Outro exercicio inverso

 

Hai 8 anos escribín unha entrada coa gráfica dunha función impar, van tantos anos xa que nin lembro a motivación que me levara a esa función en concreto. A entrada pedía que se atopase a expresión alxébrica da función sen máis axuda que a gráfica, e houbo un novo comentarista que tivo éxito, comentarista que resultou ser alumno do compañeiro Cibrán.

Hoxe vou compartir un exercicio análogo que atopei no borrador do libro Strategies of Problem Solving, da matemática da California State University Maria Nogin, 

   

Enténdese só coa gráfica e as etiquetas? A gráfica está composta por cachos alternos nos que vai coincidindo con 1+cosx e con 1-cosx. A idea é atopar unha única expresión alxébrica que se corresponda con esa gráfica. E tería máis mérito se non facedes antes as gráficas co geogebra.

Non coñecía eu o libro de Maria Nogin, en realidade cheguei a el desde The Mathematics of Various Entertaining Subjects, Vol. 3, de Jennifer Beineke e Jason Rosenhouse, que como os demais volumes desa serie, ten moitas matemáticas abraiantes dentro.

Aproveitando a marea, vou deixar outra adiviña, esta fóra do traballo da secundaria. Que transformación leva o cadrado da esquerda ao trevo da dereita? Pista: igual é máis sinxelo compoñer unhas poucas transformacións elementais de xeito consecutivo...

    

Espero que vos preste resolver a 1ª adiviña tanto como a min, e resolver a 2ª tanto como a min creala.

Máis quickies, máis ou menos rápidos

Hai 9 anos escribín unha entrada, Quickies probabilísticos, onde compartía 3 problemas, 1 deles do libro Mathematical Quickies, de Charless W. Trigg, que no prefacio do libro indicaba que comezara a sección Quickies no Mathematics Magazine en 1950 con este obxectivo:

"From time to time this department will publish problems which may be solved by labourious methods, but which with proper insight may be disposed of with dispatch"

Como o feito de que unha solución sexa elegante é algo subxectivo, e depende fortemente do coñecemento das Matemáticas que teña quen avalíe esa elegancia, a estas alturas non sei se neste blog incluiría moitos problemas que poidan denominarse de tal xeito, particularmente na etiqueta Rápidos. En calquera caso, hoxe veño compartir uns cantos dos que souben recentemente, aínda que algún teña xa os seus anos.

• Amosar que $\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=pn}^{qn}{\frac{1}{k}}=log \left(\frac{q}{p}\right)$

Q220, Joseph Andrushkiw, Mathematics Magazine, 31 (4)

• Se $k \in \mathbb{R}$, entón as liñas $x^4+kx^3y-6x^2y^2-kxy^3+y^4=0$ cortan a $x^2+y^2=1$ en 8 partes iguais

Q248, Norman Anning, MM 32 (5)  (Confeso que a falta de simetría no polinomio me causou sorpresa ao comezo)

• Que fracción ten o menor denominador no intervalo $\left( \frac{19}{94}, \frac{17}{76}\right)$

Math Horizons Winter 1993

• Amosar que $\binom{n}{1}-\frac{1}{2}\binom{n}{2}+\frac{1}{3}\binom{n}{3}- \dots \pm \frac{1}{n}\binom{n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$

Parabola, vol 32 no 1

E para rematar, un Junior Problem:

• Cando dividimos os números 31767 e 34924 entre certo divisor de 3 cifras, obtemos o mesmo resto, tamén de 3 cifras. Atopa o resto.

Parabola, vol 9 no 2

Sede indulxentes co carácter elegante destes problemas. Ás veces di máis do que propón o problema que do problema per se.