Aritgrama para rematar o ano

 

Sen máis demora, velaquí:

   

Só quero lembrarvos que o sistema decimal está sobrevalorado...

Seguimos o ano que vén.

Un lugar xeométrico estrañamente complicado

Xogando co geogebra deume por comezar cunha premisa xa manida: a partir da parábola canónica $y=x^2$, coller un punto móbil e fedellar con graos de liberdade(áreas fixas, perímetros fixos, puntos medios, etc.). E atopei un lugar xeométrico que pode que sexa ben coñecido, mais eu nunca vira. Observade.

Partimos da parábola de sempre, co seu vértice $(0,0)$. Collemos un punto móbil P na parábola, e consideramos o segmento que une ese punto co vértice. Nese segmento trazamos a mediatriz, que corta en dous puntos, A e B, á parábola, e fixámonos no punto medio do segmento que une A e B, M.

Que demo de lugar percorre M? Desde logo podemos prever que o seu lugar vai ser simétrico respecto do eixe Y, e tamén o seu comportamento no infinito e nunha veciñanza do 0, pero non contaba coa complicación da súa expresión.

Aínda que teñades máis vista ca min e xa vaticinárades o aspecto do lugar xeométrico, coido que é un bo exercicio de coordenadas, máis se estades un chisco oxidados coma min.

Conta en Geogebra

Decateime aínda agora de que ao longo dos anos teño compartido uns cantos applets de geogebra, mais non estou certo de que compartise a miña conta en geogebra.org. Velaquí:

Jota

Agora o disclaimer.

Non contedes con atopar virtuosismos: non os posúo. Son pragmático en xeral no uso de calquera aplicación, e tamén co geogebra, por moita versatilidade que presente. Hai máis de 15 anos xa usaba Cabri II nas clases, pouco despois comecei de xeito autodidacta (como todos ao principio) co geogebra, asistín a un curso impartido polo grupo Xeodin no 2008, e dous anos despois eu mesmo impartín un curso eu en Valdeorras, co infausto nome de "Xeoxebra na aula", do que hai que responsabilizar á entidade homologadora... Estamos no 2020, e a Consellería é máis neglixente que nunca na formación dos seus docentes, nesta vaga de cursos nin un de geogebra hai.

En Cedeira tamén utilicei geogebra cos alumnos, aínda que cos precarios netbooks Abalar(un saúdo a Plexus, a Coremain e , por suposto, ao Corte Inglés!). Ademais de na clase ordinaria de Matemáticas, puiden dar unha materia de libre configuración de centro na que un dos bloques de contidos trataba exclusivamente o geogebra, como ferramenta científica e de xeito esporádico, tamén artística.

Cos anos a imposibilidade de usalo na aula cos meus alumnos levoume a facer menos cousas. Supoño que o menor ritmo de escritura de entradas tamén influíu, ao compartir menos "divertimentos xeométricos", por exemplo. Vexo aos virtuosos do asunto en twitter facendo cousas fermosas todos os días(outra cousa é se útiles, niso son moi crítico, non o podo evitar), e ademais de faltarme o seu interese e coñecemento, tamén é certo que utilizo o meu "tempo libre matemático" fundamentalmente en atopar e resolver problemas, e en segundo lugar, en ler propostas didácticas. Só en terceiro lugar vén aprender máis matemáticas, e fedellar en software aínda viría despois.

Cando a web de materiais de geogebra era GeogebraTube tiña materiais que creo que desapareceron, moitas das cousas que fago na aula só teñen existencia offline, pero igual algo útil para a aula aínda haberá, como versión mellorada do que levamos escribindo décadas no encerado con xiz. Como mostra de applet feo pero útil, o inevitable sobre a derivada como límite de secantes:

Como sempre, calquera cousa que vexades que pode ter utilidade, collédea, modificádea e mellorádea, que non ha ser difícil. Eu non son máis que outro diletante.

Un problema de Portugal

Remexendo na revista Educaçao e Matemática da Associaçao de Professores de Matemática de Portugal, atopei esta pequena xoia elemental:

Temos un quadrado ABCD. Pelos vértices A, B e C traçamos três retas paralelas a, b e c. A distância entre as retas a e b é de 5 centímetros e entre as rectas b e c é de 11 centímetros.

Qual é a área do quadrado?

É relativamente sinxelo de resolver, ata o punto de que pode que o poña en 4º de ESO como exercicio, pero hai algo nel que chama a atención:

Unha vez resolto o problema orixinal, é evidente a relación que cumpren as distancias entre as rectas, simplemente son catetos dun triángulo rectángulo onde a hipotenusa é o lado do cadrado. Pero... por que? Pódese amosar sen recorrer a introducir esas distancias como catetos onde os vértices son os puntos A e C do cadrado? Hai un xeito puramente sintético de velo?

Por outra banda: que ten que suceder co lado do cadrado para que haxa máis dunha parella de rectas nas que as distancias sexan números naturais?

Catro problemas

 

Xa vai un tempo desde a última entrada na que compartín uns problemas, polo que veño a resolver esta eiva.

O primeiro, da 2º rolda da edición de 2020 do sempre fabuloso concurso Georg Mohr:

• Recortamos un cuadrilátero dun papel de agasallo decorado con faixas grises e brancas do mesmo ancho.

Que ninguén se pregunte por que facemos isto...

Se as faixas grises no cuadrilátero teñen en total unha área de 10 cm², determina a área do cuadrilátero.

(Se ben é sinxelo de adiviñar o valor da área, non é tan inmediato argallar un xeito de demostralo)

Cambiando totalmente de asunto, velaquí un problema de números da edición de 2019 da Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa:

• Prove que para todo n inteiro não nulo, existem infinitas triplas de inteiros não nulos a, b e c que satisfazem as condiçoes:

1. a+b+c=n
2. ax²+bx+c=0 tem raízes racionais

Veña, agora un de contar, que apareceu no Alma Math Challenge do 2018:

• Sendo n un número natural, consideremos o tetraedro regular con vértices O(0,0,0), A(4n,n,n), B(n,4n,n) e C(n,n,4n). Amosar que o número N de puntos (x,y,z) con coordenadas enteiras dentro ou no bordo do tetraedro OABC vén dado pola expresión

$$N=\frac{1}{2} (6n+1)(3n^2+n+2)$$

E para rematar por hoxe, un sinxelo problema xeométrico que apareceu na Olimpíada Finlandesa de 2005, no que a figura é abondo para adiviñar a pregunta:

• Na figura temos 4 cadrados e os seus puntos medios. Demostrar que os dous segmentos son perpendiculares.

