un sobre ángulos. Ademais póñolle a etiqueta de "rápido" porque para quen saiba (e vexa) o importante, é automático:

Desde que puntos do plano dun cadrado vemos ese cadrado baixo un ángulo de 45º?

Como curiosidade, ante esta figura non podo evitar ver o punto P "detrás" do cadrado.

Quen odia as Matemáticas?

2012-01-10T18:36:00.006+01:00

Cando vin esta imaxe nunha web (cuxo nome lembro pero non vou reproducir aquí) rapidamente pensei en compartila.

Repito a pregunta: quen odia as Matemáticas? A maioría dos americanos ou certo xornalista?

3 anos por aquí

2012-01-06T12:36:00.004+01:00

Tal día como hoxe no 2009 comecei a publicar neste espazo. Naquel momento entendía este "Matemáticas na Rúa" principalmente como unha ferramenta para propoñer problemas alternativos aos meus alumnos de 1º, 2º e 3º daquel ano, e para compartir os xogos "casual" baseados en puzzles. Tamén para colgar ligazóns aos exames, boletíns de exercicios e simulacros que ía utilizando nas aulas, aínda que os arquivos estaban aloxados na wiki asociada. A razón disto último é que blogger non serve como almacén de arquivos, e non quixen empregar servizos como box ou 4shared por seren efímeros.

E así foi o primeiro curso que escribín por acó. Entre alumnos que resolvían algúns problemas, e que despois mos comentaban na aula, e unha compañeira que tamén participaba, foi pasando ese curso.

O segundo ano empecei máis ou menos coa mesma idea en mente, pero tendo en conta que os alumnos máis participativos estaban naquel momento en 2º de E.S.O., co cal o interese e o pulo típico dos pequenos de 1º xa estaban diluídos na adolescencia. Como contrapartida atopei un curso excelente de 1º de E.S.O., mais as alumnas dese curso nunca ousaron participar de xeito habitual.

E entón chegou o cambio de destino, da Rúa a Cedeira. E decidín manter o blogue, aínda que sen os obxectivos docentes previos, conservando nada máis o aspecto lúdico-matemático, é dicir, facendo deste blogue algo que me gustaría ler a min.

Esta decisión tivo dúas causas evidentes: eu tiña menos tempo para publicar debido ás viaxes entre Ferrol e Cedeira, estaba xa un pouco canso de loitar coa desidia usual dos alumnos, e tampouco tiña seguridade sobre o acceso á rede dos alumnos.

E nestas andamos. O blogue permanece como unha ferramenta marxinal de apoio á docencia. Este ano aínda non montei unha wiki de recursos, realmente porque plaxiei moitas das actividades dos outros anos, con cambios mínimos. Pero pode que aínda cree a wiki, é unha cuestión por dilucidar.

Xa que levo 3 anos vou poñer o hit parade dos posts máis lidos (sempre segundo as estatísticas de blogger), que non deixa de sorprenderme:

Se algunha vez estás de mal humor...

Este post ten dúas listas de cancións para escorrentar o mal humor. Quen sabe se as visitas son puro spam desde goear ou spotify.

Vaia día para traballar...

Aquí o único que hai é unha ligazón á solución dun exame.

Primeiro Problema dun Libro

E nesta entrada comentei un problema ben coñecido, ademais de propoñer un problema aritmético, mencionar a clasificación da última Olimpíada Internacional de Matemáticas e colgar un vídeo musical.

Non teño máis que dicir hoxe neste día de aniversario. Só:

Instructions from Hell

2012-01-05T14:19:00.004+01:00

Esta imaxe xa leva un tempo pola rede, póñoa aquí porque me parece un bo compendio de obxectos imposibles.

Tirado da web de David Brown

Na web mencionada veñen as instrucións, que para mellorar a situación, están en neerlandés. Así que desa tenda de mobles sueca que todos pensamos non debe de ser.

E para completar este post de cousas que dan dor de cabeza, aquí tedes a esta xente pescando baixo o xeo. Cando entendes o que está a pasar...

Fishing under ice from Juuso Mettälä on Vimeo.

Comecemos ben o ano

2012-01-02T19:53:00.003+01:00

Que mellor que unha animación que conta a historia dos Beatles?

BEATLES Rock Band from alberto mielgo on Vimeo.

Esta peza foi utilizada como introdución do xogo The Beatles:Rock Band, xa a finais do 2009, porén eu acabo de coñecela pola listaxe de vídeos de animación do 2011 de Kuriositas.

Aínda que o vídeo é estupendo, os puristas sempre poderán obxectar que a sucesión de cancións é un pouco caótica...

Triangulation

2011-12-29T17:14:00.003+01:00

A través do comentario dunha ex-alumna no tuenti (graciñas Sandra!) chego ás figuras xeométricas de Interactive Triangulation. Este proxecto forma parte da web Triangulation, posta en marcha por Emilio Gomariz, deseñador español que traballa no marco da arte dixital.

Por se fora pouco que compartise as súas ideas e traballo no seu blog, podemos ademais embeber estas nos nosos espazos. Como mostra, un botón:

Ide á web, e pasade un anaco enleando coas figuras. Ou remexendo entre as ligazóns, que as hai ben interesantes.

Esa canle que bota os Simpson...

2011-12-22T20:40:00.008+01:00

Dentro dos malos usos que se adoitan facer da estatística podemos distinguir dous casos: a pura ignorancia e a intención de manipular (en ocasións vemos os dous tipos converxendo).

Pois ben, lendo Flowing Data atopei esta gráfica sobre a taxa de desemprego no 2011, exemplo perfecto de mal uso da estatística:

Collido deste post

Case parece un pasatempo dos de "Atopa os x erros". Por buscarmos algo bo, poderiamos usar esta gráfica como exercicio para adestrar aos nosos alumnos na lectura de gráficas e na busca de erros e manipulacións.

Vexamos como quedaría unha gráfica ben feita con eses datos, aínda que con menos cores:

O problema reside en que nesta gráfica ben axeitada aos datos podemos observar a caída do desemprego no último mes. E supoño que os que crearon a gráfica de máis arriba non quererían que se amosase ese feito.

No blog que mencionei antes tamén lembran outra gráfica arrepiante, neste caso un diagrama de sectores cun uso creativo das porcentaxes:

Incompetencia matemática...

Estatísticas e cubos

2011-12-19T15:04:00.002+01:00

Aínda que non teñas un interese especial na Xeometría, este vídeo en stop motion, Proteigon, onde podes ver transformacións non-demasiado-ríxidas, vaiche gustar, xa verás:

PROTEIGON from BURAYAN on Vimeo.

E neste vas ver unha perspectiva curiosa das estatísticas, en concreto das típicas gráficas estatísticas (diagramas de barras, diagramas de sectores...):

Proba de formulario en Google Docs

2011-12-14T23:58:00.003+01:00

Nestes días finais aproveitaremos para coller algo de cultura na historia das Matemáticas. E quen mellor para tal obxectivo que un dos casos máis pintorescos deste mundo:

Évariste Galois

Cargando...

Un problema de bólas

2011-12-12T13:48:00.006+01:00

Para hoxe luns, tempada de avaliacións, outro problema inofensivo, dos chamados "de lóxica". A ver que vos parece:

Nunha caixa temos 13 bólas brancas e 15 bólas negras. Ademais, fóra da caixa temos 28 bólas negras máis. Eliminamos dúas bólas ao chou da caixa. Se as bólas son de diferente cor, devolvemos a branca á caixa. Se as dúas bólas son da mesma cor, eliminamos ámbalas dúas e substituímolas por unha soa bóa negra de fóra. Continuamos este proceso ata que só quede unha bóla na caixa. De que cor será?

É certamente sorprendente, a priori, que podamos saber a cor. Ata que entendemos o problema.

Editado o 14-XII: Pensaba que xa o indicara, pero non foi así. O problema non é de lóxica. É un problema puramente matemático, e hai que facer un razoamento matemático para resolvelo. Aínda que o feito de que a maquinaria matemática sexa pouco sofisticada leva a algúns a pensar na lóxica.

Just for Fun-7

2011-12-09T16:53:00.005+01:00

O último post Just for fun deste blog data de setembro, así que vai sendo hora de colgar un par de vídeos máis.

No primeiro vídeo ides que deixar de respirar mentres o skater fai o trick desde 0:38:

E en segundo lugar, outro vídeo de Richard Wiseman pensado para sermos os reis das festas nas (xa próximas) vacacións. Como avisa o propio Wiseman, algúns dos trucos poden ter certo perigo:

Un problema difícil de resolver (de verdade)

2011-12-04T19:39:00.005+01:00

Levaba varios días pensando en colgar outro problema como o último que comentei.

Problemas que propoño nas clases, pero que non pertencen exactamente a ningunha unidade didáctica (algo así como un off-topic no blog) e por esa mesma razón normalmente son problemas que escapan da sofisticación e da maquinaria técnica para resolvelos.

Pero finalmente lembrei un problema aparentemente inofensivo que, a primeira vez que un o enfronta, leva de seguro unha boa sorpresa. Velaquí o problema:

Temos dúas escadas, unha de 10 metros e a outra de 8 metros de lonxitude. Están apoiadas nas paredes opostas dunha corredoira, de tal xeito que se cruzan nun punto que está a unha altura de 2,4 metros. A figura aproximada que forman é a seguinte:

Canto mide a separación entre as paredes da corredoira?

Un bo problema, ademais dun bo adestramento nas nosas habilidades euclidianas (para quen as teña).

Problema aritmético

2011-11-24T22:49:00.006+01:00

O outro día puxen o seguinte problema nunha clase:

Cos cartos que tiña Carliños podería mercar 600 gramos de queixo ou 400 gramos de xamón. Pero decidiu usar os cartos para mercar exactamente a mesma cantidade de xamón e queixo. Cantos gramos mercou de cada cousa?

Por se alguén ten curiosidade, este problema está tirado literalmente da Olimpíada Brasileira de Matemáticas de 2008.

O problema pode (e pide claramente) ser resolto con álxebra. Pero no momento do curso no que estamos recorrer á álxebra non resulta inmediato.

Pero máis que o problema en si mesmo, o que quero salientar hoxe ten que ver co que tento transmitir nas clases. E que nas clases particulares non se pode facer por motivos de eficacia (non por outras moitas circunstancias das clases particulares).

Ás veces atopamos problemas que non podemos resolver.

En realidade, un comentario que fago nalgún momento ao longo do curso é que non dou resolto a maioría dos problemas que tento (isto, por certo, adoita ser realmente sorprendente para os meus alumnos).

E o problema de máis enriba é case imposible de resolver sen álxebra. Aos que o vexan inofensivo, recoméndolles botarlle unha ollada polo miúdo e tentar atopar a solución dun xeito sistemático, sen andar probando ao chou.

Na aula tentamos durante vinte minutos tirar conclusións sobre os datos do problema. Ao final os alumnos "botaron papas" co enfoque aritmético e tiven que levalos cara á álxebra. Polo menos, cando vexamos álxebra, verán que, ás veces, non queda outra que recorrer a ela.

Matthew Weathers, outra vez

2011-11-18T20:49:00.002+01:00

Levaba varios días atento ao profesor de Matemáticas máis mencionado neste blog (agás eu mesmo, claro está). Pois arredor de Halloween Matthew Weathers sempre fai algunha broma nas súas clases na Universidade de Biola, en California. Se non chegastes a ver as dos anos anteriores, aquí están:

Halloween do 2010

Halloween do 2009

Este ano, en troques dun vídeo subiu dous, pero ningún coa temática do Halloween.

