Oh My Fuckin' God

 

Como podedes intuír no título da entrada, veño falar de que hai tres sábados, o 22 de novembro, se celebrou a primeira edición da Olimpíada Matemática Feminina Galega, organizada pola Asociación Galega de Estudantes de Matemáticas, MaEGA,

Se é a primeira vez que oídes falar dunha iniciativa desta índole, podo imaxinar que algúns estaredes a engurrar o nariz. E podo empatizar con aqueles que teñan esa reacción, pois hai anos, cando me tocou a min ter esta experiencia, tamén parei un anaco a valorar o asunto. Coido que foi algúns anos despois de 2002, cando se instituíu a Olimpíada Matemática das Mozas Chinesas, que souben da súa existencia. Non teño claro cando, só estou certo de que foi antes de que se crease a European Girls' Mathematical Olympiad, en 2012. Respecto á existencia destas olimpíadas, aínda hoxe teño as miñas dúbidas. Esencialmente:

Se, coma min, pensades que o sexo non é relevante en canto á distribución do talento matemático, podedes pensar que a iniciativa non é necesaria ou incluso é insultante, sempre e cando pensedes, coma min, que a resolución de problemas do tipo das olimpíadas é unha faceta importante do desempeño matemático de certo nivel.

Porén, se concordades comigo en que a conduta ante os concursos é distinta (en media, a partir de aquí todas as opinións grosas que vou deitar teñen que interpretarse neses termos) entre cativos e cativas, seguramente valoredes máis positivamente a existencia dunha olimpíada exclusivamente dirixida a alumnas. Porque creo que todos os que animamos aos alumnos a participar en concursos matemáticos sabemos que os mozos teñen un autoconcepto máis positivo que as mozas, o que leva a que alumnos obviamente cun talento ordinario ou escaso para a resolución de problemas poidan apuntarse mentres que alumnas brillantes teñan reticencias.

A miña opinión actual tende ao pragmatismo: sen estas olimpíadas habería cativas que non participarían en ningunha olimpíada? Parece obvio que si. Pois benvidas sexan. Estou seguro de que os organizadores, que merecen todo o crédito, terán ese obxectivo primordial.

Con respecto a esta 1ª olimpíada, sorprende que non responda ao formato habitual de 2 sesións de 3 problemas cada unha. En troques, só houbo unha sesión e 3 problemas. Enlazo o pdf oficial, e comparto aquí os problemas(na web oficial tedes tamén as solucións):

Problema 1:

Sexa x un número real que cumpre que $$x^3+\frac{1}{x^3}=52$$

Demostrar que $$x+\frac{1}{x}$$

é un número enteiro e determinar o seu valor.

Seguro que este problema resoa na vosa memoria, non si? 

Problema 2:

A unha competición matemática asisten seis parellas de irmáns, é dicir, doce persoas. Para realizar unha proba en equipos, vanse dividir os participantes en tres equipos de catro persoas cada un, pero de xeito que dous irmáns nunca estean no mesmo equipo. De cantas maneiras se pode facer a división dos participantes? 

Boa escolla, na miña opinión. Non é habitual que apareza un problema de combinatoria enumerativa que sexa algo sutil. 

Problema 3: Sexa ABCD un rectángulo con lado |AB|=3 e lado |BC|=2. Sexa M o punto medio do lado BC. Sexa P o único punto do lado AB que cumpre que a recta DM é a bisectriz do ángulo $\angle{PDC}$. Determinar a lonxitude do segmento PB.

Cando vin por primeira vez estes problemas, confeso que o 1º o fixen con certo desleixo, porque sabía desde o principio que camiño tomar, o que resulta aburrido; para o 3º atopei unha solución horripilante, cando teña tempo hei buscar algo máis potable; e para o 2º tardei un anaco en estar satisfeito coa miña estratexia e cálculos, de feito trabuquei varias veces polo camiño.

Xa tedes material para estar entretidos un cacho.

Copiando rectángulos ata obter un cadrado

 

Non tiña pensado escribir outra entrada consecutiva practicamente idéntica, pero estou tan contento co que fixen, que me vin forzado, entendédeme.

Se na anterior entrada acometía o problema-tipo de 1º de ESO do rectángulo que se parte en anacos cadrados, hoxe toca o problema-tipo seguinte:

Dada unha peza rectangular de dimensións a e b, reproducimos ao ancho e ao alto a peza de tal modo que creamos unha cuadrícula rectangular. Cando a cuadrícula creada non só é un rectángulo, senón tamén un cadrado?

Deixei os rótulos ceibos, podedes facer zoom e mover o que queirades, queixa non teredes.

E pararei xa, que teño unha entrada a medio facer sobre outro tema completamente distinto.