Isto pode mellorarse

Non puiden subtraerme á necesidade de facer isto animado:

Así mellor

Dándolle unha volta a exercicios estándar

Collido do tristemente descontinuo matthen

Hai certas actividades tan habituais nas aulas/libros de texto de Matemáticas que estou convencido de que se pode hackear o sistema de avaliación empregado, chegando a obter cualificacións case excelentes sen entender nin unha das ideas matemáticas subxacentes. Hoxe vou modificar levemente algúns deses exercicios recorrentes para que sexa máis difícil obter a resposta correcta sen algo de reflexión.

Comecemos co consabido exercicio de "mínimo común múltiplo" que se fai en 1º de ESO, que pode ser resolto en canto os alumnos se decaten de que, se algo é repetido no tempo, a probabilidade de que haxa que facer o m.c.m. é case 1. O exercicio tipo pode ser algo así:

As eleccións presidenciais en Francia teñen lugar cada 7 anos, mentres que as lexislativas se celebran cada 4 anos. Se este ano coincidiron as dúas eleccións, cando volverán a coincidir?

A modificación que fixera nun exame da Rúa foi:

As últimas eleccións presidenciais en Francia tiveron lugar en 2006, mentres que as lexislativas se celebraron en 2004. Sabendo que as presidenciais se celebran cada 7 anos e as lexislativas cada 5 anos, cando coincidirán?

A modificación tampouco garante que alguén que resolva o problema entenda con certeza o fundamento do mecanismo, simplemente evita(ou demora) o automatismo.

Se somos especialmente maquiavélicos, poderíamos empeorar o problema, e poñer que as presidenciais se celebraron en 2006, as lexislativas en 2005, e que as presidenciais se celebran cada 4 anos e as lexislativas cada 6, por exemplo. Mágoa non dar este ano 1º de ESO, pois nunca fixen esa variación.

O seguinte exemplo supoño que moitos de vós argallastes algunha vez, e dá unha pequena volta ao típico exercicio sobre as raíces dunha ecuación de 2º grao. Este púxeno nun simulacro de exame de Álxebra de 3º de ESO, tamén na Rúa:

Vaia, volvín quedar durmido en clase de Matemáticas. Da ecuación que había no encerado só collín isto: 

$$x^2-12x+\square=0$$

Pero tamén puiden ver que unha das solucións é 9. Podes completar con estes datos a ecuación e dicir cal é a outra solución?

Obviamente, este exercicio supón un reto maior para grupos que non visen as relacións de Cardano-Vieta, pero aínda coñecéndoas non é tan rutineiro como o exercicio estándar no que, ou ben preguntamos pola suma e produto das raíces, ou ben hai que encontrar as raíces sen usar a fórmula xeral, etc. 

O que vén agora utiliceino como bonus (i.e., como cuestión final e voluntarias dun exame, que non conta dentro da cualificación do exame, senón para subir nota na avaliación) nun exame de 1º de ESO xa en Canido. Na miña opinión é un bo exercicio técnico para facer pensar dun xeito non estándar sobre as operacións con enteiros, xulgade vós mesmos:

Tres números enteiros distintos cumpren que se os sumamos obtemos 1, e se os multiplicamos, obtemos 36. Atópaos.

Agora un exercicio sobre decimais que incluíra nun exame de decimais en Cedeira, e que require certa reflexión: 

Observa a posición dos números P e Q e localiza aproximadamente os números P+Q , P·Q, Q-P e P:Q

Copiei a imaxe do pdf e chanteina aquí
 desde o portapapeis, first time ever

A verdade é que este exercicio tan sinxelo admite modificacións para cambiar o nivel, por exemplo podemos introducir a raíz cadrada ou as potencias. Téñoo usado máis cando introducimos a notación científica ou para pensar un chisco despois, como amosei nesta entrada. E serve para razoar sobre o tamaño dos números e as operacións aritméticas. Ademais, unha estratexia para cursos baixos pode ser escoller exemplos concretos para P e Q. Para cursos superiores, poderíamos preguntar sobre condicións precisas que cumpran as operacións con P e Q, e que algunhas dependan da localización exacta de P e Q, p.e.x  0<P·Q<0,5? 

E para rematar, outro que tiveron que facer os meus alumnos de 1º de ESO de Cedeira nunha proba rápida de fraccións, e que practica operacións pero hai que pensar cales:

O ano pasado en Cedeira houbo $\frac{2}{3}$ de días ventosos e $\frac{2}{5}$ de días chuviosos.

É posible que ningún día ventoso fose chuvioso?

É posible que algún día non fixese vento nin chovese?

Tamén podemos cambiar as cuestións escollidas e preguntar directamente por cantos días ventosos como mínimo tivo que chover, ou preguntar pola posibilidade de situacións concretas (p.ex., se puido chover e facer vento só 10 días) ou se podemos asegurar que unhas situacións se van dar/cales son dubidosas, etc.

E vós, como facedes para escapar do previsible?

Unha curiosidade nas fraccións

 

Un dos contidos máis inaccesibles do curriculum de secundaria é o do número real. O positivo é que isto un só o detecta cando aprende máis adiante na súa formación, probablemente en 1º de carreira, que as cousas non son tan sinxelas como lle contaron no instituto. Un alumno con espírito crítico aceptará as propiedades dos números racionais, despois de todo a súa construción é máis ou menos transparente a partir dos números naturais, onde un observa as engrenaxes e por tanto, asimílaas aínda sen ter probas formais de que sexan certas. Pero os irracionais, ai os irracionais, é unha historia totalmente distinta. Xa teño comentado por aquí, seguindo a Hung-Hsi Wu, que facemos trampas ao introducirmos os reais, a súa estrutura e as súas propiedades, aínda as puramente aritméticas, non falemos xa das topolóxicas.

Cando traballamos a forma decimal de números racionais e irracionais, en 3º ou 4º, e falamos de como recoñecer un número irracional vendo o seu aspecto, adoito poñer uns exemplos racionais ben coñecidos:

• $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}=0,142857142857 \dots$, que no display da calculadora será 0,1428571429, que se pode deducir que é consecuencia da aproximación.
• $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}=0,076923076923 \dots$, na calculadora, 0,07692307692, máis evidente.
• $\frac{1}{23}=0,\overline{0434782608695652173913}$, na calculadora o escuro 0,0437826087

Chegados a este punto, pregúntolles como saberían, só mirando a pantalla da calculadora, que tipo de números son eses 3 exemplos. E no último caso todos concordan en que estarían vendidos. Só poñendo a división en Wolfram Alpha poden ver claramente o período. Polo que se fai patente que necesitamos saber de que operación xorden os decimais para estarmos certos de que son decimais periódicos, e nestes casos ademais periódicos puros, pois xa vimos en cursos anteriores a relación entre os factores do denominador e a súa expresión decimal(sempre que a fracción sexa irredutible).

Pero o bo vén despois, cando me permito divagar un chisco.

Que sucede co caso $\frac{1}{81}=0,012345679012345679 \dots =0,\overline{012345679}$?

Na calculadora non chegan a velo, de novo utilizamos Wolfram Alpha para ver o período, e axiña agroma o abraio: ONDE VAI O 8?

En realidade adoito comezar non por este exemplo, senón por este posterior:

$\frac{1}{9801}=0,000102030405... =0,\overline{00010203 \dots 969799}$

Que hai que recoñecer que ten máis punch para abraiar aos cativos.

E aínda máis, amigos:

$\frac{1}{998001}=0,000001002003004005... =0,\overline{000001002003 \dots 996997999}$

O primeiro que ve un, xusto despois da ausencia do 8, do 98, do 998..., é que os denominadores das fraccións son 9², 99², 999²... É dicir, detectamos un posible patrón coas fraccións que teñen o aspecto $\frac{1}{9 \dots 9^2}=\frac{1}{(10^n-1)^2}$

E a que se debe este patrón? Como é habitual cando traballamos cun patrón aritmético, é mellor esquecermos o aspecto concreto de cada número e quedarmos co esencial. Neste caso, imos ver que 

estrutura teñen os períodos. Observemos polo miúdo que sucede en $\frac{1}{81}=0,\overline{012345679}$

Xoguemos por un momento cunha expresión semellante:

$$\frac{0}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{10} \right)^{n+1}$$

que, chamando $x=\frac{1}{10}$, se expresa como $\sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}$ 

Mais... esa expresión semellante serve para atopar o noso número periódico?

En efecto, e a resposta está no de "levar unha"; observade que ocorre cando sumamos os primeiros sumandos:

0,0

0,01

0,002

0,0003

0,00004

0,000005

0,0000006

0,00000007

0,000000008

0,0000000009

0,00000000010

...

Veredes como, no proceso de sumar os dous últimos sumandos indicados, "levamos unha" que se suma ao 8 para crear un 9. De aí desaparece o 8 no período. Se dubidades que isto vai suceder cada ciclo, avanzade un chisco e analizade como volve ocorrer cando sumemos ...18, ...19 e ...20,  e sucesivamente cada vez que apareza un 8, explicando así por que no período é omitido.

Agora que xa transformamos o noso misterioso decimal nunha suma xeitosa, como podemos ver que coincide con $\frac{1}{9^2}$?

O xeito estándar é análogo á suma da serie xeométrica, $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$, pero podemos velo dun xeito menos elemental mais tamén elegante, e utilizando polo camiño a suma desa xeométrica:

 

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}=x^2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n-1}=x^2 \cdot f(x)$$

onde chamei f(x) á función definida pola serie para poder manipulala:

$$\int f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \int ({n\cdot x^{n-1})}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n}x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$$

Polo que

$$f(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1(1-x)-x(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}$$

Polo que a nosa suma valerá

$$x^2 \cdot f(x)=\frac{x^2}{(1-x)^2}$$ 

Finalmente, substituíndo x por $\frac{1}{10}$, obtemos que o número periódico aquel coincide con $$\frac{\left( \frac{1}{10}\right)^2}{\left( 1-\frac{1}{10}\right)^2}=\frac{\frac{1}{10^2}}{\frac{9^2}{10^2}}=\frac{1}{9^2}$$ q.e.d.

O argumento, no que omitín os detalles técnicos sobre a posibilidade de integrar cada sumando da serie, é exactamente igual se traballamos con $\frac{1}{99^2}, \frac{1}{999^2} \dots$

Para ir rematando... Cantas veces ocorre que presta máis a anécdota que contas en clase que as ideas máis académicas, que veñen no DOG e nas programacións? Este é un dos casos nos que recoñezo que me pasa.

Actualización o 7/10: James Grime sae nun vídeo de Numberphile explicando este feito mellor ca min

Unha actividade (de Matemáticas) para titoría

A unha semana do comezo das clases máis estraño que temos visto, vou compartir unha actividade que fixen no curso 2018/19 coa miña titoría de 3º de ESO. Veredes que, en realidade, a actividade é transportable a calquera curso da ESO ou mesmo 1º de BAC, depende do titor, se quere enfatizar a análise matemática das gráficas ou o diálogo titor-clase.

Para empezar, coñecía a gráfica de xkcd de arriba, na que podemos ver a idea das coordenadas cartesianas de xeito informal. Os eixes non están numerados, non está localizada a unidade, a colocación relativa das froitas só dá unha idea difusa do sinxelo que é comela e do saborosa. Deste xeito, podemos ver que Randall cre que as uvas con sementes son máis difíciles de comer que as uvas sen sementes(aínda que seguen a ser máis sinxelas que difíciles) mais son un chisquiño máis saborosas. Para isto non é necesario indicar a unidade en cada eixe, de feito, habería que dar un significado ao 1 na magnitude "dificultade para comer a froita" E que significado tería -3? E aínda sen unidades, podemos facer preguntas (e esperar respostas coherentes) como "Que teñen en común as mazás verdes e as vermellas? En que se distinguen?"

Pois con esta gráfica na memoria, decidín probar o seguinte: amosei no EDI a imaxe, discutimos un anaco sobre as nosas opinións acerca do sabor e a dificultade(non hai nada como os gustos persoais para que a conversa sexa acalorada), e despois propuxen que cada alumno elaborase nunha cuartilla cadansúa gráfica, cos mesmos eixes que na de xkcd, sinxelo-difícil e non me gusta-gústame e coas materias de 3º de ESO en troques das froitas. Velaquí algunhas das producións:

As conclusións saltan á vista en cada gráfica, non si? O titor pode coller a gráfica dun alumno e ver moitas cousas. E tamén, de xeito colectivo, pode revisar todas as gráficas da clase e ver cousas raras. Que sucede se todos os alumnos colocan certa materia abaixo e á dereita de todo? Sucederá que moitos poñen arriba á esquerda algunha materia? Mediatiza a actividade que o titor dea Matemáticas? En xeral, cales son os cuadrantes máis poboados? (Se alguén fóra da docencia le este blog, si, efectivamente, nunha titoría os alumnos falan/quéixanse dos profesores que teñen ao seu titor, depende deste deixar que se desafoguen ou non)

Imaxino que vistes os números que hai bailando polas gráficas, moitos xa saberedes que indican as horas semanais de cada materia. Que pintan aí? Xurdiu sen pensalo previamente, cando vin algunha das gráficas e notei que quizais o número de horas semanais explicase a colocación das materias por varios alumnos. Algún alumno mercou a explicación, outros non, of course. Tamén poderíamos colocar as horas semanais nun terceiro eixe, pero feito a man pensei que non se vería ben.

Por outra banda, cabería a posibilidade de indicar a nota previa de cada alumno nas materias, pois adiviño que non reflectiría perfectamente a dificultade indicada no eixo OX: hai alumnos cuxo autoconcepto non se ve plasmado nas cualificacións, e outros amosarían que non traballan abondo en materias que a priori ven sinxelas.

Seguro que tedes máis imaxinación ca min e asáltanvos mellores ideas para poñer nuns eixes como os de xkcd que simplemente as materias de 3º de ESO. Xa tedes outra actividade para facer ese día en titoría.

Dúas cuestións de probabilidade

É probable que os doutos lectores deste blog xa coñezan unhas famosas e polémicas cuestións de probabilidade que tratan do sexo dos fillos dunha familia, e que tendo unha apariencia moi semellante, o procedemento para atopar a resposta e a propia solución son ben diferentes. Pois precisamente por seren tan coñecidos, non vou compartir eses problemas; se queda alguén que non os coñeza, déixovos ligazón a unha análise didáctica de expertos da Universidad de Granada:

La paradoja del niño o niña: aplicaciones para la clase de probabilidad

En troques, pelexade coas seguintes cuestións, tamén clásicas mais, coido, non tan coñecidas:

Imaxinade que temos unha baralla composta polo as de espadas, os as de copas, o dous de espadas e o dous de copas.

1ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla. Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu polo menos un as?

2ª cuestión: extraemos dúas cartas desa baralla, one more time.  Cal é a probabilidade de que nesa man saian os dous ases, se sabemos que saíu o as de espadas?

E cando os resolvades, tedes outro choio: que diferencia esta parella de cuestións da parella de cuestións mencionada ao comezo?

Uns problemas para rematar xullo

Acabo de rematar o clásico contemporáneo da divulgación científica Una breve historia de casi todo, de Bill Bryson, libro que non podo deixar de recomendar. Desde a cosmoloxía ata á xenética, pasando polos movementos oceánicos ou a botánica, consegue que todos os temas que van aparecendo resulten interesantes (se estudastes, coma min, as morenas glaciares en 3º de BUP, saberedes que isto non é o habitual). Con ese libro pasoume unha cousa curiosa: tivérao nunha edición horrible pouco despois da súa publicación(2003), e non lograra rematar nin a introdución. E agora xa é un dos meus libros favoritos de divulgación científica, tendo en conta que non son un lector constante de temas científicos non matemáticos. Aínda que sigo pensando que a introdución é un pouco frouxa para o que vén despois.

E ao rematalo comecei Weapons of Math Destruction, de Cathy O'Neil, no que teño posto expectativas altas dada a alta calidade do que escribe no seu blog, mathbabe. Teño algún outro na cola, esperando, entre eles ¡Que las matemáticas te acompañen!(reseña no blog de Francis), da sempre brillante Clara Grima, e, por sorte, uns cantos libros puramente literarios, por exemplo Wise Blood, de Flannery O'Connor, a quen xa tiña ganas de ler e agardo ter tempo abondo, que ler en inglés textos literarios me leva máis que en galego ou castelán.

Mais do que xa tiña ganas era de vir polo blog e compartir uns cantos problemas para que os meus amables lectores poidan escribir na area da praia. 

Velaquí.

O primeiro, tirado da olimpíada portuguesa deste xaneiro, presenta unha estrutura combinatoris que soa coñecida, e que é susceptible de modificación para cursos baixos:

Um professor deu a alguns dos seus alunos um teste com seis questões cujas respostas eram Verdadeiro ou Falso. Quando os alunos entregaram os testes, ele reparou que cada par de alunos tinha, pelo menos, três respostas diferentes (e todos responderam às seis questões). Quantos alunos podem, no máximo, ter feito o teste?

Os dous seguintes vinos no libro de David Wells, The Penguin Book of Curious and Interesting Puzzles:

(Este pensádeo "en abstracto") Se lle dás a volta a unha luva da man esquerda, convértese nunha luva de man esquerda ou dereita?

Temos dous espellos que forman un ángulo fixo no vértice O. Un raio de luz paralelo ao espello inferior rebota no espello superior, é reflectido certo número de veces ata dar no espello inferior en ángulo recto no punto X, de tal xeito que sae polo camiño polo que entrara. Cal é a distancia entre o raio orixinal e o espello inferior?

Figura tirada do libro, o raio aquí só é reflectido 3 veces antes de chegar a X.
Cal sería o número mínimo de rebotes?

E finalmente, un problema dos "de voltas", dos que xa compartín exemplos neste blog desde o comezo, collido prestado do Wylie Math Tournament da Furman University:

Tres rapazas corren nunha pista circular con velocidade constante. Hannah é a máis rápida e pasa a Erin cada 10 minutos. Pero Erin non é a máis lenta, pois pasa a Jeannie cada 15 minutos. Cada canto tempo pasa Hannah a Jeannie?


Coido que xa tedes abondo para ir á praia.

A selectividade do 79

O outro día, nunha conversa no grupo de whatsapp do departamento do meu anterior instituto (en efecto, isto existe, e de feito para min é algo moi positivo), a miña xefa de departamento aló compartiu imaxes dun vello libro de exames de selectividade baixo a Ley Villar-Palasí. E saíron á palestra exemplos ben interesantes, como este do 78/79:

A xeometría non euclidiana da foto non é como a das que
mandaban os alumnos no confinamento, que isto é un libro

Varias cousas chaman a atención:

1. O exame é breve. Moi breve comparado co actual. Non sei canto tempo lles darían aos mozos para facelo.
2. Non hai Probabilidade nin Estatística. Nin os malditos sistemas de ecuacións dependendo dun parámetro. Nin ecuacións matriciais.
3. A teoría da opción A non podería caer hoxe en día, pois as preguntas que poden caer están restrinxidas a catro teoremas. Entre eles, está o de Rolle, que aparece na opción B. Por certo, a distancia dun punto a un plano é unha cuestión moi axeitada... se requerise razoar por un mesmo a fórmula final. Como todos sabemos, se estaba incluída nunha lista de posibles cuestións teóricas, pasaría a ser simplemente un ítem que "chaparse".
4. A pregunta 2 da opción A, sobre aplicacións lineais e a súa representación matricial, xa non podería aparecer cando fixen eu a selectividade, no 95, e hoxe é propia dun 1º curso de calquera grao de ciencias/tecnoloxía. Non é evidente que os dous subespacios teñen dimensión 1?
5. A pregunta 3 tampouco podería caer agora, e de novo é propia dun 1º curso de grao. Gústame a parte na que fala da pendente da tanxente, polo de preguntar por algo coñecido expresándoo dun xeito alternativo.
6. A cuestión 2 da opción B deixa claro que querían que os alumnos soubesen acotar integrais co ben coñecido $m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(t)dt \leq M(b-a)$
7. E coido que actualmente a primeira parte da cuestión 3-B resultaría estándar, mais a segunda, na que pide unha familia de planos, quizais presentaría máis dificultades que o exercicio tipo de Xeometría da ABAU. 

