Un problema da TAMU

 

O acrónimo estraño do título é o que aparece no concurso de Matemáticas de instituto da Universidade A&M de Texas. Coñezo este concurso desde hai máis de dez anos e nunca mirara que significa A&M. Polo visto orixinalmente esta institución chamábase Agricultural and Mechanical College of Texas. Cambiou en 1963 (sería pola efeméride?) ao actual e misterioso A&M Texas University. Outra anécdota de siglas que despistan, como o nome do xogador dos Lakers do Showtime A.C. Green, 

O concurso ten distintas versións, AB, BC, CD, DE e EF, dependendo das dúas materias máis avanzadas que estudasen os alumnos: A- Pre-Álxebra, B- 1º curso de Álxebra, C- Xeometría, D- 2º curso de Álxebra, E- Trigonometría e Xeometría Analítica, F- Matemáticas Avanzadas. E é habitual que aparezan pequenas marabillas elementais, como esta que traio hoxe do concurso BC de novembro de 2024:

Dentro dun cadrado dous vértices opostos son unidos mediante 3 segmentos de lonxitudes 5, 1 e 4, como amosa a figura. Atopa a área da rexión sombreada.

   

Xa comentei en bluesky que a figura non está feita a escala, e agora non sei se foi adrede ou se simplemente non tiveron a paciencia suficiente.

Como é usual neste blog, non quero estragar a experiencia co problema do amable lector, mais tampouco vou deixar pasar a oportunidade de dicir algo, quizais non inmediato:

En primeiro lugar, se xeneralizamos o problema cambiando os datos 5, 1, 4 por a+1, 1, a, non vos poño a expresión pero é elocuente.

En segundo, observade que cousa bonita:

Coa escolla de cores que fixen, isto tería que
ser o taboleiro dun xogo de mesa, non si?

Para que vexades a variedade, neste mesmo concurso, que ten 20 cuestións, esta é a 14:

Considera a fracción $\frac{6n-1}{7n+1}$, sendo n un natural. Atopa o mínimo valor de n para o cal a fracción non é irredutible.

Tentade resolvelo sen ir probando os números naturais en orde(que tampouco leva moito).

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 5

 

Chegamos ao final da olimpíada deste ano, e onde eu agardaba algún razoamento combinatorio, atopamos outro problema xeométrico.

Xustifica se a área da lúnula sombreada (figura con forma de cuarto menguante de lúa) é maior, menor ou igual á área do cadrado sombreado

    

Se non coñeciades xa esta figura, sede sinceros, que pálpito tedes con respecto a esas áreas?

Como sempre, é máis sinxelo criticar a elección dos problemas dun concurso deste tipo que traballar e poñerse a cavilar un. Indepentemente das teimas de cada quen(as miñas expresadas nestas últimas cinco entradas), houbo problemas ben fermosos nesta edición. Vémonos na seguinte fase local, zona de Ferrol, se non pasa nada raro.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 4

 

O cuarto problema da fase final, despois de dous problemas "de números" e un de lóxica, parecía claro que ía tratar de xeometría. Velaquí:

Calcula a área do semicírculo sabendo que o triángulo no que se apoia é rectángulo

   

Non o vou negar, a min estes problemas sempre me encantan. E canto máis simples sexan en aparencia, mellor.

Nesta situación, que en canto tentedes resolver veredes que é a ben coñecida do cadrado inscrito nun triángulo rectángulo, o uso da semellanza parece obrigado. E pola miña experiencia, pode suceder que a estas alturas de 2º de ESO os alumnos aínda non a traballasen. Nos centros nos que preparen especificamente ao alumnado para a olimpíada non terán ese obstáculo, claro. Sería interesante que sucedería cos participantes que só estivesen provistos do Teorema de Pitágoras. Pois non parece doado obter o valor do radio nese caso.

Na vindeira entrada remataremos esta xeira.

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 3

 

O terceiro problema da fase final, de lóxica, como os das revistas de pasatempos ou os libros de brain teasers: 

Ana, Lía, Mía e Mara van a uns grandes almacéns. Unha delas compra un reloxo, a outra un libro, a terceira unhas zapatillas e a cuarta un teléfono móbil. Os almacéns teñen catro pisos e en cada un deles só se vende un tipo de artigo. Ten en conta as seguintes pistas:

• Ana compra no primeiro piso e Mía no segundo.
• Os reloxos cómpranse no cuarto piso.
• Lía compra un libro.
• Ana non compra un teléfono móbil.

Que compra cada unha e en que piso?

Para os profesores que me lean: resolvelo sen escribir nada é un exercicio para a memoria operativa(eu tento nas clases que os alumnos fagan imaxes mentais de figuras elementais e que as transformen con rotacións ou simetrías, xa podedes imaxinar, sen moito éxito). Para nós non debería levar medio minuto.

O que non puiden evitar foi decatarme de que había dous nomes coa mesma inicial, cousa que nunca faría nun problema inventado por min. Quedei coa sensación de que hai algunha mensaxe oculta entre os nomes das rapazas e os artigos que mercan. Tranquilos, xa quito o sombreiro de papel de aluminio.

Cos problemas de Lóxica fun cambiando de opinión. De cativo, cando estaba eu en BUP, encantábanme. Sigo poñendo algún de vez en cando no medio dos Problemas Difíciles para Xente Intelixente, pero dalgún xeito perdín aquel vello entusiasmo. 

Recapitulando: levamos dous problemas de números, un de lóxica. Que sorpresas haberá...

Olimpíada Matemática Galega 2025-Fase Final - 2

O segundo problema da fase final, un vello coñecido, que adoita aparecer nas miñas aulas nos Problemas Difíciles para Xente Intelixente(que hai só once anos dixen por aquí que tiña que compartir):

 

Temos dúas moedas. Na cara superior de cada unha están escritos os números 7 e 10 respectivamente. Se lanzamos as dúas moedas ao aire e sumamos os números que saen, podemos obter estes catro resultados: 11, 12, 16 e 17. Investiga que números están escritos na cara oculta de cada unha.

A miña dúbida ante este problema é que farían os participantes. Porque os que xa temos a ferramenta alxébrica interiorizada hai décadas imos poñer con seguridade a e b para os números das caras ocultas e ver as combinacións; non usar as incógnitas leva a ter máis datos e relacións xogando simultaneamente na cabeza.

E dado que os números son pequenos e manexables, sempre poden ir, por proba/erro, tentando, fallando, cambiando os números. Aínda decatándose sen álxebra de que as caras ocultas teñen que sumar 11 ou da relevancia de que os 4 posibles resultados se poidan separar en dúas parellas que sumen o mesmo.

Teño a sospeita de que os cativos que fosen probando omitirán unha das dúas solucións, ao atoparen a primeira por proba/erro darían por rematada a busca. Oxalá alguén da organización botase algo de luz sobre este asunto.