P.S.: esquecín outra vez engadir a ligazón ao applet na miña conta de geogebra.

Dando clase en 1º de ESO outra vez

 

Non daba clase en 1º de ESO desde o curso 2022/23, e aínda así segue a gañar por 3 anos a 2º e 3º de ESO e Matemáticas I como o nivel que máis veces dei nos vinte e dous anos que levo no choio.

E que sucede cada vez que dou 1º de ESO?

Que, por algunha estraña razón, teño que reinventar a pólvora cada ano. O que inclúe revisar os applets e figuras construídas en geogebra nos anos precedentes. Por exemplo, hoxe á mañá deume por analizar as dificultades que atopan os cativos en 1º cando resolvemos problemas clásicos de máximo común divisor e mínimo común múltiplo, en concreto cando tentamos cortar unha táboa rectangular en cadrados co lado máximo. Esta situación é a típica na que hai alumnado que asimila rapidamente o esencial e alumnado que non o dá visto por moito que se escorne. E o certo é que resolvendo este tipo de problemas nunca prestara moita atención a un aspecto: que sucede cando tentamos cortar a táboa en cadrados que non serven, i.e., que non son divisores dalgunha das dimensións da táboa?

Velaquí o que argallei pola mañá na casa antes de ir ao instituto, recoñezo que quedei satisfeito co resultado. Podedes mover os obxectos da vista gráfica e facer zoom, unha vez activedes o applet, dado que en distintas configuracións vai verse distinto:

Que opinades, vese ben o que sucede? Gústame especialmente cando a lonxitude dos cadrados é divisor dunha das dimensións pero non da outra, e os cadrados enchen o alto ou o ancho pero deixan oco na outra.

P.S.: deixo por aquí a ligazón ao applet en geogebra, que a pantalla alí é máis ancha, Táboa en cadrados

Olimpíada de Matemática da CPLP 2025

 

Souben onte da publicación dos problemas da 13ª Olimpíada de Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa. Fun mirar, e non decepcionan: hai variedade de temas, e problemas ben fermosos. E hai unha ecuación diofántica na que unha variable é un número primo:

Encontre todos os inteiros positivos n e p tais que p é primo e $$p^3+(np)^2+1=n^6$$

Porén, como ecuacións diofánticas xa resolvín algunha no blog, e agora non lembro se apareceu a solución dalgunha desigualdade por acó(PS: si, nunha nota autobiográfica), aproveitando que é a 1ª cuestión da olimpíada, e polo tanto é probable que sexa a  máis sinxela, velaquí a miña solución da desigualdade que propoñen:

Dados números reais x, y e z, prove que $$4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^2z^2 \geq 0$$

E para que non vexades xa a solución, como me pasou a min co problema dos rapaces chineses con talento da entrada previa, déixovos un gif da clase do outro día de combinatoria en 3º:

Se algún día canso das Matemáticas,
xa podo dar clase de Relixión

Veña, vamos coa solución:

$$4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^2z^2 \geq 0$$

O primeiro que vin foi a asimetría nas variables, mentres y e z xogan o mesmo papel, x está destacado. Polo que tentei explotar iso, e funcionou. Que podía non funcionar, mais tiven sorte:

Chamando $s=y+z, p=yz$, o membro interesante da desigualdade cobra o aspecto:

$$4x(y+z)[x(y+z)+yz]+y^2z^2=4xs(xs+p)+p^2=4x^2s^2+4xsp+p^2=(2xs+p)^2$$

que é obviamente non negativo.

E agora entendestes por que escollín esta cuestión, non si? Para sermos honestos, tamén influíu que a solución que atopei dos de xeometría é horrible, pero polo menos non usei coordenadas.

 

Procrastinators gonna procrastinate

 

Botando unha ollada ao Journal of Mathematics Education, caín de casualidade nun artigo sobre a educación dos cativos con talento para as Matemáticas en China. E nel, nunha actividade proposta por un profesor, un problema puramente técnico (vaia, ningunha apostila do estilo lexislativo español, "...da vida cotiá") que veño compartir hoxe:

Amosar que $log_2 3 > log_3 4$

Na aula, o profesor continuou co análogo $log_4 5 > log_5 6 $ e un dos alumnos talentosos preguntou se sería certo sempre que $log_n (n+1) > log_{n+1}(n+2)  , \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$

E como a demostración que fai un dos alumnos ten o seu truco, quería ver se algún amable lector atopa outra proba. Ou ben, refutando a miña idea de que ten truco, chega á mesma demostración que o cativo chinés.

Por certo, non enlazo o artigo para que non vos pase o mesmo que a min, que vin sen querer a devandita demostración.