Cando teña tempo hei revisar outros vellos exames de selectividade. Ver exames, mellor se son doutros países, e se pode ser antigos, é un pasatempo freak que manteño. 

Cúbicas bonitas

Unha das directrices obvias que adoitamos seguir os profesores de Matemáticas consiste en comezar poñendo exemplos con números "sinxelos", en calquera ámbito no que nos adentremos coas clases. A razón é previsible: non queremos distraer aos alumnos do obxecto do exemplo. A teoría da carga cognitiva apoia esta intuición dos docentes: se os alumnos teñen que pelexar cun número do tipo $\frac{0,5\widehat{43}-\sqrt[3]{25}}{\sqrt{34}}$ polo medio de tentar aprehender un concepto novo, a súa memoria operativa vai pedir papas, o que provocará que non quede ren para o obxectivo esencial, que é a comprensión do novo concepto.

Por desgraza, hai casos nos que non temos nada que facer. O máis inmediato é o dos cadrados con dimensións naturais: se o lado é natural, a diagonal vai ter un $\sqrt{2}$ bailando, se a diagonal é natural, será o lado o que teña $\sqrt{2}$ polo medio(e un 2 no denominador se a diagonal é impar). Máis adiante na secuencia de contidos que van aparecendo pola asignatura hai unha situación na que tentamos poñer exemplos limpos, a da representación gráfica de funcións, e ás veces iso implica utilizar unha cantidade de tempo considerable buscando. Atopar unha función con raíces sinxelas non ten máis misterio que coller os números que queiramos, $a_1, a_2, a_3, \dots , a_n$ e construír a función polinómica $f(x)=\prod\limits_{k=1}^{n} (x-a_k)=(x-a_1)(x-a_2) \dots (x-a_n)$. Pero isto non garante que os puntos críticos da función sexan sinxelos tamén. Unha función tan inofensiva como $f(x)=x(x+1)(x-3)=x^3-2x^2-3x$ ten puntos críticos $x=\frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$, que bonitos non son, a verdade.

Pois ben, centrémonos nas funcións cúbicas, suficientemente interesantes para amosar xa dous puntos críticos e un punto de inflexión, pero non demasiado difíciles para que as contas sexan excesivas ou impracticables. Partamos dunha función cúbica con 3 raíces, 0, a e b, cousa que podemos facer simplemente transladando as raíces para que unha pase a ser 0. Por tanto, $f(x)=x(x-a)(x-b)=x^3-(a+b)x^2+ab$, e vexamos que condicións imos ter que impór nos enteiros a e b para que f teña puntos críticos e punto de inflexión manexables, o que vou traducir como enteiros.

Se usamos forza bruta para atopar as raíces da derivada,$f'(x)=3x^2-2(a+b)x+ab$, teríamos que pelexar simultaneamente con dous obstáculos, a racionalidade do discriminante e que o denominador divida ao numerador da fórmula. Podemos evitar un deses problemas impoñendo que f'(x) teña o aspecto $f'(x)=3(x-c)(x-d)=3x^2-3(c+d)x+3cd$, sendo c e d as abscisas sinxelas para os puntos críticos que estamos a buscar. Álxebra, come softly...

$$\begin{cases} 2(a+b)=3(c+d) \\ ab=3cd \end{cases}$$

Da 2ª ecuación deducimos que a ou b son múltiplos de 3, pero a 1ª ecuación fai que se un é múltiplo de 3, o outro tamén, polo que os dous teñen que ser múltiplos de 3, e podemos escribir $a=3m, b=3n$,  e reescribir todo:

$$\begin{cases} 2(m+n)=c+d \\ 3mn=cd \end{cases}$$

e agora podemos deducir que 3 é divisor de c ou de d, dada a simetría do choio, supoñamos que é c, e escribamos $c=3e$:

$$\begin{cases} 2(m+n)=3e+d \\ mn=ed \end{cases}$$

Eliminemos m:

$$2(m+n)n=(3e+d)n \rightarrow 2ed+2n^2=(3e+d)n \rightarrow 2n^2-(3e+d)n+2ed=0$$

Como tantas veces, para que esta ecuación en n teña raíces enteiras, é necesario que o discriminante da ecuación sexa un cadrado perfecto:

$$\Delta=(3e+d)^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2+6ed+d^2-16ed=f^2 \rightarrow 9e^2-10ed+d^2=f^2$$

E agora que? Mirar moito e ter sorte:

$$d^2-10ed+25e^2-25e^2+9e^2=f^2 \rightarrow (d-5e)^2=f^2+(4e)^2$$

O que nos leva á ecuación diofántica máis coñecida, a pitagórica. Tendo en conta a paridade de 2e, a solución xeral é:

$$\begin{cases} d-5e=k(r^2+s^2) \\ f=k(r^2-s^2) \\ 4e=2krs \end{cases}$$

sendo, como é usual, k un natural calquera e r e s coprimos e de paridade oposta. Atopemos os valores de n e m:

$$n=\frac{3e+d \pm \sqrt{\Delta}}{4} $$

Usamos agora que $3e+d=d-5e+2 \cdot 4e=k(r^2+s^2)+4krs=k(r^2+s^2+4rs)$, e vou eliminar o $\pm$, pois as dúas posibilidades son os valores de n e m, precisamente:

$$n=\frac{k(r^2+s^2+4rs) + k(r^2-s^2)}{4}=\frac{k(2r^2+4rs)}{4}=\frac{kr(r+2s)}{2}$$

E $$m=\frac{ks(s+2r)}{2}$$

Para que n e m sexan naturais, ten que suceder que k sexa un número par, $k=2t$

$$\begin{cases} m= ts(s+2r) \\ n= tr(r+2s) \end{cases}$$

Lembrando que $a=3m, b=3n, c=3e$,

$$\begin{cases} a= 3ts(s+2r) \\ b= 3tr(r+2s) \\  c=3trs \\ d=2t(r^2+s^2)+5trs=t(2r+s)(r+2s) \end{cases}$$

Velaquí a parametrización que buscabamos, coas restricións comentadas, r e s son números coprimos e de paridade oposta. Para listar as funcións "bonitas" estas restricións van supoñer un obstáculo.

