Solución ao problema sinxelo... ou non

Non vaia ser que alguén se puxese a resolvelo e morrese tentando calcular as áreas sombreadas por métodos elementais. Porque neste problema hai varias cousas curiosas.

• O primeiro no que pensa calquera que o tente resolver é en calcular as áreas sombreadas. Un pode fedellar un pouco ata decatarse de que non vai dar feito.
• En segundo lugar, o dato do intersección en ángulo recto non é esencial. Para sermos precisos, dá exactamente igual.

Como resolvelo entón?

Podería poñerme formal e dicir que a substracción é invariante ante translacións:

(A + x) − (B + x) = A−B

(en fin, cousas da carreira que estudou un)

... porén creo que é máis axeitado dicir que a diferenza entre as áreas sombreadas coincide coa diferenza entre as áreas dos dous círculos completos, pois o anaco que lles faltaba (o único sen sombrear) computámolo nos dous círculos.

E o cálculo das áreas dos dous círculos é, isto si, elemental:

π · 4² − π · 3² = 7π cm²

Implicitamente vemos que a área da intersección non inflúe na diferenza entre as áreas sombreadas, de tal xeito que aínda que os círculos non se intersecasen a diferenza sería a mesma; e tamén se un dos círculos está dentro do outro.

Outro feito interesante vémolo en que a idea de calcular as áreas das figuras completas funciona independentemente de que as figuras implicadas sexan círculos.

Un problema sinxelo... ou non

Este problema sobre circunferencias é outro exemplo de problema no que máis vale saber pouco. Non digo nada máis para non esbandallarvos a diversión.

Temos dúas circunferencias de radio 3 e 4 cm. que se cortan de xeito perpendicular, é dicir, os seus radios no punto de intersección son perpendiculares. Cal é a diferenza entre as áreas das dúas zonas sombreadas?

Sinxelo, sinxelo...

O desprazamento cara ao vermello

Atopei este breve vídeo do Royal Observatory, Greenwich sobre como os astrónomos miden a distancia á que están os obxectos do universo respecto a nós. Haiche moito que roer no que se di, pero como vídeo divulgativo é realmente axeitado.
En 4 minutos pasamos de utilizar simple xeometría ao Efecto Doppler:

Measuring the Universe from Royal Observatory Greenwich on Vimeo.

Un par de xogos

Vexamos as dúas últimas desfeitas que cometín no blog:

• O mércores comentei un problema que xa propuxera neste post  hai uns anos (soábame, pero non o daba atopado, así que o volvín poñer,cunha proposta distinta) 

• Para rematar este éxito, esta mañá atopo que aparece en portada do blog un post que escribira en novembro do 2011. A razón é que modifiquei a etiqueta daquel post, que trabucadamente aparecía como "Xeometría Problemas" onde tiña que poñer, obviamente, "Xeometría", "Problemas". No panel anterior de administrador de blogger, esta actualización das etiquetas non suporía volver a publicar o post, polo visto no panel actual si. Tampouco vai supoñer moita perturbación esta volta ao pasado, pois no panel indicaba que ese post non o lera ninguén.

E xa que estamos aquí escribindo vou compartir os dous últimos xogos do xénero puzzle que están dispoñibles na rede para facernos tolear aos máis freaks:

• O primeiro, Mirror Rays, é unha proposta do último Ludum Dare. A idea é brillante: o personaxe ten que avanzar utilizando soamente a curiosa arma que leva, un xerador de espellos que duplican os bloques da pantalla. Esta arma pode crear espellos horizontais ou verticais, a dinámica do xogo é moi áxil, a única mágoa é a brevidade imposta polas bases do concurso Ludum Dare. Aínda que ao final do xogo pon un esperanzador "to be continued..."

Mirror Rays

• O segundo, Cube Mayhem, moito máis difícil que o anterior, é un arcade no que temos que dirixir ao cubo a unha cela final pasando pola típica grella de celas e buratos. Temos á nosa disposición mecanismos que permiten cambiar a dirección do noso cubo (que teima en continuar na mesma dirección), facer esvarar unha cela ao cubo e, como non, teletransportarmos o cubo entre dúas celas. 

Cube Mayhem

Como sempre, un aviso: a adicción provocada por un xogo é directamente proporcional á súa dificultade.

25 escaques

Imaxinemos un taboleiro de xadrez con 5 escaques de lado, de tal xeito que o taboleiro total ten 25 escaques. Se comezamos na esquina superior esquerda, calquera pode trazar unha liña que percorra todo o taboleiro coas condicións habituais:

• Hai que pasar por cada escaque unha vez, e unha soa vez.
• Non podemos erguer o lapis do taboleiro nin saír del.

O percorrido forma unha poligonal semellante a unha espiral ríxida que remata no centro do taboleiro.

O problema xorde cando tentamos facer esa liña comezando no escaque co punto vermello da figura:

Alguén pode trazar a liña por todo o taboleiro?

Cando o obvio é incorrecto

Nos anos que levo dando clase teño un repertorio considerable de xogos, trucos numéricos, parvadas varias, etc,... que utilizo nas aulas nos típicos días nos que non é posible traballar contidos académicos. Isto sucede por varios motivos: días nos que só quedan na aula alumnos que non van a unha actividade extraescolar, días nos que unha parte da clase non ten que facer recuperacións, días lectivos localizados despois das avaliacións (lembro que cando eu era alumno nos anos 90 as clases rara vez chegaban alén do día 10 de xuño; hoxe en día é común que o día de San Xoán sexa lectivo). En realidade este repertorio provén na súa maioría da época previa a converterme en profesor, mesmo de cando era alumno de E.G.B. e B.U.P.

Un exemplo consiste no seguinte:

Pídolle a un alumno que repita a palabra fota sen parar. Despois dun anaco oíndo ao alumno xa canso de repetila, pregúntolle por sorpresa: Que fai unha pedra na auga? En caso de ter éxito, o alumno contestará fachendoso FLOTA (habitualmente ben alto e claro). Curiosamente estes enganos funcionan mellor se implicamos a varios alumnos simultaneamente.

Ás veces creo que canto máis tempo pasa mellor levo estas mostras de "animación sociocultural" e peor o traballo académico. Pero iso é outra historia.

Esta introdución vén a conto dun feito matemático que resulta especialmente sorprendente. Precisamente porque a resposta obvia tamén é incorrecta. Pero tratándose de Matemáticas, a idea que repousa baixo o truco é moito máis sutil.

Vexamos o inicio do truco (o primeiro acto que diría Dan Meyer), a posta en escena deste feito que coñezo hai tantos anos que perdín de vista a fonte.

Collamos puntos nunha circunferencia, unámolos mediante tódalas liñas rectas posibles(de tal xeito que non concorran tres no mesmo punto) e contemos o número de rexións nas que queda dividido o círculo.Observemos como empeza o patrón na seguinte figura, onde para facilitar a conta das rexións estas aparecen marcadas cun punto vermello:

Vexamos tamén o seguinte elemento da sucesión:

Hai alguén que non vise o patrón? Alguén que non adiviñe o que sucederá con 6 puntos na circunferencia?

Boa sorte.

Ilusión, máis ilusión

Como había tempo que non compartía ilusión ópticas, velaquí tedes tres, de características moi distintas:

• Na primeira observade a relación entre as liñas rectas "horizontais" que forman o debuxo:

• Na segunda, que lembra a outras que xa puxera por acó, atención aos peixes:

• E da terceira mellor non digo nada máis que os microsiervos xa falaron dela, por se queredes ver unha explicación: