Dúas diseccións, unha vella e unha nova

 

Onte varios alumnos remataron un exame con bastante antelación, polo que acabei entrando aquí, na etiqueta Disección, para poñer algún problema que non precisase de moito enunciado. E a primeira entrada que sae nesa etiqueta é Catro novas diseccións, onde compartín catro problemiñas inventados por min. E pensei en crear algunha nova, polo que abrín o Polypad one more time e tardei un bo anaco en atopar algunha idea que me dese convencido. Porén, como tamén vin hai pouco unha interesante nun libro dun dos Grabarchuk, veño con dúas diseccións para engadir ao almacén. Obviamente é mellor a outra, xa podedes imaxinar, pero chanto antes a miña:

   

Dividide a figura anterior en 7 figuras co mesmo tamaño pero forma distinta.

Non fixen as variacións, mais coido que o periscopio ese pode cambiar de sitio e aínda habería problema para resolver.

   

Divide a figura anterior en tres partes congruentes.

Como son boa persoa, coméntovos que nese "congruentes" hai que entender que falamos de pezas sólidas, que podemos xirar no espazo.

Se outro día, xogando co Polypad, atopo algo potable, hei volver por aquí.

Dous problemas combinatorios

 

Había tempo que non atopaba un concurso matemático, e hoxe mesmo, remexendo na web de Art of Problem Solving na pescuda dalgunha ecuación diofántica (o que vén sendo o combustible que mantén viva esta maldade interior), dei co Concurso Madhava da India. O que non deixa de ser curioso, tendo en conta que foi fundado en 2010.

Esta competición vai dirixida a estudantes do grao de Matemáticas, o que fai que inclúa desde problemas de álxebra elemental ata ecuacións diferenciais, pasando pola combinatoria. E mirando por riba axiña achei dous curiosos dentro desta última materia. Atendede.

Este mesmo xaneiro apareceu este problema, que me sorprende que non pensara antes dado o inmediato que é:

De cantos xeitos podes escoller un número impar de obxectos dun total de n obxectos?

Inclúo as opcións que dá o concurso:

a) $2^{n-1}$ b) $2^{n}$ c) $2^{n}-1$ d) $n$ 

A solución, coido, é fácil de intuír, vendo as opcións. Antes de velas elucubrei un anaco sobre dividir a análise en dous casos, segundo se n é par ou impar. Pero é moito máis sinxelo. E susceptible de facer unha demostración puramente combinatoria e argallar varios argumentos.

E velaquí outro, este de 2015, que non sei se vai exactamente de combinatoria pero como mínimo está na fronteira:

Hai 8 equipos na liga profesional de kabaddi. Cada equipo xoga con todos os demais equipos unha soa vez. Supoñamos que non pode haber empates. Sexan $w_1, w_2, \dots , w_8$ o número de victorias e $l_1, l_2, \dots , l_8$ o número de derrotas dos equipos $T_1, T_2, \dots , T_8$. Entón

a) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49+l_1^2+ \dots + l_8^2$

b) $w_1^2+ \dots + w_8^2=l_1^2+ \dots + l_8^2$

c) $w_1^2+ \dots + w_8^2=49-(l_1^2+ \dots + l_8^2)$

d) Ningunha das anteriores

Estou certo de que hei pasar pola web deste concurso moitas veces no futuro(de feito xa estou enleado con algún problema...)