Pois ben, como aproximación a unha representación mellor pensada para esta listaxe, velaquí un applet en geogebra onde ademais da parametrización obtida, permito transladar a cúbica para que non sexa obrigado que pase pola orixe:

Nesta entrada seguín varios artigos, pois o asunto "escolar" de dispoñer de funcións sinxelas semella que hai anos que é unha teima dos profesores. Entre eses artigos, teño que salientar:

• Jim Buddenhagen, Charles Ford e Mike May, Nice Cubic Polynomials, Pythagorean Triples, and the Law of Cosines, Math. Mag. 65 (1992) pp. 244-249
• Jean-Claude Evard, Polynomials whose roots and critical points are integers, arXiv (2004)
• T. Bruggeman and T. Gush, Nice cubic polynomials for curve sketching, Math. Mag. 53 (1980), pp. 233-234
• R. H. Buchholz and J. A. MacDougall When Newton met Diophantus: A Study of Rational-Derived Polynomials and Their Extension to Quadratic Fields, J. Number Th. 81 (2000) pp. 210-233

Límites e a ecuación de 2º grao

Estaba a escoitar de fondo o podcast de Craig Barton, concretamente o episodio no que entrevista a Anne Watson e John Mason(se non sabes quen son estes dous expertos, fai unha pescuda e prepárate para mergullar en reflexións sobre educación matemática da máis alta calidade), cando apareceu o tema das ecuacións de 2º grao e como introducilas na aula. E isto fixo que viñese á memoria un aspecto da ecuación de 2º grao que coñezo desde antes de ser profesor e que sinceramente, non sei como é de coñecido entre os compañeiros. Pode ser que sexa ben coñecido, e que veña ata en libros de texto, e eu aquí facendo unha entrada sobre o tema, todo inocente. Sede xenerosos e comentade se o coñecíades unha vez leades a entrada.

Partamos da ecuación de 2º grao en forma xeral, $ax^2+bx+c=0$, e a consabida fórmula da solución, $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Fixemos os coeficientes b e c, e xoguemos co coeficiente cuadrático, a, que é o que lle confire o carácter cuadrático á ecuación (e a concavidade...), en concreto fagamos que a tenda a cero. Que sucede na fórmula se b e c permanecen fixos pero a tende a 0? Se queres pensalo, demora a lectura do que vén... Para evitar que leas sen querer a resposta, comparto este φ-fail:

Que conste que vén sendo tan rigorosa como
outras aparicións de φ que se ven por aí...

Imos aló. Restrinxiremos o noso choio á primeira solución, na que collemos o valor positivo da raíz cadrada(a función, vaia).

O primeiro que se ve no límite é que, se aplicamos a aritmética elemental de límites, chegamos a unha indeterminación $\frac{0}{0}$:

$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+b}{0}=\frac{0}{0}$$

O xeito estándar de resolver esta complicación é puro traballo da aula de 1º de bacharelato(ou de 2º de BUP, se vas tendo unha idade):

$$\lim_{a\to 0} \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\lim_{a\to 0} \frac{ \left(-b + \sqrt{b^2-4ac} \right) \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$ \lim_{a\to 0} \frac{(-b)^2-\left( \sqrt{b^2-4ac}\right)^2}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)} =\lim_{a\to 0} \frac{4ac}{2a \left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=$$ $$\lim_{a\to 0} \frac{2c}{\left(-b - \sqrt{b^2-4ac} \right)}=\frac{2c}{-2b}=-\frac{c}{b}$$

E que significado ten este valor que atopamos, $-\frac{c}{b}$?

Pois, se por un momento, permitimos alegremente facer tender a 0 o coeficiente a na ecuación orixinal, $ax^2+bx+c=0$, que lle sucede á ecuación? Obviamente, que deixa de ser unha ecuación de 2º grao e se converte en $bx+c=0$. E cal é a solución desta ecuación? $-\frac{c}{b}$ (BOOM)

Coñecíades este pequeno feito? Funcionará do mesmo xeito o caso cúbico?(temos o pequeno obstáculo previo de que normalmente sempre comezamos resolvendo a ecuación normalizada $x^3+px=q$ ou similares). E que pasa coa solución coa raíz negativa?

Este feito ten pouca entidade, aínda así confeso que ten un aquel que me presta.

Máis problemas doutros países

Non é a primeira vez que comento exames de acceso doutros países. Hai menos dun ano compartín parte do Bac francés no blog, e en twitter xa teño falado das probas portuguesas.

Pois evitando o abafante traballo que temos os profesores no confinamento, deume por revisar revistas pola rede, e dei cun artigo en Mathematics in School sobre probas da antiga URSS. Os lectores máis antigos xa saberán o medo cerval respecto que lles teño aos problemas que propoñían na época soviética, os máis recentes da miña lexión de seguidores poden comprobar do que falo en Primeiro Problema dun libro(case once anos van no lombo). Observade estes problemas de reválida e ás idades ás que ían dirixidos, e xulgade vós se non son para terlles un chisco de respecto:

Grao 8 (~2º de ESO):

• Resolve o sistema de ecuacións $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ x^7+y^7=x^3 y^4+1 \end{cases}$
• En 99 cartas están escritos os números 1, 2, 3, ..., 99. Barallamos e espallamos as cartas, deixando o dorso, en branco, á vista. Escribimos os números 1,2,3, .., 99 nos dorsos. Para cada carta, sumamos os dous números que ten escritos, e multiplicamos as 99 sumas obtidas. Demostra que o resultado final deste procedemento ten que ser un número par.

Grao 9(~3º de ESO):

• Debuxamos 3 circunferencias, cada unha delas pasa por 2 vértices duhn triángulo acutángulo e polo ortocentro do triángulo. Amosar que as tres circunferencias teñen o mesmo diámetro.
• Atopar todos os números primos p e q que cumpren a ecuación $p^2-2q^2=1$
• Unha táboa rectangular contén un número diferente en cada cela, e ten a propiedade de que cada cela que non está no bordo da táboa contén un número que é a media aritmética dos seus 4 veciños(en horizontal e vertical). Demostrar que a cela que contén o máximo dos números da táboa ten que estar no bordo da táboa.