No primeiro tenta explicar a idea da "inattentional blindness" (cegueira por inatención)

E no segundo, fala dos símbolos do Thanksgiving:

Time lapse da NASA

2011-11-15T23:20:00.004+01:00

Súmome (cun certo retraso) á blogosfera engadindo este alucinante vídeo montado con imaxes tomadas desde a Estación Espacial Internacional desde agosto ata outubro de 2011. Na páxina de vimeo aparece unha pequena explicación sobre a montaxe, entre outras cousas comentan que a altura aproximada desde a que están tomadas as fotografías é de 350 quilómetros (o que pode servir como base para o típico problema de xeometría-trigonometría sobre a distancia que se pode ver no globo terráqueo desde esa altitude).

Sen máis dilación, o vídeo:

Earth | Time Lapse View from Space, Fly Over | NASA, ISS from Michael König on Vimeo.

Chiste matemático (nivel 2)

2011-11-10T20:42:00.004+01:00

Hai case un mes que lin un post nun blog español chamado Zurditorium unha colección de chistes matemáticos, algúns ben coñecidos e outros que aínda nunca lera nin escoitara. Un dos novos (para min) foi este que a continuación reproduzo modificado para vacilar aos meus alumnos:

"Cada vez que un usuario de tuenti decide abandonar esa rede social e crea unha conta en facebook, a media do cociente intelectual de ámbalas dúas redes baixa"

Que vos parece? Ten bastante mala idea, na miña opinión, no que se refire ao usuario medio de tuenti. Aínda que non é boa idea ter só en conta o valor medio cando consideramos datos, pensade se non no seguinte caso:

"O galego medio ten un testículo e un ovario"

Ou aínda mellor:

"O galego medio ten menos de dous brazos"

Pregunta relacionada: Que sucederá se un usuario coma min, que ten conta nas dúas redes, decide abandonar as dúas? Sobe o CI nas dúas, sobe nunha e baixa na outra, ou baixa nas dúas?

Case o esquezo: o post orixinal, aquí.

Blockage

2011-11-05T12:38:00.003+01:00

Revisando os feeds sen ler do google reader descubrín que publicaron a segunda parte dun xogo, Blockage, ao que non lle prestara atención cando fora lanzado, hai xa un ano. De tal xeito que, ao ver a secuela, decidín xogar en primeiro lugar o xogo orixinal (non podo evitar ir por orde, aínda en xogos coma este, sen historia de ningún tipo, puro puzzle).

A conclusión é que o Blockage é un gran xogo, dos que fan quentar as neuronas cun número mínimo de elementos na pantalla. Por exemplo, nesta fase tiven que pensar máis do que esperaba:

A única mágoa é que só ten vinte fases. O bo: que xa temos dispoñible a segunda parte.

Outro test de Educaplay

2011-11-01T10:45:00.002+01:00

Hai uns días fixen este test sobre divisibilidade en educaplay. Consta de dez preguntas escollidas ao chou dun pequeno (moi pequeno) banco de preguntas que estiven a cargar na plataforma. Hai algunha pregunta capciosa por enleada, pero aínda así é sinxelo chegar ao 70% de acertos que require para ser aprobado.

Esculturas de Luz

2011-10-26T21:22:00.003+02:00

Calquera que siga este blog asiduamente (é dicir: eu mesmo), comprobaría que nos últimos tempos a frecuencia de actualización non é moi grande. E iso aínda que estou máis horas traballando con ordenadores que nunca. Ou quizais precisamente por esa razón.

De tal xeito que o único que apetece a estas alturas é ver algo relaxante e que non requira traballo mental por parte do espectador. Velaquí tedes o que preciso:

Dev Harlan - "Parmenides I", 2011 from Dev Harlan on Vimeo.

Na páxina do artista en vimeo, Dev Harlan, hai máis instalacións do estilo.

Números do 1 ao 10

2011-10-21T17:50:00.005+02:00

Estaba a revisar o libro Puzzles 101 de Nob Yoshigahara cando atopei este pequeno problema, que adapto aquí (para que sexa un pouco máis sinxelo):

Nos seguintes triángulos os números están colocados de tal xeito que o número de cada círculo é a diferenza entre os números dos dous círculos situados xusto enriba. No 1º triángulo, 3 - 1 = 2. No 2º, 6 - 5 =1, 6 - 2 = 4, 4 -1 = 3.

O desafío consiste en facer o mesmo cun triángulo cunha ringleira máis, cos números do 1 ao 10.

Proba de Test en Educaplay

2011-10-16T23:59:00.005+02:00

Acabo de rexistrarme e de escribir un feixe de cálculos con números enteiros, a ver que tal queda isto aquí:

Quizais utilice este test na clase, despois de practicar en That quiz:

Sumas de Enteiros

The Bridge

2011-10-12T18:53:00.003+02:00

Como poderiamos transmitir aos mozos de hoxe a alucinación que provoca o traballo de M.C. Escher, os paradoxos xeométricos, obxectos imposibles, perspectivas enganosas? Pois cun xogo, aínda en produción, chamado The Bridge. Na web oficial do proxecto hai unha galería de imaxes tiradas da mecánica do xogo. Pero mellor é ver o vídeo para ter certa intuición:

Tamén temos a posibilidade de baixar unha demo, mentres non remate o proceso de lanzamento do xogo.

Mentres atopamos factores primos

2011-10-07T20:14:00.004+02:00

...ás veces saímos un pouco do camiño e aparecen outros temas. Hoxe en 3º C, por exemplo, falamos das tormentas solares:

The Presurfer- How big are solar flares?

E, despois de comentar os seus efectos sobre o campo magnético terrestre, e en consecuencia sobre os aparatos eléctricos que utilizamos a diario, xurdiu un fenómeno que ningunha descrición en palabras chega a explicar:

The Aurora from TSO Photography on Vimeo.

Por certo, ao final volvemos ao máximo común divisor e o mínimo común múltiplo.

Tan sinxelo como A, B, C...

2011-10-01T11:54:00.007+02:00

Un problema sinxelo pero interesante que aproveitarei algún día, cando haxa tempo, na miña clase de 2º de E.S.O.:

Movendo as letras a cadros contiguos que estean baleiros, intercambia a posición das letras B e C:

(Por se hai algunha dúbida, os tres as teñen que rematar no mesmo sitio)

E para evitar que resolvan o problema por "aburrimento" e tentar que pensen dun xeito máis sistemático e menos aleatorio, engadirei a condición: Quen o fai no menor número de movementos?

Just for Fun-6

2011-09-28T17:19:00.003+02:00

En primeiro lugar, algo simplemente incrible:

E en segundo, outra ilusión óptica de puntos en aparente movemento. Se concentrades a vosa atención no cilindro xiratorio, que lles pasa aos puntos?

20 anos do Nevermind

2011-09-24T12:32:00.007+02:00

A nosa percepción do paso do tempo xoga malas pasadas. É curioso descubrir que desde a publicación de Nevermind ata, por exemplo, a estrea da primeira película do Señor dos Aneis pasou o mesmo tempo que desde esta estrea ata a actualidade. Parece que o noso cerebro percibe o tempo como un sumidoiro (un nodo atractor, se preferides), onde o que está máis preto tende de xeito acelerado a achegarse a nós.

En fin, deste tema xa pasaron 20 anos:

20 anos pasaran tamén cando naceu o autor deste blog desde a publicación do Jailhouse Rock de Elvis. Curioso, ou espeluznante, non estou seguro.

E que vai pasando neste inicio do curso 2011-12? Pouca cousa, só acabamos de comezar e do máis interesante probablemente foi como loitaron os meus alumnos de 2º de E.S.O. con este problema que con mala idea deixei caer polo medio da Pre-Avaliación:

Movendo só dous círculos tes que formar dúas liñas con 6 círculos cada unha:

Alá imos!

2011-09-18T19:44:00.002+02:00

Comeza o curso e é o momento axeitado para relaxarnos, e simultaneamente ralentizar o propio ritmo para adaptarse ao tempo das aulas. Espero que este vídeo axude:

Experience Zero Gravity from Betty Wants In on Vimeo.

Un rápido de moedas

2011-09-13T11:59:00.000+02:00

Navegando polos comentarios de blogs doutros profesores de Matemáticas atopei un par de problemas de moedas algo distintos do habitual, é dicir nin moedas que teñen un peso diferente das demais, nin voltas mínimas que se poden dar cunhas moedas dadas. Este é máis sinxelo que eses problemas, e por iso é probable que utilice este curso algún problema semellante:

Amalia, Brais, Carla e David teñen certa cantidade de moedas, todas con valores de 1, 2, 5, 10, 20, 50 ou 100 céntimos de euro. Amalia ten o dobre de cartos que Brais, Brais o dobre que Carla, Carla o dobre que David; e todos teñen dúas moedas. Cantos cartos ten cada un?

Echoes Reality 4D

2011-09-06T09:41:00.000+02:00

Hai unha morea de ideas neste vídeo que aínda non teño moi claras. Aínda así, a parte meramente estética é suficiente para gozar da visualización.

Max Cooper - Echoes reality 4D (video edit) - OFFICIAL from graphset on Vimeo.

Outro xogo topolóxico

2011-08-27T12:48:00.006+02:00

Un xogo topolóxico ben coñecido é o de conectar tres casas coas fontes de luz, auga e gas mediante nove liñas que non se intersequen, tendo en conta que os seis puntos estean nun mesmo plano, pois no espazo tridimensional a solución é evidente.

Antes de que alguén non avisado tente ese problema, teño que comentar que esa conexión é imposible, como comentan no artigo da wikipedia sobre Teoría de Grafos, no epígrafe sobre grafos planos, e demostran no artigo da wikipedia en inglés Water, Gas and Electricity.

Hoxe traio un xogo on line, Linx, no que hai que conectar os cadrados da mesma cor, con restricións ademais sobre o número de pasos que podemos dar, é dicir, o número de celas polas que podemos pasar para efectuar a conexión. A mecánica do xogo é totalmente intuitiva: facemos clic no cadrado dunha cor, e a continuación prememos nas celas que farán o camiño, ou ben directamente arrastramos sen soltar o botón do rato. Para os que coñezan o 3D-Logic, é exactamente a mesma dinámica. De feito poderiamos dicir que Linx é a versión 2D daquel xogo, aínda que só aparentemente, pois o 3D-Logic en realidade tamén era un xogo en dúas dimensións, pois só utilizaba a superficie do cubo de xogo.

Ten duás expansións, o Easy Set e o Hard Set, esta última recomendada unicamente para xogadores expertos. Comparade a dificultade observando a octava fase de cada un dos packs:

Linx

Linx-Easy Set

Linx- Hard Set

Realmente é un bo xogo dos que fan pensar durante un anaco.

Ilusión para escépticos

2011-08-16T10:49:00.003+02:00

Se formades parte dese grupo de xente que non cre que as dúas celas, A e B, teñen a mesma cor, xa non ides ter escusa. Porque agora ides ver o cambio en vídeo (visto en Fogonazos e no blog de Richard Wiseman):

Xa sabedes, non vos fiedes só dos sentidos. Lembrade a ilusión das espirais concéntricas...

Divertimento xeométrico

2011-08-10T11:34:00.005+02:00

Collede un rectángulo calquera. Trazade unha liña horizontal que o divida en dous rectángulos máis pequenos. Agora dividide o rectángulo superior mediante unha liña vertical para crear dous sub-rectángulos superiores, e facede o mesmo co rectángulo inferior para crear dous sub-rectángulos inferiores. O resultado debería parecerse a algo así:

Agora collede os puntos medios deses 4 sub-rectángulos (o xeito máis sinxelo de atopar o punto medio dun rectángulo é intersecar as diagonais).

