O medo ás Matemáticas

Seica unha tartaruga cun cadrado máxico
 no lombo non ten medo ás Matemáticas?

Colles un libro calquera da túa colección matemática. Ano 1943, Mathematician's Delight, W.W.Sawyer. Miras o índice, ves que ten un capítulo (o primeiro) titulado "O pavor ás Matemáticas". Les as primeiras liñas e dás con isto:

"The fear of mathematics is a tradition handed down from days when the majority of teachers knew little about human nature, and nothing at all about the nature of mathematics itself. What they did teach was an imitation."

Mathematician's Delight, Walter Warwick Sawyer, capítulo The Dread of Mathematics.

En galego máis ou menos vén sendo:

O temor ás Matemáticas é unha tradición que provén dos días nos que a maioría dos profesores sabía pouco sobre a natureza humana, e nada en absoluto sobre a natureza das propias Matemáticas. O que eles ensinaban en realidade era unha imitación.

A primeira reacción ante esta reflexión é de acordo. Alén da coincidencia que moita xente pode ter con esa idea nebulosa de profesores incompetentes (pouca xente non tivo algún contacto cun profesor así, e iso adoita mediatizar a visión sobre a educación), o feito de incidir na ignorancia sobre as Matemáticas dos profesores é novidoso, tendo en conta que o libro é de 1943.

Pero... só iso xustifica a existencia do medo ás Matemáticas?

Vexamos: se por si mesma a incompetencia (humana e intelectual) dos profesores de Matemáticas provocase o fenómeno do devandito pavor, imaxino que tal fenómeno debería aparecer noutras materias escolares. Supoñendo, claro está, que o grao de incompetencia dos profesores sexa unha variable equitativamente distribuída entre as distintas disciplinas (falta dicir: e incorreladas...). Non atopo razón que me faga pensar que non fose así na época da que fala o autor. E ben: existe o fenómeno do medo ás Ciencias Sociais, á Lingua ou ás TIC? Non chegou ao meu coñecemento, polo menos, a súa existencia. E en calquera caso, o medo ás Matemáticas si resulta ter unha entidade de tal magnitude que ocupa artigos e libros de expertos en educación e psicoloxía. Ata existe a Mathematics Anxiety Rating Scale (MARS)!

En consecuencia: non haberá algún outro factor que produza a "Mathematical anxiety"? 

Como mínimo veñen dous á mente: a busca de solucións exactas e unívocas nas escolas e a dificultade intrínseca da materia.

Dun xornal noruegués no que falaban do mal que
 o facían os cativos  do país en PISA. Esperemos que
fose un exemplo do que non había que facer...

Con respecto á primeira, moito se ten escrito e falado sobre a burremia dos profesores que non admiten solucións alternativas e imaxinativas aos problemas que propoñen. É curioso, pero podo falar por min e por moitos compañeiros se digo que propoñemos certos problemas con ánimo de motivar solucións distintas ás "canónicas" (non valoro se o traballo que facemos facilita a aparición de tales solucións, só a nosa disposición posterior ante as eventuais solucións). Pero tamén é certo que, ao nivel de Matemáticas que calquera cidadán tivo que estudar, que inclúe principalmente a Aritmética, a énfase recae sobre actividades mecánicas máis que en problemas. E nese ámbito é complicado que haxa creatividade. Hai unha solución boa, e infinitas solucións malas. Que lle imos facer... Aínda por riba existe a patoloxía da discalculia, fatal no momento no que se traballa basicamente a Aritmética, mais tamén existe a dislexia no ámbito lingüístico.

Volvendo á busca de solucións únicas por camiños de baldosas amarelas, esa circunstancia tamén se dá nos exercicios de gramática de calquera lingua, ou nas actividades de Xeografía, nos exercicios de circuítos eléctricos... Así que a univocidade das respostas correctas non define ás Matemáticas. Probemos coa outra característica.

Pois ben, que sucede coa dificultade da materia? Tampouco parece ser razón suficiente, pois sempre houbo outras materias tan (ou máis) complicadas como as Matemáticas. Hoxe temos a Física, que en cursos altos da secundaria é probablemente máis complicada que as Matemáticas. Noutros tempos o Latín ocupou un lugar preponderante en dificultade. Incluso levamos certo tempo vendo como o número de suspensos na ESO vai migrando cara ás materias lingüísticas (quen sabe a razón?).