E o meu preferido, tamén para grao 9, pero como problema avanzado, non de reválida:

• Atopar todos os números naturais (x, y, u, v) que cumpren $\begin{cases} x+y=uv \\ u+v=xy \end{cases}$

 

Deixando a un lado a discusión sobre o apropiados que (non) son para esas idades estes problemas, non son unha marabilla?

Un ítem famoso

O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.

Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.

Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:

Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9

Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.

   

Facer tests

Construír probas tipo test é unha arte que require diferentes destrezas. Se queremos que a puntuación plasme con certa fiabilidade os coñecementos do examinado, temos que evitar que se poida pasar a proba recorrendo ao mero azar. Do xeito de evitar esta eiva falou Gaussianos neste artigo no País, onde deduce canto ten que restar cada fallo para que a nota esperada contestando ao chou sexa un 0. Claro que non todos os que elaboran os tests, sobre todo na universidade, teñen como obxectivo o de seren xustos. No único exame que fixen na carreira onde había un test, Métodos Numéricos I, cada fallo baixaba como un acerto, por sorte a materia era sinxela...

Confeso que eu fixen poucos tests como profesor, e os que fixen sempre funcionaron como avaliación formativa. Non estou certo de se esta escaseza provén dunha desconfianza nos tests como método avaliador ou da dificultade para elaboralos(a correción estaremos todos de acordo que é un punto a favor). Ademais da problemática analizada no devandito artigo, elaborar ben un test require preocuparnos non só de escoller ben os ítems, senón tamén de escoller ben as respostas incorrectas. Se cada ítem ten 4 opcións de resposta, as tres incorrectas deben ter un significado, unha intencionalidade. Deixando a un lado que ás veces podo querer facilitar a resposta correcta, por variadas razóns, usualmente inclúo unha resposta suficientemente absurda para que só a escolla quen non teña nin idea ou non estea prestando atención. Para introducir as outras dúas respostas hai que ter máis coidado. Normalmente asigno un erro común a cada unha, aínda que tamén teño encadeado dous, dependendo de se o procedemento examinado é o suficientemente longo.

Poñamos un exemplo trivial de posible ítem:

Cal é a solución da ecuación $6x=3$?

a) $2$	b) $\frac{1}{2}$	c) $9$	d) $-3$

Neste exemplo a opción absurda é 9, pois habería que sumar os coeficientes para obtela. Das dúas opcións incorrectas pero con xeito, a) corresponde a dividir 6 entre 3 en troques de 3 entre 6, e d) corresponde a restar 3-6. Tamén hai que ser consciente de que nun ítem así, pode haber alumnos con picardía que intúan que a resposta correcta será probablemente a que teña o aspecto máis raro.

Comparto un test deste mesmo ano, proposto na miña titoría.

Unha consecuencia de elaborar os tests deste xeito é que, cando os corriximos en clase, dan lugar a unha actividade posterior: adiviñar a intencionalidade de cada resposta incorrecta, como seguramente estaredes a facer vós.


Curiosamente comecei esta entrada pensando en falar dun ítem famoso dun test, tema que agora queda para a vindeira entrada.

Uns puzzles só para pensar

Par+Impar=Par? Descansa, Wiles.

Na anterior entrada compartín uns puzzles cun certo aquel físico, nos que había a posibilidade de coller coas mans os obxectos que aparecían neles para axudar ao razoamento. Os problemas de hoxe, en troques, son puramente técnicos. O que ten o seu lado bo, como entenderedes neste chiste:

Un día estaba o director do departamento de Física dunha universidade preocupado polos gastos de laboratorios e equipamentos. "Por que non podedes ser como os vosos compañeiros de Matemáticas? Eles só necesitan cartos para lapis, papel e papeleiras. Ou mellor aínda, sede como os compañeiros de Filosofía. Só necesitan lapis e papel"

Pois ben, hoxe abonda con papel e lapis, e nalgún caso nin papel nin lapis son necesarios.

• Por que non pode existir un poliedro que teña exactamente 7 arestas?


• Sodes quen de atopar unha curva no espazo que corte a todos os planos mais só nun número finito de puntos?(Bonus: e se é finito pero sen límite superior?)


• É ben sabido que $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ é numerable, pois é consecuencia dun teorema moito máis forte: o produto cartesiano finito de conxuntos numerables é numerable. Por tanto non debe ser difícil atopar explicitamente a expresión alxébrica dunha bixección entre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$  e $\mathbb{N}$. É máis, pódese atopar unha bixección polinómica. Ánimo.


• Na unidade de Divisibilidade de 1º ou 2º de ESO cabe a posibilidade de que apareza a seguinte igualdade: $$[a,b] \cdot (a,b)=a \cdot b$$, onde [a,b] representa o mínimo común múltiplo de a e b, e (a,b) o seu máximo común divisor. A demostración é sinxela se un sabe previamente como calcular o m.c.m. e m.c.d. a partir dos factores primos de a e b. Pensemos agora en tres números, a, b e c. Haberá unha fórmula análoga para o produto de a, b e c? A analoxía perfecta non se cumpre, como podedes ver cun caso calquera, p.ex. 6·8·15=720, mentres que [6,8,15](6,8,15)=120 · 1


• Collamos nun cubo dúas diagonais que se crucen, na figura debuxei BD e EG. Se collemos puntos calquera M en BD e N en EG, e atopamos o punto medio do segmento MN, P, que lugar xeométrico percorre P cando M e N varían?

E se as diagonais non se cruzan?

Xa tedes para pensar un anaco cando descansades de limpar a casa.

Uns puzzles para pensar e/ou facer

Xadenfreude: Dise do sentimento que teñen na administración cando fan que un profesor avalíe aos seus alumnos despois de 15 días de confinamento.

Consellería de Educación, Greguerías, III-27

Para axudar a que non se atrofien as neuronas das lexións de lectores deste blog, xa toca compartir uns crebacabezas. Isto vai facer que o blog lembre por unha vez ao que era orixinalmente, aló polo 2009. Sen máis dilación, velaquí os puzzles:

Imaxinade que tedes un vaso coa forma dun cubo cun furado circular na cara superior. Se o vaso non está graduado, como faríades para enchelo exactamente ata que o líquido ocupase un terzo do volume do vaso?

Que facíamos os profesores antes da existencia do Geogebra 3D?

