A ecuación de 2º grao, xeometricamente(pero sen completar cadrados)

 

No título xa aviso, pois pensar xeometricamente a ecuación de 2º grao a estas alturas xa é un lugar común. Por moito que algúns fagan coma quen que o redescobren para o gran público de cando en vez.

Antonte dei por casualidade co artigo de King-Shun Leung Dividing a right-angled trapezium into two similar quadrilaterals, en The Mathematical Gazette, pero como me adoita suceder, reparei nun detalle accesorio no artigo, que é do que veño falar: a representación analítica das solucións da ecuación de 2º grao. Ademais, xa coñecía esta representación, mais quedara algo esquecida na miña memoria. Por outra banda, é posible que Cibrán xa a incluíse nalgunha das súas entradas sobre historia da Álxebra. 

Partimos da ecuación na forma $x^2+bx+c=0$ con $bc \neq0$ (lembremos que dividindo todos os coeficientes entre o coeficiente principal $a \neq 0$, obtemos sempre un polinomio mónico como o desexado). Marcamos no plano os puntos $A(0,-1), B(0,0), C(-b,0), D(-b,-c)$. A idea esencial do método consiste en trazar a circunferencia con diámetro o segmento AD. Se o discriminante $\Delta=b^2-4c>0$, a circunferencia corta ao eixe X en dous puntos $P(\alpha,0), A(\beta,0)$, con $\alpha>\beta$.

   

E eses números $\alpha, \beta$ son as solucións da ecuación orixinal. Vexamos por que no caso do punto P:

O punto P$(\alpha,0)$ é solución $\iff \alpha^2+b\cdot \alpha +c=0 \iff  c=-\alpha \cdot (\alpha +b) \iff \\ \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{c}{\alpha+b}=-1$

E aquí vén o salto, a igualdade anterior pode escribirse:

$$\frac{0-(-1)}{\alpha-0}\cdot \frac{0-(-c)}{\alpha-(-b)}=-1 \iff PA \perp PD $$

que, de novo, é equivalente a que o punto P pertenza á circunferencia de diámetro AD.

E aínda van quedar deberes para o amable lector: coa pista do trapecio que resaltei na figura, tócavos amosar que uso lle dá para atopar os dous trapecios semellantes que promete o título do artigo.