 |
| Folclore obrigado |
Comecemos polo principio: Que é unha ecuación diofántica?
Resumindo, é unha ecuación polinómica con coeficientes enteiros da que buscamos as solucións en números naturais, enteiros ou racionais, aínda que hai extensións da definición a ecuacións exponencias, por exemplo.
Os profesores de Matemáticas de secundaria adoitan atopar por primeira vez as ecuacións diofánticas cando collen o temario das oposicións e dan coa unidade 15, que laconicamente leva ese título. Aínda que había un recanto agochado no marasmo da materia Ecuacións Alxébricas(na que se introducía a Teoría de Galois) no que timidamente aparecían as ecuacións diofánticas lineais, dependendo do profesor que tiveses. Como agora a nivel galego empeza a haber escaseza de licenciados en Matemáticas, pode suceder que algún profesor de secundaria sexa enxeñeiro en Informática, daquela si terá visto ecuacións diofánticas no contexto da materia Matemática Discreta de 1º de carreira.
E no devandito tema das oposicións, que ecuacións diofánticas aparecen? Tradicionalmente estas:
Resumindo, é unha ecuación polinómica con coeficientes enteiros da que buscamos as solucións en números naturais, enteiros ou racionais, aínda que hai extensións da definición a ecuacións exponencias, por exemplo.
Os profesores de Matemáticas de secundaria adoitan atopar por primeira vez as ecuacións diofánticas cando collen o temario das oposicións e dan coa unidade 15, que laconicamente leva ese título. Aínda que había un recanto agochado no marasmo da materia Ecuacións Alxébricas(na que se introducía a Teoría de Galois) no que timidamente aparecían as ecuacións diofánticas lineais, dependendo do profesor que tiveses. Como agora a nivel galego empeza a haber escaseza de licenciados en Matemáticas, pode suceder que algún profesor de secundaria sexa enxeñeiro en Informática, daquela si terá visto ecuacións diofánticas no contexto da materia Matemática Discreta de 1º de carreira.
E no devandito tema das oposicións, que ecuacións diofánticas aparecen? Tradicionalmente estas:
- A ecuación diofántica lineal, $ax+by=c$,
- A ecuación pitagórica, $x^2+y^2=z^2$,
- Algún dos exemplos clásicos sen solución, como $x^4+y^4=z^2$,
- Algún exemplo de ecuación sen solución non trivial, demostrado por congruencias e/ou descenso infinito, p.ex. $x^2+y^2=3z^2$,
- Quizais a Ecuación de Pell,
- A inevitable mención ao Último Teorema de Fermat, $x^n+y^n=z^n$
A miña historia é ben outra. De feito, este é o tema das Matemáticas que máis me interesa. O que máis.
Eu tiven a sorte de que o meu profesor de COU tivese unha cultura matemática formidable1. Ademais do dominio da parte técnica, que se dá por suposto(era coñecido polos seus erros aritméticos no encerado, cumprindo un dos estereotipos máis comúns), tiña o costume de ir deixando pingas de historia nas clases. Alí puidemos oír falar de Matemáticas na mesa de té de Alicia no país das marabillas cando demos as permutacións no contexto dos determinantes, saíron os nomes de Ramanujan e Hardy cando apareceu o ubicuo número π, anécdotas de Gauss e Euler... E un día, non lembro que estabamos a dar, de súpeto comentou que unha ecuación diofántica era unha ecuación na que só se buscaban as solucións en números enteiros (non comentou se a ecuación tiña que ser polinómica ou non, nin as solucións racionais, etc.). E non sei por que, pero aquel detalle quedou gravado na miña memoria. Recordo tamén que pensei que se nós levabamos anos resolvendo ecuacións en números reais, resolvelas en enteiros, que hai menos, tiña que ser á forza máis sinxelo. Para que vexades o absurdo deste razoamento, collede a ecuación diofántica máis coñecida, a do Último Teorema de Fermat, $x^n+y^n=z^n$, con n>2, non ten solución en números enteiros alén da trivial, na que ou ben x ou ben y é nulo. Pois ben, en números reais a ecuación ten infinitas solucións, $x=\sqrt[n]{z^n-y^n}$, coas restricións evidentes, menos enleadas de ver que de escribir formalmente(se n é par, y ten que ser menor que z, etc.).