Sodes quen de adiviñar que figura se forma? E a razón da área desa figura á área do rectángulo orixinal?

Podedes fedellar neste applet:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

E a explicación deste feito?

Steiner e o xabón

2011-08-06T21:26:00.012+02:00

Un interesante problema de optimización, coñecido como o Problema da Árbore de Steiner, consiste en trazar a rede de estradas que conecte unhas cidades dadas coa restrición de que a lonxitude total sexa a mínima posible. A razón de querer atopar tal rede é obvia: se a lonxitude total das estradas é mínima, o custo tamén será mínimo (deixando a un lado por un momento a orografía, obstáculos naturais ou artificiais...).

Collamos tres vilas de Galicia "ao chou", por exemplo Cedeira, A Rúa de Valdeorras e Oleiros, e pensemos en como trazar as estradas entre elas:

A imaxe da nosa terra, cortesía de Google

Se botades papas con este problema, non pasa nada (ademais é ben complicado), pois un matemático e prestidixitador británico, James Grime, xa nos explica no seguinte vídeo como chegar á solución. Para os que cursaron algunha materia de Xeometría Diferencial: Grime vai utilizar as Superficies Mínimas (superficies de curvatura media nula), dun xeito sorprendente para os non avisados. Para todos, vede a exposición, é perfectamente comprensible:

No problema de facer a conexión entre Oleiros, A Rúa e Cedeira, a solución sería:

A solución do problema para 3 puntos aparece no vídeo arredor do minuto 3. O punto de Steiner que aparece onde se intersecan as tres estradas é o punto de Fermat do triángulo, e sucede que os tres ángulos nese punto miden 120º. Como curiosidade, o punto de Fermat do triángulo formado pola Rúa, Cedeira e Oleiros está preto de Miño.

Se queredes saber máis:

Na wikipedia: Fermat Point
No I.E.S. Marqués de Santillana: Punto de Fermat de un triángulo
Canal de Youtube de James Grime: singingbanana (en serio, ese é o seu nome de usuario)

Problemas para agosto

2011-07-31T11:47:00.006+02:00

Para estar entretidos neste mes que comeza mañá vou propoñer uns cantos problemas, non todos de contido matemático (o que vén sendo habitual neste sitio). Aínda que algúns dos meus alumnos xa teñen motivos abondo para ter que facer, velaquí os problemas:

Continúa a serie: 4 - 8 - 61 - 23 - 46 - 821 - ?
Que hai en segundos, minutos, anos, estacións e milenios, pero non en días, meses, lustros, décadas e séculos?
Un home nunca apaga tódalas luces da súa casa. Un día decide facelo, e 20 persoas morren por esa razón. Que sucedeu?
Observa o seguinte rectángulo 7x5, onde están marcados os cadrados que forman o perímetro:

Os cadrados "exteriores" son 20, mentres que os "interiores" son 15. Atopa as dimensións dos rectángulos nos que hai tantos cadrados interiores como exteriores.

Un de lóxica: Antón di que Bea mente; Bea di que Carlos mente; Carlos di que Antón e Bea menten. Quen mente e quen di a verdade?

Creo que xa chegan. Se alguén atopa algunha solución e a explica brevemente, colgarei outra xeira de problemas.

Editado o 1-VIII: Grazas, Patricia, por apuntar o erro do 1º problema.

Mala prensa

2011-07-23T13:14:00.005+02:00

Collido de Cool Stuff

Revisando as novas sobre o radar de tramo que van colocar no túnel do Sartego na AP-9 (Neda, para quen non sexa de Ferrolterra), atopei unha mostra do xeito no que os medios adoitan tratar cuestións matemáticas, ata as máis sinxelas e cotiás, polo que me animei a emular o blog Mala Prensa (xa aparecera nalgunha ocasión por aquí). Transcribo a entrada, pero tamén podedes comprobar a fonte orixinal. Ata o título é unha necedade:

El radar de las matemáticas

19/2/2011

Con una simple regla de tres, el dispositivo que la DGT prevé instalar este año en uno de los tubos del túnel de O Sartego, será capaz de hallar la velocidad media de un conductor con solo captar su imagen a la entrada y a la salida del subterráneo. El nuevo radar de tramo calcula el tiempo que se tarda en hacer el recorrido y deduce la velocidad del vehículo. Si rebasa el límite, remite la fotografía tomada junto a todos los datos a la central de Tráfico en León para cursar la sanción.

Unha regra de tres? En serio? Pero onde estudou este xornalista a secundaria? Aínda que, para ser estrictos, se un é moi ceporro pode facer as contas cunha regra de tres, non sería máis sinxelo dividir a lonxitude do túnel entre o tempo que lle leva ao vehículo percorrelo?

Porque, se é por matar moscas a cañonazos, poderiamos facer as contas con cálculo infinitesimal...

Un aritgrama sinxelo

2011-07-19T20:20:00.005+02:00

Este aritgrama é semellante ao primeiro que propuxen aquí. Pero o que traio hoxe aínda é máis sinxelo que aquel:

SPOILER

O aritgrama presenta unha curiosidade, os tres números implicados(os dous descoñecidos e o 9) son cadrados perfectos.

Para perder o tempo

2011-07-13T21:26:00.006+02:00

Avisados estades polo título do post. Nestes xogos precisas pensar algo máis do habitual, e sonche ben adictivos:

Impasse

Neste xogo só tedes que chegar da posición inicial ao círculo verde. Para iso utilizade as frechas do teclado. Sinxelo, non? Pois probade...

14 Locks

A mecánica do xogo tamen é sinxela: Tedes que rebentar 14 pechaduras cos seus respectivos 14 contrasinais.
(Aviso: está feito na plataforma Unity, así que pode que precisedes instalar o plug in)

Check Flag

Este xogo é como un xadrez con taboleiro distinto do taboleiro do xadrez, pezas distintas das do xadrez e movementos distintos aos do xadrez. Aínda así é totalmente recoñecible a semellanza ao xadrez.

100th

Puzzles e plataformas, que máis pedir? Pois que a estética sexa retro:

Problemas para a excelencia

2011-07-11T13:10:00.006+02:00

O xoves apareceron en xornais de ámbito estatal os exames de acceso ao controvertido Bachillerato de Excelencia de Madrid (El Mundo, El País, Público, ABC). En realidade estas probas son as que permiten decidir os Premios Extraordinarios de E.S.O., pero este ano utilízanse ademais como medio de selección ao bacharelato mencionado.

Deixando a un lado que é posible que algunha cuestión no exame de Ciencias Sociales tivese datos confusos, voume centrar nos problemas de Matemáticas. Hoxe nun problema que apareceu tanto na opción A de 4º de E.S.O. como na B:

O cuadrilátero RSTU é un cadrado de 5 cm. de lado. O segundo cuadrilátero é construído escollendo os seus vértices P, Q, N e M a unha distancia x de R, S, T e U respectivamente, como amosa a figura. A área A dos cuadriláteros PQNM é función de x, polo que chamámola A(x).

Demostra que os cuadriláteros PQNM son cadrados. (1 punto)
Calcula a área A(x) en función de x. (1 punto)
Canto ten que valer x para que a área A(x) sexa 13 cm²? (1 punto)
Representar a función y=A(x) para 0 < x < 5. Para que valor de x é mínimo o valor da área do cadrado PQNM?(2 puntos)

Automaticamente hai varias cuestións que asaltan ao profesor de Matemáticas dese nivel:

O problema mestura o bloque de Análise co bloque de Xeometría, polo que o alumno precisa de certa madurez matemática.
No primeiro apartado solicítase unha demostración (aínda que sinxela e non moi formal) parte das Matemáticas erradicada da práctica de aula desde que existe a E.S.O.
No terceiro apartado é necesario resolver unha ecuación de 2º grao, contido que aparece en 2º de E.S.O. pero que os alumnos non adoitan dominar ata 3º.
No último ítem hai que representar unha parábola nun intervalo, e deducir o valor mínimo da función atendendo á súa gráfica.

En xeral non é un mal problema, quizais sexa esaxerado pensar que vaia distinguir entre alumnos de 4º de E.S.O. cun expediente excelente. Problemas semellantes a este son propostos nas aulas habitualmente, aínda que o profesor adoita orientar os pasos a seguir polos alumnos. Ademais os problemas dos exames de 4º de E.S.O. non teñen normalmente apartados encadeados, que provocan o fallo en cadea (neste caso, o apartado b é clave para os seguintes).

Anoxado en xullo

2011-07-09T18:59:00.004+02:00

Atopei no muro dun amigo no Facebook este vídeo dunha entrevista en Redes.

Se queredes velo en versión orixinal, en RTVE a la carta tedes o vídeo (e así non teredes que aturar a Punset dobrándose a si mesmo).

Despois de velo teño unhas cantas obxecións:

Distingue entre coñecemento e datos o entrevistado? Pensa que o coñecemento está a un clic? Suxestión: busque o Teorema Fundamental da Xeometría Proxectiva en google (é sinxelo, está na wikipedia en inglés, aquí). Opina que agora coñece o Teorema en cuestión?

Coñece realmente os sistemas educativos dos que fala? Sabe algo da atención á diversidade? (Que aínda que non sexa a panacea non debe ser obviada)

Pensa en serio que os alumnos están a usar as novas tecnoloxías para aprender o que lles interesa, alén do estudado nas aulas? Suxestión dun servidor: vaia a desmotivaciones, por poñer un exemplo safe-for-work.

Coñece a división do traballo en sectores en España para vir pontificando sobre as competencias necesarias para os futuros traballadores?

Está de acordo coa idea de que a aprendizaxe precisa de obstáculos para ser levada a cabo, ou pola contra, e polo que transpira a súa parola, considera que ten que ser lúdica?

En fin, creo que tería sido boa idea non ver o vídeo.

Un pouco de maxia

2011-07-06T10:40:00.003+02:00

En primeiro lugar un saúdo a quen estivese por aquí estes días de vacacións escolares. Eu permanecín desconectado do blog esta semana, pois aínda que este sitio teña unha compoñente esencialmente lúdica, iso non implica que non requira certo traballo.

Hoxe quería compartir un vídeo de maxia e un xogo.

No vídeo podemos ver unha reinterpretación do clásico truco de maxia da muller (sempre mulleres, por certo) aserrada en dous cachos. Enténdese bastante ben, pero aínda non entendendo todo o que din, a historia é fácil de seguir.

Os dous ilusionistas chámanse Penn & Teller, este truco aparece no seu programa "Fool Us" da cadea inglesa ITV. Teñen web propia e hai moreas de vídeos pola rede nos que "revisitan" trucos tradicionais.

Agora o xogo, Where Am I?, do que non vou explicar a dinámica, pois é o seu punto forte. Só quería salientar que o xogo foi creado en só 48 horas para o concurso Ludum Dare nº 19

Dous triángulos

2011-06-28T19:35:00.004+02:00

Un problemiña rápido para estes días de avaliacións, entrega de notas, reunións...

É obvio que con dous triángulos iguais podemos facer unha figura na que atoparmos 3 triángulos facilmente:

A intersección dos dous triángulos é unha figura con 3 lados (neste caso é un triángulo equilátero).

Agora o problema:

Es quen de colocar os triángulos orixinais formando máis de 3 triángulos? Cal é o número máximo de triángulos que podes acadar?
Es quen de colocalos formando na intersección un cuadrilátero?

Origami e Pitágoras

2011-06-25T13:20:00.003+02:00

A demostración seguinte é esencialmente a mesma que explicamos nas aulas, pero desde logo con Origami é moito máis espectacular:

Só de pensar en explicar a 26 alumnos simultaneamente como pregar o papel, teño suor frío...