Coas pezas seguintes tedes que construír un símbolo +:

O que parece coincidir, coincide

Con 3 cortes rectos e sen recolocar as pezas tralos cortes, un cubo pode dividirse como moito en 8 pezas:

Aquí ademais as pezas son iguais, aínda que ninguén o pedía

Cal é o máximo número de pezas nas que podemos dividir o cubo con 4 cortes rectos, se non recolocamos as pezas que van resultando?

Cando eliminamos un cuarto dun cadrado, se a peza eliminada ten á súa vez forma cadrada, dividir en 4 anacos iguais a figura resultante probablemente sexa un dos crebacabezas máis coñecidos. Póñovos a figura tamén por se non o coñecedes.

Pero, se o cuarto que eliminamos ten a forma dun triángulo, como podemos dividir a figura resultante en 4 cachos iguais?

Xuraría que o primeiro xa anda por este blog

Xa sabedes, mandade a solución nun ficheiro que pese menos de 1MB á aula virtual antes do luns...

Confinamento

Hai unha vella brincadeira sobre militares que, algo modificada, vén dicir:

O capitán encomenda a un tenente, que ten baixo o seu mando a un sarxento e catro soldados, a misión seguinte:

"Tenente, ten que erguer perpendicularmente nesta chaira un mastro de 10 metros de altura que estea suxeito desde o extremo superior ao chan por dous cabos que miden, respectivamente, 5 e 8 metros de lonxitude."

O tenente, moi espelido el, acata as ordes e acomete a misión do único xeito posible:

"Sarxento, ten que erguer perpendicularmente..."

(Tiña a figura desta entrada como alternativa, mais a imposibilidade xa me pareceu demasiado enleada)

Pois ben, sirva esta brincadeira como metáfora para a situación extraordinaria actual.

A Xunta, despois dunha semana de confinamento, publica este anuncio na web da Consellería de Educación:

Educación publica unha guía para a aprendizaxe a distancia durante a suspensión das clases polo COVID-19

Nese anuncio hai unha ligazón a:

Directrices para o exercicio do teletraballo do profesorado galego

Onde, finalmente, enlazan ao seguinte documento:

Servizos e recursos para o desenvolvemento da aprendizaxe a distancia

Ben, unha vez que na Consellería, con todas estas voltas, demostraron que saben utilizar hipertexto, nese documento atopamos os seguintes puntos:

• Instrucións en relación co COVID-19

Poñen a ligazón ao DOG, e este extracto:

"Todos os empregados públicos cuxas funcións se realicen dentro de edificios ou instalacións administrativas que permitan o seu desenvolvemento a distancia prestarán o servizo desde o seu domicilio na modalidade de traballo non presencial. Para tales efectos, a Administración facilitará fórmulas de teletraballo ou de traballo a distancia." (o suliñado é meu)

• Orientacións para o desenvolvemento do ensino non presencial

Neste epígrafe enlazan un artigo do profesor da UGR Fernando Trujillo Sáez na versión en español de The Conversation, Deberes escolares en tiempo de confinamiento:¿son eficaces?, e ademais enumeran as 4 ideas clave do seu artigo, a segunda é especialmente reveladora:

"2)Facer un deseño de tarefas axeitadas: instrucións claras, tarefas que teñan en conta a realidade socioeconómica das familias e con estratexias de andamiaxe (exemplos, guías, titorías telefónicas ou telemáticas) para que poidan levalas a cabo de xeito autónomo. É prioritario que os recursos e as tarefas non xeren desigualdades entre o alumnado " (suliñado meu outra vez)

• Espazos virtuais con recursos educativos

Enumeran portais de recursos, máis ou menos actualizados(fío de Cibrán comentando un), máis ou menos útiles, máis ou menos en inglés e máis ou menos en (horreur!) Flash.

• Ferramentas específicas

Neste apartado inclúen unha listaxe de ferramentas, indo desde as ofimáticas tipo Libre Office ata as de creación e edición de vídeo, pasando por webs de museos ou encerados colaborativos.  Mencionan tamén o proxecto Aulas Galegas, que un grupo de docentes galegos acaba de lanzar, intúo que precisamente polo desleixo da administración, para dar respostas ás necesidades das familias e profesorado. E achegan exemplos de hashtags en twitter para estar á última.

• Teleformación e asesoramento específico para o profesorado

Neste último apartado mencionan PLATEGA, a plataforma de teleformación galega, o CAFI, Centro autonómico de Formación e Innovación, animando a seguilos en redes(non poñen as contas) e achegando un correo de contacto.

Alén do hilarante de que o documento teña 10 páxinas pero o índice chegue á 12, cousa que non detectaron antes de publicalo seguramente porque non as numeraron (contei algunha vez que iso mesmo fixen eu na programación que entreguei na oposición que pasei?) e de que só lles faltou poñer unha ligazón ao teletexto, hai algo que sobrevoa todo o documento que me anoxa particularmente. En primeiro lugar, é de supoñer que o profesorado ten os medios na súa casa para crear recursos, compartilos cos alumnos, e facer seguimento do traballo destes. Seguramente sexa así, os profesores temos internet na casa, ordenador para traballar, etc. pois levamos moitos anos tendo que utilizar ferramentas on line desde casa, xade e correo profesional as principais, e estes medios nunca foron proporcionados pola administración. Tamén se supón que os profesores dominan unhas ferramentas, por exemplo moodle, que ninguén pode dar por supostas; se fose así, teríamos que facer cursos obrigatorios. Xa vos aseguro eu que non é así. Pero sendo un problema, todo isto é secundario agora mesmo. O esencial é:

Quen garante que as familias teñen os recursos nas casas para seguir ensino non presencial?

Quen garante que teñen conexións á rede que permitan utilizar ferramentas, síncronas ou asíncronas, cos profesores?

Se es docente, sabes perfectamente das diferenzas socioeconómicas das familias dos teus alumnos. Fóra da educación hai moitas suposicións, e moita desconfianza, que se plasma en lugares comúns "están en twitch todo o día", "para subir fotos a instagram si que teñen acceso", e demais comentarios cuñaos. Aposto que fan eses comentarios os mesmos que pensan que os cativos poden parar xogos on line.

Se desde a administración fomentan que os docentes sigamos traballando como se estivese garantido o acceso das familias, a xeración de desigualdades nos alumnos(máis ben, o provocar que se agranden as preexistentes) é a súa responsabilidade. 

Repito a pregunta:

Quen garante que as familias teñen os medios axeitados para esta situación?

QUEN?
déanme maiúsculas máis grandes

Esa é tarefa da administración, o contrario é adxudicarlle un problema insoluble ao sarxento.