Na carreira tamén xurdiu o termo Ecuacións Diofánticas brevemente nunha clase de Álxebra Conmutativa, optativa da especialidade de Matemáticas Puras(como curiosidade, a última materia da que fixen un exame, un 10 de xullo). En concreto, o profesor apuntou ás diferenzas entre as dúas ecuacións seguintes, onde p é un número primo:
$$x^2-y^2=p$$
$$x^2+y^2=p$$
En troques, na materia optativa Teoría Clásica de Números non vin ecuación diofántica ningunha, pois o programa estaba restrinxido á teoría analítica(Función Gamma, Zeta de Riemann, Teorema do Número Primo, Primos en progresións aritméticas-Teorema de Dirichlet). E a outra materia desta subdivisión das Matemáticas que había daquela, Teoría de Números Alxébricos, non a puiden cursar por mor dun cambio de plano de estudos. E nesa si habería espazo para as ecuacións diofánticas, pois no contexto do estudo dos corpos cuadráticos o exemplo estándar é a Ecuación de Pell.
Por último, na materia Topoloxía de Superficies, construída arredor da clasificación das superficies compactas, demostrábase que só podía haber 5 poliedros regulares traducindo o problema xeométrico a un problema combinatorio, e finalmente, a unha ecuación diofántica, en concreto:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}=\frac{1}{c}$$
(a representaba o número de arestas que saen de cada vértice, b o número de lados de cada polígono e c o número de arestas total do poliedro)
Por último, na materia Topoloxía de Superficies, construída arredor da clasificación das superficies compactas, demostrábase que só podía haber 5 poliedros regulares traducindo o problema xeométrico a un problema combinatorio, e finalmente, a unha ecuación diofántica, en concreto:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{2}=\frac{1}{c}$$
(a representaba o número de arestas que saen de cada vértice, b o número de lados de cada polígono e c o número de arestas total do poliedro)
Fast forward ao meu tempo de preparación para as oposicións. Demostrando unha vez máis que eu como alumno sempre fun un desastre, dediquei o tempo que tería que estar facendo os meus propios temas de oposición (ou polo menos conseguindo os temas dalgunha editorial) a aprender os temas que me interesaban a min, sen ter en mente a utilidade para a oposición que puidesen ter. E mantiven un arquivo de problemas(dous, en realidade) atopados en olimpíadas, libros de resolución de problemas, etc. que me resultasen interesantes por calquera razón. E alí gardo moreas de ecuacións diofánticas, desde as moi sinxelas ata algunha de nivel superior de olimpíada. Desde logo, nada salientable matematicamente falando. Vouvos amosar uns cantos exemplos de ecuacións diofánticas tiradas deses arquivos, para amosar algunha das técnicas elementais.
$$a^2-a=(3a-1) b \rightarrow a(a-1)=(3a-1)b\rightarrow a-1=0 \lor 3a-1 |a $$ (| é o símbolo estándar para "é divisor de")
1) Se $a-1=0 \rightarrow a=1 \rightarrow b=0$
2) Se $3a-1 |a$, non vedes algo raro? Como que está ao revés ou algo? O que sucede é que os divisores son, en valor absoluto, menores que os múltiplos. A única excepción é o 0, que é múltiplo de calquera enteiro. De aquí que $a=0 \rightarrow b=0$
Finalmente, a ecuación só ten as solucións $(a,b)=(0,0) \land (1,0)$
Con esta ecuación vou amosar varias estratexias:
- British Mathematical Olympiad, 1969(e Suecia 1962): Atopar as solucións en enteiros da ecuación $a^2-3ab-a+b=0$
$$a^2-a=(3a-1) b \rightarrow a(a-1)=(3a-1)b\rightarrow a-1=0 \lor 3a-1 |a $$ (| é o símbolo estándar para "é divisor de")
1) Se $a-1=0 \rightarrow a=1 \rightarrow b=0$
2) Se $3a-1 |a$, non vedes algo raro? Como que está ao revés ou algo? O que sucede é que os divisores son, en valor absoluto, menores que os múltiplos. A única excepción é o 0, que é múltiplo de calquera enteiro. De aquí que $a=0 \rightarrow b=0$
Finalmente, a ecuación só ten as solucións $(a,b)=(0,0) \land (1,0)$
- Canadá 1977: Demostrar que non hai $m, n \in \mathbb{N}$ tales que $4m(m+1)=n(n+1)$
Con esta ecuación vou amosar varias estratexias:
- Como ecuación cuadrática en m.
