O seno da suma (cunhas poucas palabras)

Lendo un manual sobre como ensinar Matemáticas, How to Teach Mathematics de Steven G. Krantz, atopei esta estratexia para demostrar a fórmula do seno da suma de ángulos. Como este ano estou a dar Matemáticas I, aproveito o blogue para ter a imaxe a man.

Imos ver que $$sen(\alpha +\beta )=sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta$$

A idea é ben sinxela: creamos dous triángulos rectángulos cun cateto común e con ángulos $\alpha$ e $\beta$ (isto vai representar unha eiva na demostración, a que se adoita facer tampouco funciona para ángulos non agudos) e xuntámolos de tal xeito que formen un triángulo cun ángulo $\alpha +\beta$:

   

Agora razoamos sobre as áreas dos triángulos implicados:

A área do triángulo rectángulo superior é $\frac{ahsen\alpha }{2}$, a do triángulo rectángulo inferior é $\frac{bhsen\beta }{2}$, mentres que a área do triángulo grande é $\frac{absen(\alpha +\beta )}{2}$

Igualando:

$$\frac{absen(\alpha +\beta )}{2}=\frac{ahsen\alpha }{2}+\frac{bhsen\beta }{2}$$ (1)

Traballando nos triángulos rectángulos obtemos:

$cos\alpha =\frac{h}{a}\to h=acos\alpha$

e

$cos\beta =\frac{h}{b}\to h=bcos\beta$

Utilizando estas dúas igualdades en (1):

$$\frac{absen(\alpha +\beta )}{2}=\frac{ab\cdot sen\alpha cos\beta +ba\cdot cos\alpha sen\beta }{2}=\frac{ab\cdot (sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta )}{2}$$

De onde obtemos a consabida igualdade:

$$sen(\alpha +\beta )=sen\alpha cos\beta +cos\alpha sen\beta$$

Esta estratexia non funciona directamente para probar a fórmula do coseno da suma, para isto teremos que argallar previamente co Teorema do Coseno.