Mesma área que perímetro

2011-06-21T18:19:00.007+02:00

No post anterior comentaba un problema que puxen nun exame de Xeometría de 3º de E.S.O. No transcurso da explicación deixei caer que só había dous triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados enteiras nos que o valor numérico da área coincide co do perímetro. Hoxe veremos a explicación.

Primeiro hai que lembrar que nun triángulo rectángulo con lonxitudes dos catetos b e c e lonxitude da hipotenusa a, o perímetro é obviamente a + b + c e a área a metade de b·c, polo que estamos a buscar as solucións en números naturais da ecuación:

a+b+c=\frac{b\cdot c}{2}

Imos aló. O primeiro é desfacernos dese 2:

2a+2b+2c=b\cdot c

Agora utilizamos que o triángulo é rectángulo, polo que a hipotenusa ten un valor dependente dos valores dos catetos polo ben coñecido Teorema de Pitágoras:

a^2=b^2+c^2 \rightarrow 2 \sqrt{b^2+c^2}+2b+2c=bc \\2 \sqrt{b^2+c^2}=bc-2b-2c

Elevamos ao cadrado ámbolos dous membros (si, os dous, non como fan os meus alumnos):

4 (b^2+c^2)=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc \\
4b^2+4c^2=b^2c^2+4b^2+4c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Reducimos:

0=b^2c^2-4b^2c-4bc^2+8bc

Sacamos factor común bc:

0=bc (bc-4b-4c+8)

Como bc non pode ser nulo, ten que selo o outro factor:

0=bc-4b-4c+8

Agora vén a parte menos trivial, a de expresar o membro dereito dun xeito máis sinxelo:

0=(b-4)(c-4)-8 \\ 8=(b-4)(c-4)

E agora entra en xogo que as lonxitudes son números naturais, polo que temos que buscar os valores entre os factores do número 8. Isto só dá soamente as dúas opcións:
Ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=8
\\ c-4=1
\end{array}
\right\}

pola que b =12, c = 5 e a = 13, ou ben:

\left.
\begin{array}{rcl}
b-4=4
\\ c-4=2
\end{array}
\right\}

onde b =8, c =6 e a = 10, que é a que apareceu no exame comentado.

Humor nun exame?

2011-06-18T14:45:00.015+02:00

Non estou a falar das respostas risibles que dan algúns alumnos nos exames, das que xa hai unha ampla literatura, e que ademais non adoitan aparecer en Matemáticas senón en Historia ou Lingua. Non, hoxe vou falar dun exercicio-problema que puxen na repesca da 2ª parte da 3ª avaliación do venres (si, tamén había repesca da 1ª avaliación, da 2ª, e da 3ª completa). Póñovos en situación:

O mércores fixemos un repaso de cousas que poderían aparecer no exame do venres. Para que lembrasen que non tódolos problemas xeométricos (áreas e volumes, principalmente) teñen unha solución consistente en ir encadeando o Teorema de Pitágoras dun triángulo rectángulo a outro, propúxenlles resolver o seguinte problema, tirado do exame de Xeometría que puxo a compañeira que dá no outro 3º de E.S.O.:

Un trapecio ten por lados 13 m, 20 m, 19 m e 40 m, sendo os dous últimos paralelos. Calcula a súa área.

Aínda que este problema xa fora resolto hai menos dun mes ninguén lembraba como empezar. Moitos pretendían que as alturas desde os dous vértices superiores deixasen as mesmas lonxitudes aos lados da base inferior, como se o trapecio fose isóscele. E non, non están choscos. A solución é standard, nada fóra do común e aceptable en 3º de E.S.O.:

Utilizando o Teorema de Pitágoras dúas veces:

h^2=13^2-x^2 \\h^2=20^2-(21-x)^2

Igualando os valores de h:

13^2-x^2=20^2-(21-x)^2 \rightarrow (21-x)^2-x^2=20^2-13^2 \rightarrow \\
21 \cdot (21-2x)=33 \cdot 7 \rightarrow 21-2x=11 \rightarrow x=5

E así:

h=\sqrt{13^2-5^2}=12

e a área é

\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{(40+19)\cdot 12}{2}=354 m^2

Agora que coñecemos os antecedentes, vexamos o problema que puxen no exame mencionado:

Atopar a área do triángulo seguinte:

É obvio que funciona a mesma estratexia que no caso do trapecio,neste caso algo simplificada, pois só temos unha altura ao termos un único vértice superior. A solución de xeito acelerado sería:

6^2-x^2=8^2-(10-x)^2 \rightarrow 10(10-2x)=14\cdot 2\rightarrow x=3.6 \rightarrow h=\sqrt{6^2-3.6^2}=4.8

E a área é:

\frac{10 \cdot 4.8}{2}=24

E onde está o humor en todo isto?

Dúas horas despois tiñamos titoría, resolvimos o problema e pregunteilles se non vían ningunha relación entre o valor da área e as dimensións do triángulo. Unha alumna observou que coincidía co perímetro do triángulo,24=6+8+10, o cal é unha coincidencia que só sucede, neste contexto, en dous triángulos. Pero alén desa curiosidade, ninguén observou que tamén 24=6·8:2
E aí está o humor, o triángulo orixinal era rectángulo e poderían ter contestado o problema nunha liña:

Como

6^2+8^2=10^2

o triángulo é rectángulo e a área é

A=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24

tl;dr Cada día que pasa son un profesor máis malévolo. Simplemente.

Teorema de Napoleón

2011-06-14T18:15:00.004+02:00

Teorema de Napoleón? Napoleón descubriu un teorema? Pois a verdade é que non está moi claro, aínda que é coñecido que tiña certa afección polas Matemáticas, en particular pola Xeometría. Pero non é nada estraño que un teorema ou un concepto matemáticos leven o nome dun matemático que non foi o primeiro que os atopou. Casos famosos son a Serie de Taylor, o Teorema de Rolle, a Regra de Ruffini, a Ecuación de Pell...

E que di o Teorema de Napoleón? Algo certamente sorprendente: se colles un triángulo calquera (todo o amorfo que queiras), constrúes sobre os seus lados tres triángulos equiláteros e localizas os centros destes triángulos, sempre van formar outro triángulo equilátero. Case mellor velo:

Teorema de Napoleón

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Coquejj, 14 de xuño de 2011, Creado con GeoGebra

Se tedes curiosidade pola razón deste sorprendente feito, pola rede hai unha morea de demostracións, por exemplo aquí.

E para os traballadores alumnos de 3º A que non saben buscar na wiki, xa poño eu as ligazóns:

Examen de Funciones Lineales y Geometría

Solución

Mira onde pisas...

2011-06-10T17:36:00.003+02:00

Hai que ver como pensa o seu seguinte paso este viandante, mentres que os que pasan por detrás...

O título desta ilusión é Mind your Step, leva desde o día 7 instalada en Estocolmo e estará aló ata o 12. No seguinte vídeo aparece o momento da colocación e as primeiras reaccións dos cidadáns:

Atopeino fedellando en Neatorama, como en tantas outras ocasións.

Simulacros e máis

2011-06-08T16:56:00.008+02:00

Aínda non me recuperei de ver que alguén chegou a este sitio ao buscar en ask.com "ludico no apremder". E tampouco de ver este espectacular vídeo da última laparada solar:

Como prometín pola mañá aquí está a versión "en cor" do simulacro do vindeiro exame:

Simulacro de Examen de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

e a da súa solución:

Solución del Simulacro de Funciones Lineales y Geometría-3ºA

As versións para descargar están en formato doc na wiki, alí tamén podedes atopar a solución do Boletín de Problemas Métricos.

Simulacro
Solución del Simulacro

O problema de marras

2011-06-06T09:46:00.005+02:00

Por fin: un problema nun libro de texto digno de ser chamado así. E non porque sexa dunha dificultade enorme, senón porque require poñer en xogo unha comprensión e unha habilidade alén do mero choio rutinario das clases. Xulgade vós mesmos:

Ejercicio 62 Página 201

O problema aparece no libro de 3º de E.S.O. da editorial Anaya,por se alguén estivese interesado.

Outra proba

2011-06-02T19:41:00.006+02:00

Creo este post co único obxecto de comprobar como queda un arquivo pdf incrustado en blogger, vía scribd:

Solución del Examen del Teorema de Pitágoras y Semejanza-2ºC

Queda, ben, non?

Para rematar, unha canción que estaba convencido que xa puxera, Feel Good Inc.:

Xuño, xa?

2011-06-01T20:42:00.003+02:00

Como sempre a estas alturas de curso un se decata do que fixo mal e do que fixo... aínda peor. Coa sensación constante de batalla perdida antes de ser disputada, e co regusto amargo de ser consciente de que hai alumnos aos que non lles gustan as Matemáticas en parte por seren alumnos meus. Pero nesta ocasión só me queda resignarme: non o puiden facer mellor do que o fixen. O cal non é moito, pero é o que hai.

Aproveitando o post, aviso aos alumnos de 2º C que teñen na wiki as solucións do exame de hoxe:

Solución del Examen del Teorema de Pitágoras y Semejanza

(Pode alguén crer que teño alumnos de 2º que aínda non saben cal é o enderezo desta web nin das wikis?)

Hai uns días lin que investigadores estaban a estudar os efectos dun medicamento que podería bloquear as malas lembranzas. Eu vin o comentario en FayerWayer, pero a orixe era esta.

Aqueles que teñan visto "Eternal Sunshine of the Spotless Mind" ("Olvídate de mí" no máis prosaico título español), saberán que é obrigatorio incluír neste intre unha canción da película:

Quizais ese medicamento sexa a solución para a desidia de xuño...

A ilusión da obxectividade

2011-05-30T18:03:00.006+02:00

Navegando pola rede atopei este vídeo das conferencias TED, "Beware online filter bubbles" (algo así como Coidado coas burbullas de filtro online). Resumindo moito, o conferenciante, Eli Pariser, advirte dos perigos de que os buscadores e as redes sociais vaian aprendendo cales son as nosas preferencias. De xeito inesperado esta intelixencia, este xeito de aprender dos motores de busca provoca que vaian desaparecendo da nosa vista (e por tanto do noso mundo global) as novas, persoas, ideas... que estes motores determinan que non nos interesan. O vídeo non ten subtítulos ao español, pero si ten ao inglés, e tamén ao portugués, que probablemente vos resulte máis sinxelo de entender:

O que daría eu porque os meus alumnos (sobre todo os de TIC de bacharelato, pero non só eles) lle botasen unha ollada a este vídeo por propio interese!

Mellor ilusión do ano 2011

2011-05-27T18:56:00.005+02:00

Non estou a falar de nada relacionado co meu traballo de profesor, senón do 7º Concurso da Mellor Ilusión do Ano, do que acabo de saber grazas a Neatorama. Nese post comentan a Morphing Face Illusion, unha das dez finalistas do concurso, que curiosamente non ten efecto sobre min. A ilusión consiste en que, se miras fixamente o punto vermello mentres se move, non percibes a modificación da cara de fondo. Cando o punto detén o seu movemento, o cambio da cara (en realidade, unha sucesión de cambios para transformar unha cara inicial noutra final, típico dos programas de animación como Flash) é moi evidente. Funciona en vós?

Mentres que si percibo o efecto desta outra ilusión, que está entre os 3 finalistas. Chámase Silencing Illusion, e nela tedes que mirar tamén ao punto branco do centro mentres os círculos cambian de cor. Cando os círculos comezan a rotar arredor do punto, semella que deixan de cambiar de cor, o cal non é certo, como podedes comprobar simplemente deixando de mirar ao punto central:

Ás veces nas clases...

