Un problema de optimización nun triángulo

Hai anos, na época previa incluso aos blogs(un chisco máis, e collédesme xogando ao Age of Empires II), adoitaba participar en distintos foros nos que os usuarios propoñían problemas. Algúns xa desapareceron, como 100cia.com ou o Foro de Migui; outros sobreviven, como o Rincón Matemático, onde estiven a ler algúns problemas nos que acheguei unha solución(ou tentativa de), hai arredor de 10 anos. Hoxe traio un dos que máis me gustaran:

Un punto X tomado na hipotenusa dun triángulo rectángulo, proxéctase ortogonalmente sobre os catetos nos puntos M e N. Determinar a posición do punto X e a lonxitude do segmento MN cando esta sexa mínima:

    

Vémonos no 2019.

Un bo problema, a varios niveis

Este curso adiantamos as avaliacións respecto ao "calendario natural", pois a volta da Semana Santa, Chamorro para os ártabros do norte, cadra coa Feira de Moeche; ou se sodes doutras latitudes, co Día do Libro. Polo que xa rematei os exames e xuntas da 1ª Avaliación, e tiven un anaco nesta ponte para revisar pdfs e djvus do disco duro.

No cartafol Miscelánea estiven a botar unha ollada a Hidden Connections, Double Meanings, do sempre interesante David Wells(antes neste blog, aínda antes), e atopei un problema, se ben lixeiramente familiar, coido que nunca o vira deste xeito.

Imaxinemos un insecto que parte dun punto A e anda 1 metro nunha certa dirección, chegando a un punto B. En B xira 90º á esquerda e anda medio metro, chegando a un punto C, onde volve xirar 90º á esquerda e avanzando un cuarto de metro. Se continúa o seu camiño espiral deste xeito, sempre xirando 90º á esquerda e avanzando a metade do tramo anterior, a onde chegará no límite?

Como sempre, cun debuxo, mellor:

    

Este problema enche o capítulo 11 do libro, One problem, many solutions, onde o autor propón 3 solucións distintas: unha xeométrico-aritmética, unha puramente xeométrica e finalmente unha puramente aritmética. (Nota: ningunha desas solucións foi a que atopei eu).

Porén, o que me resulta máis atractivo do problema é a posibilidade de darlle un tratamento experimental. No curriculum de Matemáticas I temos que facer estudos xeométricos mediante programas informáticos, que é un xeito de aludir ao geogebra sen nomealo. Quizais este ano mande estudar configuracións semellantes a esta, onde poidamos combinar certos movementos, supostamente estudados na ESO. Verei.

Déixovos unha pista para a 1ª solución que achega David Wells. Unha fermosura:

    

Por último: de que xeito resolvín eu o problema? Pois

SPOILER

Sumando unha serie xeométrica de números complexos.

Cando teña ganas de escribir solucións pode que a comparta.