A educación dun profesor de Matemáticas-I

Típica situación nunha aula calquera:
- Non, querido alumno, estrañamente o teu
profesor non sabe tódalas Matemáticas.

Aproveitando que, aínda que teño por corrixir unhas decenas de exames nestas vacacións, ninguén está á espera de que lle dea as notas ao día seguinte, vou divagar un pouco. En concreto sobre o periplo formativo que recibe un profesor calquera de Matemáticas que vaia dar cos seus ósos na ESO/Bacharelato por esta banda do noroeste da península. Supoño que moito do que escriba será extrapolable a outros lugares de España, pero como vou indicar as peculiaridades do camiño que realicei eu, tampouco estou seguro. Nesta primeira entrada debullarei a miña educación matemática preuniversitaria, non vou (nin podería) ser exhaustivo, así que desculpade os choutos.

Fala, memoria...

• Algo que revela a miña idade provecta é o feito de que estudei baixo o réxime da E.X.B. Por tanto padecín a mal chamada Matemática Moderna, tradución en tódolos sentidos do que se chamou a nivel mundial New Math, e que cando foi posta en marcha acó xa era máis ben Old Math. Diagramas de Venn, correspondencias, aplicacións sobrexectivas, inxectivas e bixectivas, produtos cartesianos, ... Cousas que case ninguén aturou nin entendeu, agás, obviamente, os alumnos aos que nos foi ben nese contexto. A consecuencia máis perniciosa para a miña formación probablemente foi que, en aras da estrutura abstracta da New Math, a xeometría euclidiana quedou a un lado ("A bas Euclide", como dixo Dieudonné no1959) de tal xeito que o único de Xeometría que lembro ter dado na EXB foi o Teorema de Thales (en 7º) e o de Pitágoras (varios anos), agás as típicas enumeracións de fórmulas de perímetros, áreas e volumes. Pola contra, teño un recordo vívido de facer nun folio unha representación da numeración binaria utilizando lentellas (na clase había todo tipo de leguminosas)  Os últimos cursos da EXB estaban centrados por un lado na maquinaria alxébrica (consistente coa New Math) e por outro sorprendentemente na resolución de problemas-tipo, propios doutras épocas: móbiles (tamén na clase de Física&Química de 7º, xunto aos de espellos e lentes), idades, reloxos, regra de tres composta, porcentaxes, mesturas&aleacións, capitais... Lembro que no meu libro de texto de 8º aparecían ecuacións bicadradas e irracionais, pero non chego a lembrar se as demos. O que si traballamos foi a Regra de Ruffini e a representación de parábolas.

Que faríamos en internet sen a New Math?

• Curiosamente todo o que demos fóra do marco estrito da New Math caeu no esquecemento ao entrar no BUP.
• O 1º curso comezaba cun repaso de toda a Aritmética e Álxebra dadas na EXB e continuaba co estudo polo miúdo de tódolos algoritmos dos polinomios e as fraccións alxébricas (Ruffini, factorización...), o binomio de Newton,a racionalización, as progresións aritméticas e xeométricas, as ecuacións racionais, irracionais e bicadradas. Despois a parte técnica era diluída ao chegarmos á combinatoria e á probabilidade, onde afogaban moitos alumnos. A memoria non me alcanza ata saber en que momento de 1º demos os números complexos, nin canto tempo dedicamos ás funcións. Para todo iso deu tempo en 1º de BUP, incluída a demostración longa da irracionalidade de $\sqrt{2}$. Por sorte teño algúns vestixios arqueolóxicos:



Perdón pola miña letra acelerada de 1º de BUP



Un exercicio típico do Binomio de Newton

• De 2º teño unhas lembranzas borrosas de facer límites medio ano, xunto coa definición $\epsilon-N$ de límite de sucesión e a correspondente  $\epsilon-\delta$ de límite de función, (e os exercicios inintelixibles sobre veciñanzas de amplitude unha milésima e os termos que quedaban fóra), xeometría analítica (claro) en dúas dimensións (ecuacións da recta: canónica, paramétrica, segmentaria...) e funcións definidas a anacos e as discontinuidades (lembro un recreo de 20 minutos no que lles ensinei a uns 6 compañeiros como pasar o exame da hora seguinte facendo límites laterais- estrañamente con éxito). Tamén pasamos moito tempo dando trigonometría, pero a memoria diso é borrosa. O que non demos foi derivadas, que noutros centros (e mesmo noutros anos no meu instituto) si que se daba.
• En 3º traballamos outra vez a xeometría analítica, outra vez a trigonometría con especial atención ás ecuacións trigonométricas, cónicas (só lembro ter dado a ecuación xeral da circunferencia e a elipse e un par de cousas sobre parábolas e hipérboles, pero levou o seu tempo), unha morea de exercicios aburridos de raíces n-ésimas da unidade nos números complexos, o espazo dos vectores en R², o produto escalar (forma bilinear simétrica definida positiva e por unha vez demostracións de resultados xeométricos elementares) e meses de derivadas, comezando pola interpretación xeométrica (na primeira folla da unidade tiña apuntados os nomes de Leibniz e Newton). Non chegamos a ver as integrais, seguramente polo tempo que pasamos na xeometría analítica e os complexos.
• En COU demos o curso dividido nos bloques clásicos: en Álxebra traballamos espazos/subespazos vectoriais, matrices e rango, determinantes, Th. de Rouché-Fröbenius, Regra de Cramer, Regra de Sarrus...; en Xeometría basicamente exercicios aburridos sobre planos e rectas onde utilizar a Álxebra Linear estudada previamente; en Análise vimos as primeiras demostracións serias, de tódolos teoremas agás o máis básico (Bolzano, pois a súa demostración requería unha definición precisa dos números reais e a súa topoloxía-non chegaba co concepto difuso de números decimais que posuíamos): Rolle, Valor Medio do Cálculo Diferencial e Integral, Fundamental do Cálculo; en Probabilidade case non tivemos tempo de ir alén dos experimentos Bernouilli e a Distribución Binomial. COU, en xeral, deixaba albiscar o que despois resultaron ser as "verdadeiras Matemáticas" entre centos de exercicios mecánicos. Particularmente a demostración do Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial, onde utilizabamos o Th. de Rolle, pareceume dun nivel superior. Tamén o feito de que o Teorema de Bolzano non puidese ser demostrado rigorosamente motivaba a buscar alén do que sabíamos. Pero tamén sei que había xente que aprendía os teoremas letra a letra, de tal xeito que $\forall x \in [a,b]$ convertíase en "a maiúscula ao revés, x, e raro, corchete, a, b, corchete"

Como dato curioso teño que salientar que nos case 10 anos que levo dando clase nunca dei nada "por riba" das derivadas, que aprendín con 16 anos. Normalmente o nivel de abstracción co que teño que loitar é co necesario para entender que se $x=6$, tamén $6=x$.

Seguro que esquecín unha morea de contidos, mais a impresión xeral creo que queda clara. Non vos perdades o seguinte capítulo das memorias da educación deste profesor de Matemáticas, nas que enumerará o que aprendeu na carreira e no CAP. Apaixonante...

Cousas que só atoparás nun libro de texto

Seguramente ao lerdes o título moitos pensaredes no tradicional problema no que alguén merca 50 sandías ou algo así. Non é o caso, unha busca rápida en google fai que variemos a nosa opinión:

En efecto, existe, pero quizais non estea
homologado pola escasa visibilidade

No folklore propio dos libros de texto podemos atopar:

• xente que cobra por andar camiños (isto xa está demodé, por sorte);

• irmáns que reciben cartos dos seus pais de xeito inversamente proporcional ás súas idades;

• labregos que coñecen a superficie da súa leira mais non o seu perímetro;

• parellas de curmáns que van ver á súa avoa cada 5 e 7 días, co obxectivo implícito de non coincidir moito, supoño;

• gandeiros que non adquiren máis penso aínda que merquen 30 vacas...

E moitos outros máis que calquera que estudase na antiga E.X.B. ou na actual E.S.O. podería proporcionar.

Porén quero salientar outro tipo de estupidez que adoita aparecer nos libros de texto: a ficción narrativa que mora nos prólogos das unidades didácticas, eses textos imprescindibles que teñen menos lectores que os contratos de uso de software (as introducións das leis educativas tampouco desmerecen).

Deixo aquí un exemplo que me chegou á alma:

Que lle pasa a Laura para ter esa cara?