2011-05-25T19:33:00.007+02:00

... os alumnos teñen intereses matemáticos.

Hoxe, despois de fracasar (one more time) explicando en 1º de E.S.O. como resolver ecuacións de 1º grao con parénteses, un rapaz preguntou que significaba google. Automaticamente lembrou que xa llelo contara hai un par de semanas, así que me preguntou sobre o número exacto que era. Por se alguén non o sabe, é

10^{100}

É dicir, un número que en notación decimal ten un 1 e 100 ceros detrás.

Mentres seguíamos coas ecuacións, o rapaz estivo a escribir o número, cos seus 101 díxitos, unha lenta agonía que polo visto prefería facer antes que aprender a facer as ecuacións. Haiche xente para todo.

E que resultaba interesante do número? Pois a cantos cartos sería equivalente en euros. Tamén se poderíamos mercar New York con eses cartos. Chegados a ese punto tiven que mediar, e de xeito críptico (totalmente voluntario) comentei que se calcula que o número de átomos do Universo é moito menor que o google. Aínda así, varios alumnos seguiron rosmando sobre ter eses cartos en billetes, así que oín como falaban de encher o pavillón do instituto de billetes de 500 €.

Non puiden deixar pasar a ocasión, e comezamos a estimar o volume dese recinto. Entre varias persoas, botando contas a ollo sobre a altura, e sobre as dúas dimensións do chan por incluír unha pista de fútbol-sala.

Pero claro, isto levou polo menos 1 minuto, así que cando aínda non calcularamos o volume, e non falaramos do volume dun billete (o cal é obviamente máis complicado), varios perderon interese sobre o tema e interrumpiron o traballo.

Cando cheguemos a esa unidade teño pensado retomar o cómputo, a ver se daquela podo darlle un formato máis interesante.

A solución universal deste mes (no día do fin do mundo!)

2011-05-21T19:15:00.003+02:00

Rapture- Wikipedia

Dando botes dun weblog educativo a outro, lendo opinións, vendo experiencias, comprobando distintos currículos, acabei neste post:

Motivating Learning Beyond Grades

Motivando a aprendizaxe alén das notas

Seguín lendo, indo a ligazóns, buscando en google máis sobre o concepto de "Gamification". Grosso modo: é a estratexia educativa consistente en converter a aprendizaxe nun reto semellante aos que aparecen no contexto dos xogos.

Vou comentar brevemente a impresión que me inspira a Gamification, hoxe que parece que se acaba o mundo, no que se chama na tradición cristiá anglosaxona The Rapture.

Os que leran algo este blog (ou simplemente boten unha ollada á nube de etiquetas) saberán de varias afeccións que ten o autor. Unha das máis obvias provén da época na que este profesor de Matemáticas tiña unha NES (hai máis de 20 anos OMFG!) e o lugar de encontro dos rapaces-adolescentes era a Sala de Recreativas (por certo, vaia cambio entre estas fotos dos 80 e as actuais en Tokyo).

Eu xoguei moito no pasado a videoxogos e aínda hoxe, con máis de 30 anos, sigo xogando a diario ou case a diario. O meu xénero favorito de xogos é claramente o tipo puzzle, se é posible combinado con características propias dos xogos de habilidade (velocidade, reflexos, etc). Deste xeito, Portal ou Braid dentro dos xogos profesionais, e Continuity ou Bloxorz entre os xogos casuais son bos exemplos do estilo de xogo que me gusta. Dos xogos clásicos, o Tetris é o mellor expoñente. A estas alturas creo que teño unha certa bagaxe no mundo dos videoxogos, aínda que tento evitar xéneros como o Shooter ou os simuladores de condución, que nunca me gustaron, nin sequera nos xa afastados tempos do Out Run ou o Operation Wolf.

O parágrafo anterior é unha xustificación para o que segue.

Non creo que transformar o proceso educativo nun xogo sexa boa idea.

En primeiro lugar, porque falsea a educación e o mundo no que vivimos. Os adolescentes actuais xa teñen demasiadas falsas concepcións sobre a realidade motivadas pola sociedade de consumo como para que desde o ensino vaiamos a contribuír conscientemente a crear máis.

En segundo lugar, porque nin sequera creo que a Gamification funcione. Nos blogues que visitei comentaban varias experiencias. Nunha baseada na Khan Academy (da cal xa falei aquí), os alumnos reciben badges (a tradución literal é "divisas", un tanto en desuso, así que quizais deberiamos traducilo por "medallas") cando van resolvendo actividades e cumprindo obxectivos. Para calquera implicado no ensino non é difícil prever os problemas: moitos alumnos esquecen que o obxectivo é a aprendizaxe e pasan a concentrarse no aspecto lúdico-competitivo do método. De tal xeito que comezan incluso a facer trampas, a tentar pasar por riba das actividades o máis rápido posible...

Pero eu aínda son máis pesimista: creo que se implantásemos ese método por estes lares o problema viría da escasa implicación de moitos alumnos. Porque non esquezamos que unha porcentaxe importante de discentes van responder de xeito negativo a calquera estímulo que proveña do centro educativo-profesorado, independentemente da súa natureza. Ás veces penso que este factor non é considerado polos expertos, cando propoñen novos métodos de ensino-aprendizaxe ou pretenden que os alumnos estean conectados en plataformas de ensino como moodle, blogues de aula ou outros "artefactos" (como gustan de chamarlle agora algúns).

Cando leo a expertos dicindo que a aprendizaxe verdadeira prodúcese de forma lúdica, a miña reflexión é sempre a mesma: aprenderon algo complicado? Porque eu non imaxino como aprender de xeito lúdico Análise Funcional, ou Teoría de Galois, por poñer dous exemplos da miña carreira.

En fin, sigo atento á vindeira solución universal, sempre e cando non remate o mundo agora. Que, sinceramente, non me vén demasiado ben.

O meu paradoxo favorito

2011-05-18T17:42:00.003+02:00

O seguinte paradoxo, aparecido como o aforcamento inesperado no título dun libro de Martin Gardner (The unexpected hanging and other mathematical diversions) ten algo peculiar que o fai especialmente interesante.

Un home é sentenciado un sábado a ser aforcado. "O aforcamento terá lugar ao mediodía" dille o xuíz ao prisioneiro, "nun dos sete días da vindeira semana. Pero non saberás que día será ata que sexas informado na mañá do mesmo día da execución"

Cando devolven ao reo á cela, o seu avogado dille, emocionado, "Non o ves? A sentenza non pode ser levada a cabo!"

"Non entendo", di o prisioneiro.

"Déixame que cho explique. Eles obviamente non te poden colgar o sábado que vén. O sábado é o último día da semana. A tarde do venres aínda estarías vivo, e saberías con absoluta certeza que o aforcamento sería o sábado. Saberíalo antes de que cho dixesen o sábado pola mañá, contradicindo a afirmación do xuíz."

"Certo", di o reo.

"O sábado, por tanto, non pode ser o día da execución, o que provoca que o venres é o último día no que te poden executar. Pero tampouco te poden colgar o venres, pois na tarde do xoves só quedarían dous días: venres e sábado. Como o sábado non é un día posible, o aforcamento ocorrería o venres. O teu coñecemento deste feito violaría a afirmación do xuíz. Así que isto deixa ao xoves como o último día posible"

"Xa o collo. Razoando exactamente do mesmo xeito podemos eliminar mércores, martes e luns. Iso só deixa como posibilidade mañá. Pero non me poden colgar mañá porque xa o sei hoxe!"

Ata o momento chegamos a demostrar que a afirmación do xuíz non se pode cumprir, porque os feitos de que o prisioneiro vaia ser colgado a semana seguinte e que non o vaia saber ata a mañá do propio día producen que sexa imposible. Pero aínda queda o mellor:

O prisioneiro quedou satisfeito da conversa co seu avogado. Era irrefutable que non podía ser colgado esa semana. Pero, cando chegou a mañá do xoves, o alguacil foi avisalo de que ía ser colgado ese mediodía. E o máis terrible era que a afirmación do xuíz verificábase en boa lóxica: ía ser colgado esa semana, e non o soubo ata esa mesma mañá!

Que, inesperado ou non?

Outro puzzle

2011-05-14T21:06:00.004+02:00

Vai para dous meses que non compartía aquí algún xogo "dos de pensar". O último fora Cardboard Box Assembler, xogo 3D que se desenvolvía sobre a superficie dun cubo. Nesta ocasión é Ovrshade, un xogo no que para pasar de pantalla temos como única habilidade especial a capacidade de cambiar as cores da pantalla premendo Z. Aínda que é un puzzle, en certas fases ademais teremos que ser rápidos e hábiles coas teclas. Non é sinxelo, aviso:

25 escaques

2011-05-11T18:34:00.000+02:00

Imaxinemos un taboleiro de xadrez con 5 escaques de lado, de tal xeito que o taboleiro total ten 25 escaques. Se comezamos na esquina superior esquerda, calquera pode trazar unha liña que percorra todo o taboleiro coas condicións habituais:

Hai que pasar por cada escaque unha vez, e unha soa vez.
Non podemos erguer o lapis do taboleiro nin saír del.

O percorrido forma unha poligonal semellante a unha espiral ríxida que remata no centro do taboleiro.

O problema xorde cando tentamos facer esa liña comezando no escaque co punto vermello da figura:

Alguén pode trazar a liña por todo o taboleiro?

Chega con iso?

2011-05-10T13:45:00.005+02:00

Sabendo só que a lonxitude da corda AB, tanxente en A á circunferencia pequena, é 1 cm., será posible calcular a área do anel entre as dúas circunferencias?

O paraíso (do Tetris)

2011-05-07T20:41:00.005+02:00

En resposta a esta banda de xkcd, e para que ata o xogador máis nécora do Tetris pode sentirse un campión, en Greatest Uncommon Denominator crearon Heaven:

Probádeo a ver que tal o facedes.

Cervexa negra ou tostada

2011-05-06T18:47:00.005+02:00

Un problema de pensamento lateral que non precisa cálculo ningún, aínda que fala de cartos:

Un home entra nun bar e pon 1 € na barra."Unha cervexa, por favor", dille ao camareiro.
O camareiro pregunta: "Negra ou tostada?"
"Cal é a diferenza de prezo?" pregunta o cliente.
"A tostada custa 0,9 €, mentres que a negra custa 1 €", contesta o camareiro.
"Moi ben, pois tomarei unha negra"
Pouco despois entra outro cliente no bar e coloca 1 € na barra. "Unha cervexa, por favor", dille ao camareiro. Este, sen preguntarlle nada, ponlle unha cervexa negra.

Como soubo o camareiro que tipo de cervexa quería o segundo cliente?

The Eyeball Theorem

2011-05-02T18:11:00.002+02:00

En canto volvín ver este teorema clásico sobre circunferencias lendo Futility Closet, pensei que era unha tarefa idónea para o Geogebra. Que terá que suceder para que eses ollos sempre teñan a mesma medida?

The Eyeball Theorem

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Coquejj, Creado con GeoGebra

Solución do Exame de Sistemas

2011-04-29T20:08:00.004+02:00

En contra do prometido, fixen a solución do exame de 3º B e xa a subín á wiki. Non inclúe a solución do problema de interpretación de gráficas, por iso chámase este post do xeito que vedes máis arriba.

Solución del Examen de Sistemas y Funciones-3ºB

Tamén debuxei as representacións gráficas do exercicio 1, para unha mellor visualización dos sistemas:

Sistemas do Exame

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Preme no sistema do cal queres ver a representación gráfica.