$$4m^2+4m=n(n+1) \rightarrow 4m^2+4m-n(n+1)=0$$
Agora vén un paso crucial: para que esta ecuación teña solucións enteiras, unha condición necesaria é que o discriminante da ecuación cuadrática sexa o cadrado dun número natural:
$$16+4 \cdot 4 n(n+1)=a^2 \rightarrow 4 | a \rightarrow \exists b \in \mathbb{N} / a=4b \rightarrow$$
$$1+n(n+1)=b^2 \rightarrow 4n^2+4n+4=4b^2=(2b)^2 \rightarrow (2n+1)^2+3=(2b)^2$$
$$(2b+2n+1)(2b-2n-1)=3 \rightarrow \begin{cases} 2b+2n+1=3 \\ 2b-2n-1=1 \end{cases} \rightarrow n=0, m=0 \lor -1$$
As outras posibilidades, cambiando a factorización do 3, levan a que n e m varían entre 0 e -1.
- Comparando tamaños dos dous membros.
$$4m(m+1)=n(n+1) \rightarrow 4m^2+4m=n^2+n \rightarrow 4m^2+4m+1=n^2+n+1 \rightarrow$$
$$(2m+1)^2=n^2+n+1$$
Pero se n é natural, $n^2 < n^2+n+1 <(n+1)^2$, o que provoca que $(2m+1)^2$ estea estritamente entre dous cadrados perfectos consecutivos
- Comparando tamaños de n e 2m.
Só hai 3 opcións, ou ben n > 2m ou ben n < 2m ou ben son iguais. Nos tres casos chegamos rapidamente a absurdos.
- Alemaña 2006: Atopar as solucións enteiras de $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2+1)$
Aquí vou utilizar aquelas factorizacións que estudei en 1º de BUP:
$$(x+y)(x^2-xy+y^2)=4[xy(x+y)+1]$$
Observando o aspecto dos polinomios, fago o cambio $s=x+y, p=xy$ (as funcións simétricas que aparecen en Cardano-Vieta).
$$s(s^2-3p)=4(ps+1) \rightarrow s^3-3sp=4sp+4 \rightarrow s^3=7sp+4$$
De aquí deducimos que s é divisor de 4, comprobando as 6 posibilidades (pois tamén serven as negativas), vemos que ningunha proporciona unha solución enteira.
- India 1997: Amosar que non existen números naturais m,n, tales que $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m}=4$
$$m^2+n(n+1)=4nm \rightarrow m^2+n^2-4mn+n=0 \rightarrow (m-2n)^2-4n^2+n^2+n=0 \rightarrow \\ (m-2n)^2=3n^2-n=n(3n-1)$$
Como n e 3n-1 son números coprimos que multiplicados dan un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado perfecto:
$$\exists a,b \in \mathbb{N} / \begin{cases}n=a^2 \\ 3n-1=b^2 \end{cases}$$
Pero o número 3n-1 non pode ser un cadrado perfecto, pois é unha unidade menos que un múltiplo de 3, e os cadrados só poden deixar resto 0 ou 1 ao dividilos entre 3.
- School Science and Mathematics, 3837: Resolver a ecuación diofántica $23x+17y+11z=130$ en números naturais.
É obvio que a condición de buscar solucións naturais provoca que só haxa un número finito de candidatos, $x \leq 5, y \leq 7, z \leq 11$, excesiva aínda así para aplicar forza bruta. Por sorte hai outros camiños:
$$23x+17y+11z=130 \rightarrow 17(x+y+z)+6(x-z)=130 $$
Como $130 \equiv 11(mód 17)$, temos que $6(x-z) \equiv 11(17) \rightarrow x-z \equiv 33 \equiv -1(mod 17) $, polo que $x-z=-1+17m$
Debido aos rangos nos que se moven x e z, ten que suceder que m=0, i.e., $x=z-1$
Volvendo á ecuación,
$$17(2z+y-1)-6=130 \rightarrow 17(2z+y-1)=136 \rightarrow 2z+y=9 $$
De novo, tendo en conta os rangos nos que se moven as variables, como $x \geq 1 \rightarrow z \geq 2$, e temos as solucións:
$$\begin{cases} z=2, y=5, x=1 \\ z=3, y=3, x=2 \\ z=4, y=1, x=3 \end{cases}$$
Coido que xa é abondo para unha sentada. Outro día quizais poña algunha ecuación exponencial, por exemplo.
1 Non todo o mundo compartía o meu entusiasmo, para sermos honestos↩
0 comentarios:
Publicar un comentario