Onde nos deixa isto? Outra vez na saída. Ningún dos dous factores é exclusivo das Matemáticas. Pero nalgures ten que estar a orixe. Algúns autores teñen argumentado que os profesores que teñen escasa formación matemática poden proxectar nos seus alumnos a ansiedade que lles producen a eles mesmos as Matemáticas. Quizais iso funcione como explicación noutros países; aquí en España os profesores están máis ben sobrecualificados (como mostra: nos 9 anos que levo dando clase non atopei ningún concepto dos que tiven que traballar que non coñecese e dominase cando tiña 17 anos- e esa foi a idade coa que empecei a carreira). Non me queda outra opción que a de botar papas fronte a este medo ás Matemáticas. Quizais , como afirma Sawyer, provén doutras épocas nas que estes factores si eran determinantes, e a análise da situación actual non leve a ningures. Quen sabe.

E así chegamos ao final doutro post máis no que, despois de debullar certos aspectos do ensino das Matemáticas, quedamos como estabamos, pero coa sensación de sermos un pouco máis ignorantes. Xenial. Bo momento para tentar crear un par de actividades sobre ecuacións...

Quickies probabilísticos

Da estupenda web de Ed Pegg

Dentro dos confíns da probabilidade atopamos multitude de problemas aparentemente rutinarios que son susceptibles de seren resoltos dun xeito intelixente, rápido e elegante. É habitual na literatura da resolución de problemas matemáticos chamarlles "quickies", pertenzan ou non ao campo da probabilidade. A primeira ocasión na que atopei este termo, quickies, tivo lugar lendo a sección do Mathematics Magazine dedicada a eles. Despois vin multitude de exemplos propostos polo grande problemista Murray Klamkin, quen tiña debilidade por eles, e finalmente tiven a sorte de dar co magnífico libro Mathematical Quickies: 270 Stimulating Problems with Solutions, de Charles W. Trigg.

Se mirades a etiqueta "Rápidos", que utilizo desde hai tempo por acó, quizais pensedes que o seu significado é semellante ao de quickies,  mais non é; en realidade os problemas rápidos que teño proposto son simplemente problemas cun enunciado moi breve, agás quizais o que aparece en "Un problema sinxelo... ou non", que si presenta unha solución especialmente curiosa (e que lera no libro de Trigg mencionado máis arriba).

Hoxe quero compartir un par de "quickies" tradicionais e ben coñecidos nas Matemáticas recreativas, que volvín atopar nun libro do prolífico Ian Stewart, Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities, e tamén un algo máis difícil do libro de Trigg. Se non os coñecedes, pasaredes un bo rato con eles, máis aínda se os dades resolto do xeito breve. Aquí tedes as miñas versións:

• Un administrativo imprime 10 cartas e escribe os enderezos dos destinatarios en 10 sobres. Como estaba a ler Matemáticas na Rúa no PC do choio, simplemente mete ao chou as 10 cartas nos 10 sobres. Cal é a probabilidade de que exactamente 9 cartas estean nos sobres correctos?

• Estás a xogar ao tute por parellas. Despois de repartir toda a baralla (40 cartas distribuídas en 4 paus), que é máis probable, que entre ti e o teu compañeiro teñades tódalas espadas ou que non teñades ningunha?

• Temos un dado cos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5 pintados nas súas caras. Tirámolo sucesivamente ata que a suma dos resultados obtidos exceda por primeira vez ao número 12. Cal é a suma total máis probable que se pode obter deste xeito?

Unha xoia, a probabilidade. Unha mágoa que a explique tan mal nas clases...

Todo é interesante

Un paradoxo humorístico dos máis coñecidos é o dos números interesantes. Resumindo vén dicir que tódolos números naturais son interesantes. Cal é a explicación? Se houbese números que non fosen interesantes habería un que fose o menor dos números non interesantes (os números naturais sonche así de ben ordenados-probade senón cos reais). E no caso de atopar un menor número non interesante, desde logo que este número sería interesante, chegando a unha contradición coa hipótese. Por tanto tódolos números naturais sonvos interesantes.

Pois tiña que suceder: despois de escribir hai uns días  O (maldito) cubo de Rubik esbardallando sobre temas  clásicos que o gran público relaciona coas Matemáticas e cos matemáticos, atopo algo que me fai interesar máis polos sudokus. En concreto, neste Killer Sudoku hai algo que chamou a miña atención:

Ese punto que pintei no medio...

