Procrastinando entre pdfs e djvus Aprendendo unha morea como cada día na docencia e preparando novas actividades no American Mathematical Monthly, atopei esta nova (para min) demostración da fórmula do coseno da suma de ángulos, que parte dunha situación que xa aparecera por este blog hai anos nesta entrada, na que se demostraba precisamente o seno da suma. Lembremos a situación de partida:
 |
A idea era debuxar os ángulos α e β de xeito consecutivo, e prolongar os lados dos ángulos de tal xeito que o lado común forme unha perpendicular coa unión das extensións dos outros dous. Máis sinxelo velo que dicilo, como podedes comprobar. Despois había que utilizar a expresión das áreas dos 3 triángulos da figura en función do seno dos 3 ángulos implicados, e o chisco inevitable de álxebra et voilà.
Para reutilizar a figura temos que poñer tres novas etiquetas:
 |
| Creo que é digno de mención que atopase o ggb nun disco duro |
Comezamos apelando ao Teorema do Coseno no triángulo grande:
$$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Por outra banda,
$$c=m+n \Longrightarrow c^2=m^2+2mn+n^2$$
E usando o Teorema de Pitágoras nos dous triángulos pequenos e substituíndo na igualdade anterior,
$$\begin{cases} n^2=a^2-h^2 \\ m^2=b^2-h^2\end{cases} \Longrightarrow c^2 = b^2+2mn+a^2-2h^2$$
Igualando as dúas expresións para a medida $c^2$:
$$ b^2+2mn+a^2-2h^2=a^2+b^2-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Cancelamos:
$$2mn-2h^2=-2ab \cdot cos(\alpha + \beta)$$
Dividindo os dous membros entre $-2ab$:
$$cos(\alpha+\beta)=\frac{h}{a}\cdot \frac{h}{b}-\frac{n}{a} \cdot \frac{m}{b}$$
é dicir,
$$cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen\beta$$
q.e.d.
Non sei que pensaredes, a min sempre me prestan as demostracións nas que atopas por camiños distintos dúas expresións diferentes para a mesma cousa. Xa temos outro exemplo no arquivo.