Aínda que o texto completo tería que formar parte das escolmas da boa literatura mundial contemporánea, a parte enmarcada é sublime. A maioría dos alumnos tecleando na calculadora observan que poden poñer letras e por tanto (nivel 2) palabras, mais esta Laura ve definicións de funcións.

Non podería rematar sen comentar unha teima persoal: cando empezou a haber o erro de separar suxeito e predicado cunha coma? Nin sequera podemos botarlle a culpa aos móbiles...

Outra sorpresa no Triángulo de Pascal

Un nunca sabe onde e cando vai atopar algo interesante en Matemáticas. Facendo probas de impresión nunha fotocopiadora en rede (creo que nunca falei no blogue da miña identidade secreta como coordinador) mandei imprimir unhas páxinas ao chou dun libro, The (Fabulous) Fibonacci Numbers, de Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann. Escollín as páxinas cun criterio científico preciso: que tivesen debuxos ou gráficos. E cando lin de verdade as impresións vin isto (en realidade esta figura é miña, é obvio pola escasa calidade gráfica):

Triángulo de Pascal e Potencias de 2

Ben, nada novo nesta figura. A relación entre as ringleiras do Triángulo de Pascal e as potencias de 2 é arquicoñecida. Pode que faga unha entrada de Probas rápidas arredor da idea. Mais agora xiremos as liñas de suma a ver que máis atopamos:

Como non, aparece a Sucesión de Fibonacci

Pero a sorpresa non é grande, verdade? Como o Triángulo de Pascal é construído mediante unha recorrencia onde utilizamos dous termos previos, tampouco é abraiante que apareza Fibonacci a pouco que fedellemos. Mais se escribimos o resultado en forma de sumatorio darémoslle certa escuridade:

$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}\binom{n-k}{k}=F_{n+1}$$

Chegamos por fin ao obxectivo deste post. Imos poñer unha barreira no triángulo e sumar en horizontal só os números á dereita dela:

Non seguía 32, 64, 128...?

Da sucesión que aparece na columna da dereita xa teño falado neste blogue, concretamente en xuño do 2009 no post Un pouco de melancolía (cando aínda propoñía problemas aos alumnos, melancolía sobre melancolía...). Alá aparece a seguinte figura:

32?

Ao que aluden os números de enriba é á cantidade de rexións determinadas polos segmentos que unen os puntos na circunferencia. Contra todo pronóstico, o seguinte número non é 32:

Xa non sabemos nin duplicar un número?

A relación entre o número máximo de rexións determinadas nun círculo unindo n puntos e a suma dos últimos 5 números (se houberen) da ringleira enésima do Triángulo de Pascal é, a priori, pura maxia. Se queredes saber a explicación e moitas outras aparicións estrañas, déixovos aquí a ligazón á páxina na On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Comezando marzo con ilusión

Nos últimos meses fun recollendo da rede uns cantos exemplos de ilusións ópticas estáticas, vídeos, arte e figuras imposibles. Vai sendo hora de compartilos, que co tempo que pasou calquera día aparecen nos libros de texto. Aínda que tendo en conta que hai problemas de Fibonacci de comezos do século XIII e exemplos de matemática recreativa que veñen da obra de Alcuino de York (cortesán de Carlomagno en Aquisgrán, s. VIII) é probable que puidese deixar pasar máis tempo...

Veña, imos coa ilusión:

• En Modern Met atopei a interesante obra da artista Regina Silveira (con ese nome podería ser da zona de Tordoia, mais é do Brasil). Unha das súas obras máis abraiantes, xunto coa artista, tédela aquí (dádelle á roda do rato)

Non vos gustaría estar aí no medio?

• Este é un vídeo que vin no blogue de Richard Wiseman. O efecto, aínda que ben coñecido, non deixa de sorprender (coidado os que sexades asustábeis-por sorte dura pouco):

• En io9 compartiron este ollo:

Se non o colledes, ide á ligazón de io9

• Nunca vos decatastes de que cando botamos unha ollada á agulla dos segundos dun reloxo, durante un anaco maior que un segundo semella estar parada? É de supoñer que a razón está agochada nos nosos sentidos, como amosa este vídeo que apareceu en Math Fail:

• Para rematar dous exemplos de fontes tipográficas que veñen moi a conto do tema das ilusións:

Fonte Frustro, relacionada co Triángulo de Penrose

Fonte Macula

Creo que xa temos ilusión para marzo polo menos.