Se a alguén lle interesa, o Sudoku Killer é unha especie de mestura entre o sudoku normal e o kakuro, no que os números pasan a ter importancia per se, pola contra no sudoku tanto pode haber números como 9 letras, 9 debuxos ou 9 cores. A razón principal de usaren números é porque deben de ser os 9 símbolos máis sinxelos de recoñecer. As regras especiais, ademais das propias do sudoku, veñen na propia foto: hai que ter en conta que nas rexións punteadas os números teñen que sumar a cantidade anotada na esquina superior esquerda e ademais os números non se poden repetir tampouco no seu interior. Deste xeito non é necesario que haxa números pre-colocados na grella para resolver o Killer, aínda que a dificultade pode incrementarse varios niveis. No Killer da foto vemos rapidamente que a caixa marcada cun 3 do cadrado 3x3 da esquina superior esquerda ten que conter un 1 e un 2, porén non sabemos en que posición. 

Pero aínda non dixen que foi o que me interesou desta grella en concreto.

Pista: non ten que ver cos números.

Esa caixa con forma de F da esquina inferior esquerda saltou un momento do plano para que a vise mellor. Despois volveu ao plano para facer un xiro de 180º arredor do centro da grella e colocarse na esquina superior dereita, "boca abaixo".

Claro, non?

E un punto fixo no centro.

Este movemento que acabo de describir como unha rotación de 180 graos tamén se pode denominar simetría central,  o centro segue a ser o que pintei no papel.

Esta era a primeira vez que me decataba desta simetría no Killer. Sería casualidade? Investigando un pouco Buscando en google "killer sudoku rotational symmetry" obtiven como resposta 1040000 resultados. Navegando polas primeiras páxinas de resultados atopei que a simetría é unha característica estética desexable que os deseñadores de puzzles buscan deliberadamente, pero que non é imprescindible. Incluso nos sudokus normais podemos observar simetrías deste tipo, na wikipedia explican a razón:

"In 1986, Nikoli introduced two innovations: the number of givens was restricted to no more than 32, and puzzles became "symmetrical" (meaning the givens were distributed in rotationally symmetric cells"

Nota mental: nunca digas en voz alta que algo non é interesante, pode que acabes facendo un post para comentalo...

Un novo teorema da sucesión de Fibonacci

Hai un par de séculos, cando estudaba sobrevivía os primeiros cursos da carreira de Matemáticas, pasei unha época na que lin unha morea de libros de Matemáticas Recreativas das bibliotecas. Daquela rematei a sección da Biblioteca Pública de Ferrol, que estaba chea dos libros de Martin Gardner (lembro tamén unha edición española da Matemática Demente de Lewis Carroll, traducida por Leopoldo M. Panero), e mergulleime na extensa e (na miña opinón) pouco coñecida colección de libros "lúdicos" da Biblioteca da Facultade de Matemáticas da USC.

Un dos temas recorrentes das Matemáticas Recreativas é, como xa comentei algunha vez, o da Sucesión de Fibonacci, que ten unha auréola de misticismo moi axeitada para as ensoñacións dos magufos.

Lendo un destes libros lúdicos atopei a devandita sucesión, que xa coñecía desde os tempos do instituto. E como non podía ser doutro xeito, púxenme a fedellar cos elementos. Para os que non coñezades aínda a sucesión, os dous primeiros elementos son iguais a 1, e os posteriores cumpren a condición (de recorrencia) de coincidiren coa suma dos dous anteriores. É dicir

$$F_1=1$$

$$F_2=1$$

$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$

De tal xeito que:

$$F_3=F_2+F_1=1+1=2$$

$$F_4=F_3+F_2=2+1=3$$

$$F_5=F_4+F_3=3+2=5$$

$$F_6=F_5+F_4=5+3=8$$

...

Chegando á famosa sucesión que comeza:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

Inxenuo como era eu, non puiden evitar pensar que atopara un novo teorema na sucesión de Fibonacci cando observei o seguinte:

Se calculas os cadrados de cada dous termos consecutivos e despois os sumas:

$$F_1^2+F_2^2=1^2+1^2=1+1=2$$

$$F_2^2+F_3^2=1^2+2^2=1+4=5$$

$$F_3^2+F_4^2=2^2+3^2=4+9=13$$

$$F_4^2+F_5^2=3^2+5^2=9+25=34$$

$$F_5^2+F_6^2=5^2+8^2=25+64=89$$

Está claro xa?

A ver... non soa a nada a columna da dereita?

En efecto, está tamén na sucesión de Fibonacci, só que un pouco máis á dereita.

