Tomade a entrada de hoxe como un consello deste vello profesor.
O outro día fixen unha letra F en geogebra, sen pensar moito. Non sei por que, debuxeina deitada, e fixen semicircunferencias nos extremos, como podedes ver na figura:
 |
E tendo a figura diante, pensei en cal sería o diámetro tal e como quedara. O diámetro, como podedes imaxinar se non o coñecedes xa, é un concepto que xeneraliza o orixinal das circunferencias: é a maior distancia entre dous puntos calesquera dunha figura. Se queredes, $diam(F)=sup \lbrace d(P,Q) / P, Q \in F \rbrace$
Se pensase neste problema hai vinte anos, o que faría sería directamente comezar a debuxar (mal) a situación en folios, de xeito caótico, utilizando varias direccións e sentidos diferentes ao escribir/debuxar. Hoxe, en troques, o primeiro que fago é abrir o geogebra e chantar a figura, e probar relativamente ao chou con ideas que van vindo. Neste caso, parece evidente que o diámetro vai alcanzarse cando os dous puntos estean xusto nos casquetes, mais non hai un candidato obvio a priori para obter o máximo.
 |
Déixovos que pensedes o problemiña; confeso que en principio pedín papas cos métodos elementais e parametricei os puntos da imaxe en polares, e elevei ao cadrado a distancia entre eles. Deste xeito atopei unha función de dúas variables, os ángulos que determinan os puntos desde os centros das semicircunferencias. E fixen derivadas parciais, etc. Mecánico e realmente enleado.
Despois atopei outro xeito máis elemental de atopar os dous puntos, por pura intuición, pero sen argumentar de xeito rigoroso que fose a solución do problema. A ver se sodes máis hábiles ca min.
Para determinar a distancia máis curta (ou máis longa) dun punto P a unha circunferencia C de centro O, se trazamos unha circunferencia de centro P que corte a C en dous puntos A1 e A2, ningún deles vai ser o que determine a distancia extrema (ambos dous están á mesma distancia, o radio da circunferencia con centro P). Reducindo (ou aumentando) o radio ata que a nosa circunferencia con centro P sexa tanxente á circunferencia dada, C, teremos a distancia mínima (máxima). Se A é este punto de tanxencia, e consideramos a recta tanxente á circunferencia de centro P, o raio PA será perpendicular a esta tanxente. Como a mesma recta é tamén tanxente a C, tamén o raio por A será perpendicular a ela. En conclusión, o centro de C, A e P están alineados. Isto resolve o problema se estás convencido de que os puntos dun posible diámetro están nas semicircunferencias. Se non estás convencido, suposto que tes o punto X da parte esquerda, se o punto Y está (polas simetrías da figura) no segmento (0,0) (8,0), o punto máis alonxado sería o (8,0). Pero este está na (semi)circunferencia e, polo que vimos, só pode ser o máis alonxado de X se a recta que os une pasa por (8,1), o centro. Se agora supoñemos que temos determinado o punto Y da parte dereita, o se o punto X estivese no segmento (0,0) (0,4), debería ser o (0,4), que, de novo está nunha (semi)circunferencia e só pode ser o de distancia extrema se XY pasa por (1,4), o centro, coma ti intuiches.
ResponderEliminarXenial, moi ben explicado, amable anónimo
Eliminar