Coquejj, Creado con GeoGebra

A vista engana

2011-04-28T10:04:00.003+02:00

É moi interesante esta ilusión óptica que atopei hai un par de semanas no weblog de Richard Wiseman. Que lle sucede ao rectángulo azul cando é superposto o disco raiado?

Máis ilusións semellantes, xunto coa explicación, na web de Michael Bach

Clase invertida?

2011-04-26T17:34:00.009+02:00

Cada certo tempo aparecen novas "solucións universais" no mundo da educación, na forma tanto de ferramentas como de novas perspectivas. No pasado houbo exemplos ben variados dentro do ensino das Matemáticas: LOGO, BASIC, a resolución de problemas como eixe, o uso de ordenadores en tódolos ámbitos... Algúns deles son exemplos pintorescos (onde queda hoxe o LOGO?) , outros forman parte agora do ensino como ferramentas máis ou menos alternativas. Nalgúns casos vemos as ganas que tiñan os promotores desas solucións de que fosen usadas a toda costa, (quen sabe se con intencións secretas, como naqueles que promovían o uso das calculadoras de Texas Instruments). Noutros casos semella que algúns queren utilizar ferramentas aínda que non haxa evidencia de que sexan susceptibles de usar no ensino.

A solución definitiva de hoxe é a que dá título a este post: A clase invertida, tradución do inglés de Inverted ou Flipped Classroom. A fonte na que souben desta solución é o post de Mathcurmudgeon, Inverted Classroom, onde fai unha boa descrición do método e unha axeitada crítica. A cousa funciona así, grosso modo:

Robert Talbert, profesor de Matemáticas no Franklin College, dálle a volta ao seu método previo de ensino: primeiro grava un vídeo da lección (p.ex., Álxebra Linear), cólgao de tal xeito que os seus alumnos teñan acceso on-line antes da clase, estes ven o vídeo e na aula normal dedican o tempo a facer "deberes", practicar...

Eu teño dúas obxeccións:

En primeiro lugar, de xeito case inmediato, vexo problemas técnicos: a conectividade non é obrigatoria para os alumnos. Ademais non vexo claro que podamos levar este método ás aulas de secundaria nin bacharelato: canto tempo lle levaría a un alumno facer isto con 6 materias ao día? Por non falar do número esperado de alumnos que o levasen a cabo...
En segundo lugar (e máis importante) hai unha idea que está implícita no método Flipped Classroom: as clases nas que o profesor explica un concepto ou un procedemento (lectures, no orixinal) son unha perda de tempo, principalmente porque a comunicación é unidireccional, do profesor ao grupo. Estou totalmente en contra desta concepción das clases. Nas miñas clases insisto en que os alumnos participen. As poucas veces que pido que non interveñan suceden cando os alumnos non participan de xeito educado e ordenado. A orde non me importa demasiado a min, é a eles a quen lles afecta, debido a que entre eles non se escoitan (estou sendo completamente honesto aquí). E incluso nas poucas veces nas que ninguén intervén, sempre cabe a posibilidade de interpretar as caras de non-comprensión. Resumindo: onde está o feedback nun vídeo?

Non quero transmitir a idea de que os vídeos non son útiles para o ensino das Matemáticas. Eu mesmo utilizo de vez en cando vídeos para aprender cousas novas (normalmente relacionadas coa informática), pero teño a impresión de que non serven para aprender "desde cero". Por outra banda, e en contra da intuición, os vídeos parecénme máis lentos que o texto escrito para aprender, e curiosamente menos dinámicos (estou pensando na típica situación onde un quere volver sobre algo xa aprendido, ou ben quere avanzar por riba dunha sección).

Para ver a opinión dun entusiasta no uso dos vídeos, Salman Khan, creador da Khan Academy, é unha autoridade:

Un problema de APICS 2010

2011-04-19T18:45:00.003+02:00

Aproveitando os días de vacacións e mal tempo para as Matemáticas, atopei este problema xeométrico no concurso APICS 2010. Temos que calcular o radio da semicircunferencia da figura, tanxente ás dúas circunferencias de radio 4 e 9 e ás dúas rectas:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Coquejj, Creado con GeoGebra

Curiosamente, nada máis que enxeño e o Teorema de Pitágoras é necesario.

Club Matemático(6)

2011-04-14T10:04:00.003+02:00

Problema Nº 6- Categoría 1º-2º de E.S.O.: Cadrados e Triángulos

Es quen de debuxar 2 cadrados e 4 triángulos rectángulos utilizando só 8 segmentos rectos?

Problema Nº 6- Categoría 3º-4º de E.S.O.: Velocidade Media

M. Bros vai facer unha viaxe de ida e volta de Vigo á Coruña. Quere manter unha velocidade media de 100 km/h. Ao chegar á Coruña observa que mantivo unha velocidade media de 50 km/h. Cal ten que ser a súa velocidade media na viaxe de volta para acadar o seu obxectivo de ter unha velocidade media global de 100 km /h?

Dous remeiros

2011-04-11T17:14:00.006+02:00

Hai tempo que non propoño un problema complicado. O de hoxe é o típico problema que podemos resolver de dous xeitos, con Álxebra e sen Álxebra. Resolvelo mediante Álxebra fai que o problema sexa menos interesante, pero ten a vantaxe de que a solución é case automática. Para resolvelo sen a axuda da Álxebra necesitaremos, como é habitual, pensar máis:

Un remeiro entrena nun río, e fai 10 millas a favor da corrente e outras 10 millas en contra da corrente. Outro remeiro entrena nun lago con augas tranquilas, e fai 20 millas. Se os dous teñen as mesmas capacidades como remeiros, cal dos dous tarda máis tempo en facer as 20 millas?

Cousas curiosas dos números-2

2011-04-08T19:25:00.005+02:00

Mentres escribía antonte o post Anumerismo-2, ao ver o primeiro Anumerismo, lembrei que hai certo tempo (así como un ano) escribira sobre un dos temas que máis me gustan dentro das Matemáticas elementais: as curiosidades numéricas. E que naquel post, Cousas curiosas dos números, prometera continuar a lista de curiosidades alí presentadas con propiedades numéricas non tan básicas ou inmediatas. (Por certo, naquel post agora hai unha morea de código LATEX non traducido debido a que o Render que utilizaba daquela non está activo)

Así que hoxe vou amosar un par de curiosidades máis:

O número 1089.

E que ten este número de peculiar? Dándolle un par de voltas vemos que é 33², o cal non é moi extraordinario, tendo en conta que por cada número natural temos un cadrado perfecto. Para atopar o que fai destacar a 1089 hai que mergullarse moito máis nos números.

Collamos un número calquera de 3 cifras, non todas iguais. Por exemplo, 327. Agora deámoslle a volta, para obter 723. Restemos o menor dos dous números do maior, 723-327 = 396. Falta pouco xa, só darlle a volta a este número tamén, 693, e sumar estes últimos números, para obter: 396+693= 1089. E que cheguemos a 1089 non é casual, sucede independentemente do número de 3 cifras co que comecemos. Probemos con outro número, p.ex. 715. Dámoslle a volta, 517. Restámolos, 715-517=198. Dámoslle a volta (one more time), 891. Sumámolos, 198+891=1089. Probade con outro número calquera de 3 cifras, non todas iguais, e chegaredes irremisiblemente a 1089.

A constante de Kaprekar, 6174.

É inevitable pensar na constante de Kaprekar despois de falar de 1089. Pois aparece despois de executar un algoritmo ata certo punto semellante. Neste caso empezamos con calquera número de 4 díxitos, non todas iguais. E imos facer varias levar a cabo este proceso: construímos dous números con esas 4 cifras, o maior posible e o menor posible. Despois restamos o menor do maior. E volvemos construír os dous números coas 4 cifras... Como é habitual, mellor cun exemplo, collido ao chou, 4372

7432-2347=5085
8550-0558=7992
9972-2799=7173
7731-1377=6354
6543-3456=3087
8730-0378=8352
8532-2358=6174 (non era sen tempo)

Ás veces ao procedemento lévalle un bo anaco chegar ao 6174. Así que se queredes comprobar algún número, é boa idea utilizar unha calculadora online coma esta.

A suma dos primeiros números impares.

Esta propiedade aparece tradicionalmente como exercicio nun primeiro curso sobre progresións aritméticas, pero a maquinaria alxébrica (intimamente relacionada coa propiedade de que a diferenza entre n² e (n+1)² é o impar 2n+1) que é utilizada nese momento obvia o realmente interesante do feito, que salta á vista:

1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25...

Obvio, non? A suma dos primeiros n impares é n². Pero tódolos que a coñecen estarán de acordo comigo: o realmente interesante está na seguinte figura:

Vanderbilt University

O método ruso de multiplicación.

Para mutiplicar dous números é suficiente facer dúas columnas, na da esquerda ir duplicando o primeiro e na dereita partindo á metade o segundo, ata chegar a 1 (se ao partir á metade non obtemos un número exacto, quedámonos co cociente). Despois tachamos tódalas ringleiras nas que o número da segunda columna sexa par e sumamos tódolos números que queden na columna da esquerda; o resultado final será a multiplicación buscada. Como nin eu entendo o que acabo de escribir, vexamos un par de exemplos:

17·12

~~17 - 12~~
~~34-6~~
68-3
136-1

Sumamos 68+136=204, que é 17 · 12.

Outro, 25·132:

~~25-132~~
~~50-66~~
100-33
~~200-16~~
~~400-8~~
~~800-4~~
~~1600-2~~
3200-1

Sumamos 100+3200=3300=25·132

Por que funciona este método? Pois sinto dicir que para entendelo algo de coñecemento sobre a notación binaria. E ese tema non aparece en ningures no programa de Matemáticas da E.S.O. nin do Bacharelato.

Por hoxe abonda, supoño que algún día nun futuro indefinido farei outro post de curiosidades numéricas.

Anumerismo-2

2011-04-06T21:23:00.006+02:00

Aínda que a diario mostras de anumerismo hai moitas (demasiadas, diría eu e algúns acaban de descubrilo), a que acabo de ver enlazada desde o sempre xenial blog Malaprensa é das que deixan sen respiración.

Lede e xulgade:

"Cuatro de cada diez profesores de la provincia de Ourense se jubilan este año"

Poño unha captura de pantalla por se teñen a idea de corrixir ese exemplo de ignorancia:

Aínda que algún ignorante pense que 4 de cada 10 é o mesmo que o 4%, non lles parecía un tanto esaxerado o titular? Alguén que teña estudado as Matemáticas da Educación Primaria pode aceptar que 4 de cada 10 profesores ourensáns van xubilarse este ano? Non lles cheira nada un pouco mal?

Just for Fun-5

2011-04-04T21:45:00.003+02:00

Xusto despois de que a categoría "Vídeos" superara por primeira vez á categoría "Problemas", e tamén de pasar os 300 posts, é o momento axeitado para un pouco de simple diversión.

Quen sabe como continuará a tendencia nas etiquetas?

Hoxe, un skater que parece tirado dun grupo hippy-grunge dos 90,

e unha animación en stop motion (con Playmobil!) sobre unha canción de Joy Division:

Os números imaxinarios

2011-04-01T12:43:00.002+02:00

Aínda que o tentase con tódalas miñas forzas nunca explicaría tan ben os números complexos aos meus alumnos. Xulgade vós:

O traballo que ten que levar facer isto en clase...

Quen podía imaxinar...

2011-03-29T23:42:00.002+02:00

...que existiría isto en vídeo?

Isto de Internet éche un perigo, como oín hoxe un par de veces...

Por certo, o artista, Lusine, realmente existe, non é o equivalente musical a Nicolas Bourbaki nas Matemáticas.