En concreto:

$$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$$

Pouco dura a felicidade na casa do pobre... O feito era certo, a demostración non me levou moito, mais novo, o que se di novo, o teorema non era. Unhas páxinas máis adiante atopei a seguinte fórmula:

$$F_{n+k}=F_k \cdot F_{n+1}+F_{k-1} \cdot F_n$$

Da que inmediatamente obtemos o meu "novo" teorema collendo k = n+1

Visto en retrospectiva, que indicios podía ter eu para poder ter adiviñado que ese teorema non ía ser novo en absoluto?

• Primeiro, moi evidente: eu, que non me chamo Gauss nin Euler, puiden observar o feito en cuestión despois de fedellar uns minutos cos números.
• Segundo, relacionado co contido: non esperes atopar un feito descoñecido calculando cadrados nunha sucesión.
• Terceiro, un pouco de picardía: a sucesión de Fibonacci é dos obxectos matemáticos máis coñecidos, incluso para os non matemáticos. Un feito aritmético dese calibre puido ser observado por calquera; o que implica case con seguridade que en efecto foi observado.

Aínda así, a sensación de ter atopado unha regularidade matemática por un mesmo, sen necesidade de que o profesor ou un libro te dirixan, é unha das razóns que fan singulares ás Matemáticas. Xunto coa de resolver un problema despois de moito pelexar, converten á experiencia matemática en irrepetible.

O (maldito) cubo de Rubik

Un dos temas que, a ollos do gran público, estás obrigado a dominar se estudaches Matemáticas é o do cubo de Rubik. Non é o único: outros temas obrigados son a papiroflexia, o xadrez e, máis recentemente, o sudoku. Confeso aquí que ningún destes xogos me interesou seriamente nunca. Para ser totalmente honesto e preciso, ningún me interesou como xogo (quizais imperceptiblemente máis o sudoku), o que non implica necesariamente que non me interesasen desde un punto de vista matemático, aínda que tampouco ao mesmo nivel que áreas "serias" como a Teoría de Números ou a Xeometría Alxébrica.

Polo miúdo: non teño ningún tipo de interese en dobrar papel para facer figuras máis ou menos fermosas, aínda que podo aturar un vídeo de alguén facéndoo (seguramente mellor en time lapse), e desde logo interésanme solución enxeñosas para duplicar o cubo como esta; non me gusta xogar ao xadrez, e só atendo a feitos combinatorios do xogo como os que apuntan na web de Wolfram; respecto ao sudoku, (que, repito, é o único que me interesa un pouco como xogo, pero moito menos que o multiplicativo Kenken ou o aditivo Kakuro) leo o que vou atopando sobre a resolubilidade de sudokus e exemplos dos máis complicados.

E respecto ao cubo de Rubik, que foi un xoguete moi vendido na miña infancia (anos de Hula Hoop, Telesketch, Trivial Pursuit, Exin Basket e máis tarde de NES e GameBoy, snif...), pois algo semellante: nunca me interesou seriamente, ata que vin a perspectiva matemática nunha asignatura da carreira, Teoría de Grupos (que acabo de descubrir que deixou de existir no plano de estudos do grao de Matemáticas). En realidade naquela materia estudamos unha relación coa teoría de grupos do cubo de xeito máis ben superficial, o exemplo que se traballaba máis fondamente era o do 15 puzzle de Sam Loyd. Para quen estea interesado, Cut the Knot ten un artigo moi claro e sucinto sobre a paridade e o puzzle: Group Theory for Sam Loyd's Fifteen Puzzle.

Pero aínda para mangantes coma min hai un xeito de quedar ben, polo menos en canto ao choio de resolvermos un Cubo de Rubik (para o xadrez e o origami aínda non hai atallo). Temos que darlle as grazas a Matt Parker, quen gravou este vídeo no que amosa como simular que sabemos resolvelo:

No vídeo observamos varias ideas matemáticas relativamente sinxelas, mais ben potentes, en concreto:

• Se repites o número suficiente de veces un mesmo movemento no cubo, acabarás chegando á posición de partida.
• Alternando dous movementos no cubo, o número de veces que terás que executar a secuencia alternada de movementos para volver ao inicio non está relacionado directamente co número de veces que terías que facer cada movemento por separado para volver ao inicio. Se atendestes ao vídeo saberedes por que aparece o mínimo común múltiplo.

Por se fose pouco, nas ligazóns do vídeo anterior en youtube atopamos outro vídeo que nos dá unhas ideas sobre a relación coa teoría de grupos: FameLab Entry-Rubik's Cube.

Agora xa non hai escusa para quedar ben cun cubo de Rubik casualmente localizado pola casa...

Estou tan sumido na verza que non me decatara de que este blogue xa leva 4 ANOS NA REDE! Bo momento para berrar, non si?