Club Matemático(5)

2011-03-26T14:13:00.007+01:00

Comeza a 3ª Avaliación (que vai ser moi, moi longa) e volven os problemas do Club Matemático, que levaban un tempo deixados de lado por mor dos exames, recuperacións, notas... Imos aló:

Problema Nº 5- Categoría 1º-2º de E.S.O.: 20 puntos

Na imaxe podes ver 20 puntos unidos por uns cantos segmentos. Comezando polo punto que queiras, tes que pasar por tódolos puntos da figura unha soa vez, e volver ao punto de partida. E ten en conta que non tes que pasar por tódolos segmentos:

Problema Nº 5- Categoría 3º-4º de E.S.O.: Triángulo e Hexágono

Un triángulo equilátero e un hexágono regular teñen o mesmo perímetro. Cal é a razón entre as súas áreas? Quizais co debuxo non sexa necesario facer raíces cadradas raras...

O Sistema Solar

2011-03-24T18:54:00.004+01:00

Acabo de atopar outra animación que representa o movemento do Sistema Solar, Orrery Movie, da cal capturei unha imaxe:

Nesta captura observamos varias das características da animación:

Aparecen algúns dos satélites dos planetas
Podemos escoller entre mes e zodíaco como marco para o movemento
Dá a posibilidade de fixar unha data (que pasaría na que aparece na imaxe?)
É posible ver as fases da Lúa
E a máis interesante na miña opinión, que é a posibilidade de variar entre o modelo de Nicolás Copérnico e o de Tycho Brahe. No modelo de Brahe podemos ademais ver o ronsel que deixa o movemento dos planetas.

Ide á web (warning: é unha animación en Flash) e fedellade un pouco, é ben entretido. Se queredes información sobre o deseñador, Piotr Kaczmarek e certos detalles técnicos, ide a esta ligazón.

Topoloxías

2011-03-23T18:03:00.005+01:00

No mesmo día que lle comentei a un alumno de TIC que desde o punto de vista da Topoloxía estas dúas figuras son iguais (pido perdón aos puristas: o que quería era dicir algo impactante):

Vexo esta instalación, Topologies, na que se transforman as pinturas "Immacolata Concezione" de Tiépolo e "Las Meninas" de Velázquez en figuras triangulares minimais. Un exemplo (podedes ver máis premendo na ligazón do nome da obra):

Topologies (Excerpt) - Velazquez from Quayola on Vimeo.

Aínda que o exemplo máis coñecido da Topoloxía (que tamén mencionei pola mañá) é, sen dúbida algunha, o do donut e a cunca de café, cuxa transformación topolóxica está en Youtube, en só 10 segundos:

O pobre debuxo que está ao comezo deste post é ben sinxelo de entender: soprade dentro da figura irregular, ao final obteredes unha circunferencia, máis ou menos grande. E o tamaño no importa na Topoloxía...

Música, por favor

2011-03-22T17:04:00.005+01:00

Remata a 2ª Avaliación e comeza a 3ª sen as habituais vacacións como intermedio.

Así que imos amansar á feras do xeito tradicional coas ferramentas de hoxe. Se alguén non entendeu a frase anterior, do Spotify estou a falar, que por certo non é a primeira vez que aparece por aquí.

Fin da 2ª Avaliación

Tamén fixen o widget en grooveshark, para os que non teñan o programa. Grooveshark ten restricións semellantes no catálogo (así de memoria, nin Beatles, nin Pink Floyd, nin Led Zeppelin, nin Fugazi, nin Metallica...)

Vaia día para traballar...

2011-03-19T22:17:00.002+01:00

Ben, como algúns alumnos de 3ºA van ter que repetir a parte de ecuacións desta avaliación, escribín hoxe a solución do exame do venres. Solución que non escribira antes, en contra do habitual, pola razón que tódolos alumnos da titoría saben. Como sempre non é necesario ir á "complicada" wiki a buscar o documento, xa o poño eu aquí:

Solución del Examen de Ecuaciones-3ºA

Alguén lembra a miña aposta do outro día sobre o número de alumnos que baixarían o simulacro de ecuacións? Pois ben, eu apostara por 3 ou 4. E a cantidade de alumnos que o baixaron foi... 3!

Ás veces preferiría non acertar certas apostas...

x · x= 2x

2011-03-18T20:23:00.005+01:00

Exame de hoxe pola mañá, 3º E.S.O.:

_ Profe... ¿Cuánto es x · x? ¿2x?

_¡Hala! Vamos a ver... ¿Cómo dices de otro modo 3 · 3?

_ 9

_Me lo temía, vale, pensemos en una cuenta que no sepas de memoria, ¿Cómo dices de otro modo 17· 17?

_ No sé... ¿17²?

_Claro hombre...

_¿Y con x es igual?

_Claro.

_Vale.

Por non falar da aparición en máis de 10 ocasións do erro preferido dos alumnos de tódalas idades, do que xa falei aquí antes:

(a+b)^2=a^2+b^2

Vou introducir aquí unha broma matemática que só entenderán expertos, pero non podo omitila neste punto:

Dous matemáticos están comendo nun restaurante. Mentres comen conversan sobre o estado da educación matemática no seu país; o primeiro pensa que ninguén aprende nada, mentres que o segundo pensa que as cousas non están tan mal. O primeiro di "OK, por que non apostamos algo a iso? Cando veña a camareira coa conta, preguntareille unha cuestión de álxebra básica. Se acerta, pagarei eu, se non pagarás ti" O segundo acepta a aposta. Chega a camareira coa conta e dille o primeiro matemático:

_Importaríalle axudarnos nunha aposta que temos? Podería dicirnos canto é o cadrado da suma de a e b?

_(a+b)²... esa é unha cuestión de Álxebra... vexamos...si, claro, é a²+b²

O primeiro matemático comeza a sorrir saboreando o seu triunfo cando a camareira prosegue:

_Claro que iso só é certo se o corpo ten característica 2...

Para non quedar coa idea de que estas cousas só suceden en Matemáticas, na hora de titoría tiven a oportunidade de vivir esta experiencia:

_Profe... ¿Tuve se escribe con b?

_Non muller , é con v.

_Vale, gracias.

_Menos se estás a falar dunha web na que ves vídeos...

Agora que xa remataron os exames de avaliación (aínda que algúns profesores malignos aínda teñen "repescas" a semana que vén) é un bo momento para probar un xogo intelixente, Cardboard Box Assembler, que lembra a outros que apareceron por aquí que tamén se desenvolven nun cubo:

Simulacro de Exame de Ecuacións

2011-03-16T19:03:00.004+01:00

Xa está na wiki o Simulacro do exame do venres. A ver cantos dos aplicados alumnos da miña titoría saben mañá que está colgado aquí:

Simulacro de Examen de Ecuaciones-3ºA

A miña aposta é 3 ou 4 (dun total de 26). Veremos.

E sempre é un bo momento para botarlle un ollo a ilusións ópticas, non si? E máis se temos a posibilidade de escoitar a explicación dun neurocientífico, Luis Martínez Otero:

Souben deste vídeo polo ben coñecido blogger Antonio Martínez Ron (do blog Fogonazos) que escribiu un artigo en lainformacion.com:

Diez ilusiones explicadas y una sin explicación

Editado: Había varios erros no simulacro, como me apuntou Enrique. Na ecuación de 1º grao hai unha redución a común denominador mal feita (2x en troques dun 6x, debido a cambiar a ecuación e non algúns coeficientes), na bicadrada aparecen os valores de t pero non os da incógnita orixinal, x (a velocidade á que tecleo é directamente proporcional ao número de erros); e no problema das idades borrei a resposta ao problema (55 anos, a tecla delete é demasiado tentadora para a miña man...) Cambiei eses erros e subín o simulacro corrixido, por se alguén quere velo.

Un xogo en 3D...ou 2D?

2011-03-15T16:47:00.005+01:00

Para ser rigorosos, no xogo que comento hoxe, Antimatiere, o protagonista é un individuo 3D que se move por un mundo 3D (falso, obviamente, como todo o que ves nunha pantalla 2D) e interactúa con personaxes 3D que foron confinados aos bordes 2D da súa zona: paredes, chan... O protagonista só posúe unha habilidade: pode intercambiar a posición de segmentos 2D da realidade. Con esta única ferramenta terá que ir resolvendo os puzzles que van aparecendo.

Paga a pena xogalo, e instalar o Unity Web Player se é necesario. O xogo, como tantos outros xogos certamente orixinais, está no portal de xogos Kongregate:

Problemas de ecuacións

2011-03-13T14:02:00.010+01:00

Ou con ecuacións, non sei ben como titular isto. Acabo de subir á wiki unha colección de problemas de ecuacións de 1º e 2º grao tirados do meu vello libro de texto de ... 1º de B.U.P.! Libro que non utilizamos aquel ano, pero que era fonte de moitas curiosidades matemáticas e datos históricos.

Os problemas están aquí:

Problemas de ecuaciones de un libro de texto

Por certo, o libro era "Algoritmo 1", de M. Anzola e J.R. Vizmanos, Editorial SM. Un bo libro para quen estivese interesado nas Matemáticas.

Aproveito para compartir unha cita que vin estes días pola rede, coa que non podería estar máis de acordo:

The clearer the teacher makes it, the worse it is for you. You must work things out for yourself and make the ideas your own.

William F. Osgood

Que en tradución propia-pobre vén sendo:

Canto máis claro cho fai o profesor, peor é para ti. Tes que averiguar cousas por ti mesmo e facer túas as ideas.

E para rematar, un problema "técnico" relacionado con ecuacións, que acabo de ver na Olimpíada Matemática Brasileira deste ano:

Se p e q son números reais que cumpren as relacións

2p^2-3p-1=0 \\
q^2+3q-2=0 \\
pq \neq 1

Atope o valor de

\frac{pq+p+1}{q}

Os documentais son aburridos?

2011-03-09T23:59:00.003+01:00

Este non parece, polo menos no avance. Claro que é da BBC e trata sobre a beleza do noso planeta, o cal é unha garantía de calidade:

Como soa π?

2011-03-09T13:23:00.001+01:00

Non verás algo máis nerd en tempo...

Unha sucesión de liñas

2011-03-06T19:39:00.003+01:00

Non podo evitar pensar nestas liñas como os pensamentos dos meus alumnos mentres eu explico calquera cousa en fronte deles, alá diante.

No vídeo, como explica o autor en vimeo, cincocentas persoas debuxan unha liña, consecutivamente, vendo só a liña anterior. A evolución das liñas deriva, como é previsible, no caos:

A Sequence of Lines Traced by Five Hundred Individuals from clement valla on Vimeo.

Club Matemático(4)

2011-03-05T21:27:00.004+01:00

Math Doodling, de Vi Hart

Nestes días previos aos exames finais da avaliación (por se alguén o esquecera), imos aproveitar para propoñer uns problemas ao Club Matemático un pouco máis sinxelos:

Problema Nº 4- Categoría 1º-2º de E.S.O.: Cadrados numéricos.

Os números dos dous cadrados seguintes seguen a mesma regra de formación. Cal é o número que falta no segundo cadrado?

Problema Nº 4- Categoría 3º- 4º de E.S.O.: Número 100.

Tes que chegar ao resultado 100 introducindo só 3 símbolos entre os números seguintes:

A ver se teñen máis éxito que os de Club Matemático(3)!

Ecuacións

2011-03-02T22:09:00.006+01:00

NASA's SDO captures a monster prominence-NASA/GSFC/SDO

A unidade de ecuacións é, como mínimo, complicada.

Os profesores tentamos que os alumnos entendan que é o que sucede cando as letras e os números dan voltas pola ecuación: "x pasa restando", "4 pasa dividindo",...
Pero normalmente non acadamos moita comprensión.
E pensar que as nocións que interveñen xa aparecen nos Elementos de Euclides...

Noción común 1: Cousas iguais á mesma cousa son iguais entre elas

De xeito moderno, se x = z e y = z, entón x = y (nota aos coñecedores: propiedade transitiva da igualdade).

Noción común 2: Se cousas iguais son sumadas a cousas iguais, as sumas son iguais.

Hoxe: x = y e a = b implican x + a = y + b

Noción común 3: Se cousas iguais son substraídas de cousas iguais, os resultados son iguais.

É dicir: x = y, a = b implican x - a= y - b

Pero temos a batalla perdida antes de comezala: o pensamento abstracto non está moi desenvolvido nestas etapas, e ata que os alumnos empezan a tratar as expresións alxébricas como números concretos en troques de entes abstractos, non podemos esperar que comprendan a resolución das ecuacións. É por isto que sempre que explico (hai que ver que antigo son, que explico e non oriento no proceloso mar da aprendizaxe guiada...) dedico un anaco a comentar o significado de cada paso da resolución das ecuacións.
Moitos poden pensar: e por que non omites directamente a explicación e pasas ao mecánico?

Teño dúas razóns, a escoller:
A primeira é unha cuestión de efectividade. Se os alumnos non entenden de xeito profundo as nocións comúns, tenden a trabucarse máis en ecuacións nas que aparezan denominadores mesturados con parénteses:

\frac{3(2x+3) }{5} + x \cdot (x-2)= \frac{2}{3}

e tamén en ecuacións sinxelas, de xeito totalmente inesperado:

2x=1 \rightarrow x=2

Ademais de que, cando teñan que tratar con ecuacións irracionais (p.ex.) terán que aprender o mecanismo como un novo item a tomar en conta, en troques de ver a analoxía obvia.

A segunda razón é máis visceral: as poucas veces que teño que traballar un procedemento sen explicar polo miúdo a razón de que funcione así, comezo a notar unha especie de mal estar xeral que vai crecendo, semellante á sensación que sinto cando teño un veciño no cine que non para de facer ruído, ou cando teño que ver a alguén traballando lentamente nun ordenador... é superior a min, que lle imos facer.

E ben, todo este mamotreto viña a conto de que subín as solucións da última ficha de exercicios de ecuacións de 3º de E.S.O. para que poidades utilizala durante o Entroido.

Solución de Ejercicios de Ecuaciones

Un feixe de números

2011-02-28T17:25:00.004+01:00

Estaba a revisar os problemas da edición deste ano do Harvard-MIT Mathematics Tournament, e atopei estas dous pequenos problemas aritméticos, o primeiro na fase Guts e o segundo no test Algebra&Geometry:

Calcula 2011·20122012·201320132013-2013·20112011·201220122012

Atopa tódolos números enteiros x tales que 2x² + x - 6 sexa unha potencia dun número primo.

O primeiro problema pode ser resolto (sen botar as contas, claro) por alumnos do instituto; que sexa atopada a solución ao segundo é máis improbable, pois necesita ter certo nivel tanto alxébrico como sobre os números primos e a divisibilidade.

E por certo, o cálculo do primeiro dá 0 (é o que parece a simple vista, non?), o problema está en amosar por que sucede tal cousa.

Solución de Polinomios(V)

2011-02-25T20:19:00.005+01:00

Para aqueles dos aplicados alumnos de 2º C que estean interesados en aprobar o exame do martes (que algún haberá), acabo de subir a solución da ficha da mañá:

Solución de Polinomios(V)

Como esta semana aínda non apareceron solucións completas dos problemas do Club Matemático, deixaremos algo máis de tempo para pensalos.

Para ter como ambiente mentres un calcula cadrados de sumas e produtos de polinomios os Beatles sempre son axeitados (e se non sabedes moito inglés, case mellor, así non seguides as letras). Ultimamente recibín varios mails recomendando esta web:

BeatlesTube

na que podedes atopar vídeos das cancións dos Beatles.

Por exemplo, She Said She Said, do álbum Revolver:

Nota Mental Nº 1

2011-02-24T12:37:00.009+01:00

Nota Mental nº 1: Explicar menos!

Iso é o que tento facer nas miñas clases, principalmente naquelas nas que o tempo máximo continuado de atención está arredor dos 20 segundos. Clases nas que, cando queres explicar o que é o ano-luz (a complicación típica consistente en que é unha medida de distancia e non de tempo), a resposta é:

Es un año en el que hay luz. En plan que no está oscuro.

(O creativo alumno deu permiso explícito para que apareza tal definición neste blog, esperemos que non haxa que pagarlle á SGAE por isto...)

En fin, polo menos este ano aínda non escoitei ningunha escusa do estilo:

Un monstro comeu os meus deberes.

Que é o título do último xogo estraño que vin, A monster ate my homework, un xogo dentro do xénero physics-puzzler, no que hai que botar á auga aos monstros que ameazan os vosos deberes:

O único que hai que facer antes de que evitedes que os monstros coman os vosos deberes é instalar o plug in de Unity Player (que probablemente non teñades instalado)

Interlocked Waterfall

2011-02-22T12:46:00.007+01:00

Interlocked é a versión "dixital" dos tradicionais crebacabezas de madeira nos que hai que desmontar a peza. Obviamente ten unha vantaxe: cada fase é unha peza nova. E isto non é unha parvada ,tendo en conta o prezo dos puzzles de madeira.

A dinámica do xogo é sinxela: rotamos a montaxe co rato no modo "visión" e prememos espazo para pasar a desmontar as pezas, no modo "manipulación". Prememos espazo outra vez para volver ao modo visión.

E leva uns días pola rede (foi subido a Youtube, o 30 de xaneiro) este misterioso vídeo baseado nun dos máis famosos paradoxos do artista holandés M.C.Escher, Waterfall:

Como faría o autor para reproducir este efecto imposible?

Unha posible solución apareceu en Boing Boing, pero aínda non hai solución "oficial"

Is this how the Escher Waterfall machine works?

Club Matemático(3)

2011-02-20T11:34:00.007+01:00

Ben, xa pasou outra semana e é tempo de comprobar que tal andan as neuronas. Antes de propoñer dous novos problemas, vexamos as solucións aos problemas que levamos ata o momento:

10 moedas en 3 vasos.

Este problema foi resolto por Rubén, Elena, David de 1º C e Tomás de 2º C. As varias solucións que atoparon utilizan todas o mesmo truco, como podemos ver na solución de David:

No primeiro vaso pos 5 moedas, no segundo 1 moeda e no terceiro, as 4 moedas que quedan. E pensaredes, pero 4 non é impar. Pero aínda falta o mellor: mete o vaso cunha soa moeda no vaso que ten 4, e así terán 5, 1 e 5!

Os dous cadrados.

Foi resolto por Rubén de 2º C. A súa solución é así:

Vaiamos cos dous novos problemas:

Problema Nº 3- Categoría 1º-2º de E.S.O.: Un cadrado en dous anacos.

Es quen de partir o seguinte cadrado en dous anacos da mesma forma e tamaño que teñan o mesmo número de cada tipo de símbolo?

Problema Nº 3- Categoría 3º-4º de E.S.O.: O texto cifrado.

Só tedes que descifrar este texto, escrito en minúsculas e mantendo as vogais con til para axudarvos:

gqyqe fedqlgbcqo sfogcfe b wqñ drbcb yf frcqoy xbrbzb yf ebicqo f qe bofle yf tqyfc f yf dboyq xqcqo xqcmbyqe ob efhioyb lybyf yq sioyq, sqlgq gfstq bgcÁe. brhÚoe dqpfdÍbo ioub tbcgf yb ulegqclb, tfcq olohiÉo yq tclodltlq bq xlo, f sqlgqe qrrqe wqrwÉcqoef b frcqoy dqo sfyq f beqszcq sfogcfe rrfe xbrbzb yqe xfccflcqe frxqe yf fcfmlqo f yb bslñbyf aif glpbo dqbe mfogfe yf sqclb f yf dqsq yfefmbzbo dqpfdfrq gqyq f yf dqsq fegb loailfgiyf xÍmqqe dbfc fo sboe yf ebicqo.

Just for Fun-4

2011-02-18T00:53:00.003+01:00

E hoxe dous vídeos, moi distintos pero cada un abraiante á súa maneira:

O primeiro é simplemente arte, pero cando o ves é imposible non pensar nalgún videoxogo (quizais porque hai tantos videoxogos artísticos?)

E o segundo é simplemente incrible:

Esperemos compensar o exame de polinomios que acabo de poñer, e así restituír o equilibrio na forza...

A ficción

2011-02-16T12:20:00.000+01:00

É alucinante ver as engrenaxes da realidade que nos proporcionan os vídeos. Despois de coñecer este vídeo non poderei volver ver do mesmo xeito inocente as imaxes que pasan por diante dos meus ollos:

Stargate Studios 2010 Virtual Backlot Demo from Stargate Studios on Vimeo.

Triángulos e Inception

2011-02-15T13:41:00.003+01:00

O certo é que a música de Inception quédalle ben a calquera cousa, incluída esta vella peza do 1976:

Solucións dun simulacro

2011-02-14T18:13:00.004+01:00

Tal e como pedistes na aula, subín a solución do Simulacro de Exame de Linguaxe Alxébrica. E para que non haxa que buscala, póñoa aquí:

Solución del Simulacro de Examen de Lenguaje Algebraico

E como fai moito tempo (desde outubro) que non poño unha canción, velaquí tedes unha dos Foo Fighters, a versión acústica de Times like these:

Club Matemático(2)

2011-02-11T19:56:00.009+01:00

Chega o venres, e debido a que os problemas anteriores non foron aínda resoltos por alumnos abondo (algunha solución si que vin xa, que conste), propoño hoxe dous novos problemas, esperemos que teñan mellor acollida:

Problema Nº 2- Categoría 1º-2º de E.S.O.: Os dous cadrados

Movendo soamente tres mistos, tes que transformar os dous cadrados da figura en tres cadrados:

Problema Nº 2- Categoría 3º-4º de E.S.O.: Do 1 ao 15

Coloca os números do 1 ao 15 nas celas do seguinte rectángulo de tal xeito que tódalas columnas teñan a mesma suma e tódalas ringleiras teñan a mesma suma:

O prazo para entregar solucións aos catro problemas que levamos publicados remata o venres que vén. Ánimo!

That cold beauty...

2011-02-10T22:07:00.004+01:00

...Da que falaba Bertrand Russell é menos fría cando nos referimos aos fractais...

Atopei esta impresionante animación no blog de cousas curiosas The Presurfer. Eu téñoo gardado no Google Reader, é interesante pasarse cada certo tempo por aló, pois o autor, Gerard Vlemmings, actualiza con historias realmente sorprendentes con certa frecuencia.

O Sol, enteiro

2011-02-07T21:13:00.007+01:00

Non podía deixar de traer a este blog este vídeo, no que a NASA explica como a misión STEREO acaba de permitir, por primeira vez na historia, que teñamos unha imaxe completa desa anodina anana amarela que chamamos Sol. A voz do narrador é bastante clara, aínda que se non o entendedes ben podedes activar os subtítulos. Ata tedes a oportunidade de utilizar a versión beta do tradutor de subtítulos, aínda que eu non o faría:

Interesante o anuncio que fan na web da NASA, STEREO- Studying the Sun in 3-D:

6 de Febrero de 2011: É oficial: O Sol é unha esfera.